Прийом множення чисел, які менші за 20

Щоб помножити два числа, які менші за 20, достатньо додати к першому одиниці другого, до результату дописати нуль і додати добуток одиниць. Наприклад: 18 * 13:

1) до першого числа додаємо одиниці другого 18 + 3 = 21;

2) приписуємо до результату нуль;

3) додаємо добуток одиниць, отримуємо відповідь: 210 + 8 * 3 = 234

Таким чином, ми не лише узагальнили усі обчислювальні прийоми поза табличного множення і ділення, а й познайомили з раціональними прийомами усного множення.

 

Узагальнення знань учнів про складені задачі.

 

Задачі на знаходження четвертого пропорційного.

Ускладнені задачі на знаходження четвертого пропорційного.

Задачі на спільну роботу.

 

Задача 1. За 3 рейси човняр перевіз через річку 18 чоловік. Скільки чоловік він зможе перевезти за 7 рейсів?

- Про що розповідається в задачі? Які величини можна виділити? (Загальна кількість людей, кількість людей за 1 рейс та кількість рейсів.)

- Запишімо задачі коротко в формі таблиці.

	Загальна кількість людей	Кількість людей за 1 рейс	Кількість рейсів
	18 ч.		3 р.
		однакова
П	?		7 р.

 

- За коротким записом пояснюємо числа задачі. Що означає число 18? Що означає число 3? Що означає число 7? Що означає слова „однакова”?

- Яке запитання задачі?

- Чи впізнали ви задачу? (Це задача на знаходження четвертого пропорційного.)

- За яким планом розв’язуються задачі на знаходження четвертого пропорційного? (Першою дією дізнаємося про однакову величину – про кількість людей за 1 рейс. Другою дією відповідаємо на запитання задачі – дізнаємося про загальну кількість людей за 7 рейсів.)

- Запишіть розв’язання по діях з поясненням або виразом.

1) 18: 3 = 6 (ч.) – кількість людей за 1 рейс;

2) 6 * 7 = 42 (ч.) – загальна кількість людей за 7 рейсів.

Або 18: 3 * 7 = 42 (ч.)

Відповідь: 42 чоловіка зможе перевезти човняр через річку за 7 рейсів.

18, 3, 7, - пряма задача.

, 3, 7, 42 – перша обернена задача.

„ За 7 рейсів човняр перевіз через річку 42 людини. Скільки чоловік він зможе перевезти за 3 рейси?”

Розв’язання:

1) 42: 7 = 6 (ч.) – кількість людей за 1 рейс;

2) 6 * 3 = 18 (ч.) – кількість людей за 3 рейси.

Відповідь: 18 чоловік.

 

18,, 7, 42 – друга обернена задача.

„За 7 рейсів човняр перевіз через річку 42 чоловіка. За скільки рейсів він перевезе 18 чоловік?”

Розв’язання:

1) 42: 7 = 6 (ч.) – кількість людей за 1 рейс;

2) 18: 6 = 3 – рейси.

Відповідь: за 3 рейси.

- Складіть обернену задачу, в якій запитується „За скільки рейсів човняр зможе перевезти 42 чоловіка?”

18, 3,, 42 – третя обернена задача.

 

„ За 3 рейси човняр перевіз 18 чоловік. За скільки рейсів він може перевезти 42 чоловіка?”

Розв’язання:

1) 18: 3 = 6 (ч.) – кількість людей за 1 рейс;

2) 42: 6 = 7 – рейсів.

Відповідь: за 7 рейсів.

Виконуються зміни у короткому записі на дошці. Учні встановлюють, що буде спільним у розв’язанні цієї та попередньої задачі (перша дія) та чим вони будуть відрізнятися (другою дією). Обернена задача розв’язується усно, відповідь порівнюється с відповідним числом, що дане в прямій задачі, і діти роблять висновок про вірність розв’язання оберненої задачі.

- Порівняйте розв’язання прямої і оберненої задач. Чим вони відрізняються? Задачі, в яких остання дія множення – це задачі 1-го виду, задачі в яких остання дія ділення – задачі П-го виду.

- Ускладнимо задачу 1 на знаходження четвертого пропорційного. Припустимо, що потім човняр змінив човен, і в новому човні розташовувалося на 2 людини більше.

Задача 2. За 3 рейси човняр перевіз 18 чоловік. Скільки чоловік він зможе перевезти новим човном за 7 рейсів, якщо новий човен бере на борт на 2 чоловіка більше?

- Виконайте зміни у короткому записі.

	Загальна кількість людей	Кількість людей за 1 рейс	Кількість рейсів
	18 ч.	?	3 р.
П	?	?, на 2 ч. б.	7 р.

 

- За коротким записом поясніть числа задачі. Яке запитання задачі?

- Чи впізнали ви задачу? (Це ускладнена задача на знаходження четвертого пропорційного – задача, пов’язана з одиничною нормою.)

- За яким планом розв’язуються задачі, пов’язані з одиничною нормою? (Першою дією дізнаються про величину однієї одиниці для першого випадку – про кількість людей в 1 човні в 1 випадку. Другою дією дізнаються про величину однієї одиниці для П випадку – про кількість людей в 1 човні для П випадку. Третьою дією відповідають на запитання задачі – дізнаємось про загальну кількість людей у П випадку.)

- Запишіть розв’язання задачі по діях з поясненням або виразом.

3) 18: 3 = 6 (ч.) – кількість людей за 1 рейс в 1;

4) 6 + 2 = 8 (ч.) – кількість людей за 1 рейс в П;

5) 8 * 7 = 56 (ч.) – загальна кількість людей в П.

(18: 3 + 2) * 7 = 56 (ч.)

Відповідь: 56 чоловік зможе перевезти човняр за 7 рейсів новим човном.

- Порівняйте цю задачу с задачею 1. Чим вони схожі? (В обох задачах описується одна й та сама ситуація – перевезення пасажирів човном, обидві задачі містять однакові величини: загальну кількість людей, кількість людей за 1 рейс, кількість рейсів; обидві задачі мають два випадки.) Чим відрізняються ці задачі? (В першій задачі, кількість людей в одному човні для 1 та П випадків однакова, а в другій – неоднакова, у П випадку в одному човні розташовуються на 2 чоловіка більше.) Отже в першій задачі „величина 1 одиниці” однакова для обох випадків, а в другій - „величина 1 одиниці” виражена різницевим відношенням.

- Скількома діями розв’язується задача на знаходження четвертого пропорційного? (Двома.) Скількома діями розв’язується ускладнена задача? (Трьома.) Чому? (Тому що задача на знаходження четвертого пропорційного містить однакову величину для обох випадків: визначивши „величину 1 одиниці” для першого випадку ми будемо її знати і для другого випадку. А в ускладненій задачі, треба окремою арифметичною дією дізнатися про „величину 1 одиниці” в П випадку.)

- Складіть і розв’яжіть усно обернену задачу, в якій шуканим буде число 7.

18, 3, 2, 7, - пряма задача.

18, 3, 2,, 56 – обернена задача.

„ За 3 рейси човняр перевіз 18 чоловік. За скільки рейсів він перевезе 56 чоловік на новому човні, якщо він бере на 2 людини більше?”

Розв’язання.

1) Скільки чоловік перевозив човняр за 1 рейс на старому човні?

18: 3 = 6 (ч.)

2) Скільки чоловік перевозив човняр за 1 рейс на новому човні?

6 + 2 = 8 (ч.)

3) За скільки рейсів на новому човні човняр перевезе 56 чоловік?

56: 8 = 7 рейсів

Відповідь: за 7 рейсів.

- Порівняйте розв’язання прямої і оберненої задач. Чим вони відрізняються? Задачі, в яких остання дія множення – це задачі 1-го виду, задачі в яких остання дія ділення – задачі П-го виду.

- Повернемося до задачі 1. Запишіть її коротко у схематичній формі.

3 р. – 18 ч.

7 р. -?....

- Яким способом ми розв’язали задачу на знаходження четвертого пропорційного? (Способом наведення до 1. Тому, що ключем до розв’язання є „величина 1 одиниці” – однакова величина.)

- Ускладнимо задачу 1. Припустимо, що працював не один човняр, а 2 човняра. Як ви вважаєте за 3 рейси 2 човняра перевезуть більше чи менше чоловік, ніж 18? Більше. Якщо в них будуть однакові човни, то вони перевезуть в 2 рази більше людей, 36.

Задача 3. За 3 рейси 2 човняра перевезли 36 чоловік. Скільки чоловік перевезе 1 човняр за 7 рейсів.

- Порівняйте задачу 3 та задачу 1. Чим вони схожі? (Одна й та сама ситуація – перевезення людей човном.) Чим вони відрізняються? (В першій задачі перевозив людей тільки один човняр, а в другій 2 човняра.)

- Виконайте зміни у короткому записі задачі 1, щоб отримати короткий запис задачі 3.

2 ч., 3 р. – 36 ч.

1 ч., 7 р. -?......

- Чи впізнали ви задачу? (В цій задачі,щоб визначити „величину 1 одиниці” треба два рази виконати арифметичну дію – це задача на подвійне наведення до одиниці.)

- Скількома способами розв’язуються задачі на подвійне наведення до одиниці? (Двома способами.) Поставте відповідні стрілочки.

 

2 ч., 3 р. – 36 ч.

1 ч., 7 р. -?......

 

- Розкажіть план розв’язування задачі першим способом. (Першою дією дізнаємося про кількість чоловік, що перевезе 1 човняр за 3 рейси. Другою дією дізнаємося про кількість людей, яку перевезе 1 човняр за 1 рейс. Третьою дією дізнаємося про кількість людей, що перевезе 1 човняр за 7 рейсів.)

- Розв’яжіть цю задачу по діях з поясненням або виразом.

1) 36: 2 = 18 (ч.) – перевезе 1 човняр за 3 рейси;

2) 18: 3 = 6 (ч.) – перевезе 1 човняр за 1 рейс;

3) 6 * 7 = 42 (ч.) – перевезе 1 човняр за 7 рейсів.

36: 2: 3 * 7 = 42 (ч.)

 

- Порівняйте розв’язання цієї задачі з розв’язанням задачі 1. Чим вони відрізняються? (Ускладнена задача розв’язується трьома діями, а задача на знаходження четвертого пропорційного – двома діями.) Що в них спільного? (Дві останні дій цієї задачі такі самі, що перша та друга дія в задачі 1.)

- Чому ця задача містить ще одну дію? (Тому, що ми задачу на знаходження четвертого пропорційного ускладнили – збільшили кількість човнярів з 1-го на 2. Тому, щоб дізнатися „величину 1 одиниці” треба виконати дві арифметичні дії.) Отже, ключем для розв’язання цієї задачі є величина 1 одиниці! Це задача на подвійне наведення до одиниці.

- Розв’яжіть цю задачу іншим способом.

 

2 ч., 3 р. – 36 ч.

1 ч., 7 р. -?......

Розв’язання

1) 36: 3 = 12 (ч.) – перевезуть 2 човняра за 1 рейс;

2) 12: 2 = 6 (ч.) – перевезе 1 човняр за 1 рейс;

3) 6 * 7 = 42 (ч.) – перевезе 1 човняр за 7 рейсів.

36: 3: 2 * 7 = 42 (ч.)

Відповідь: 42 чоловіка перевезе 1 човняр за 7 рейсів.

- Складіть і розв’яжіть усно обернену задачу, в якій шуканим буде число 7.

- Порівняйте розв’язання прямої і оберненої задач. Чим вони відрізняються? Задачі, в яких остання дія множення – це задачі 1-го виду, задачі в яких остання дія ділення – задачі П-го виду.

- Яким способом розв’язуються усі ці задачі: задачі на знаходження четвертого пропорційного, задач, пов’язаних з одиничною нормою, задач на подвійне наведення до одиниці? (Способом наведення до одиниці: щоб відповісти на запитання задачі, треба знати „величину 1 одиниці” для даного випадку.)

- Припустимо, що обидва човняра будуть працювати разом. Припустимо, що в цих човнярів різні човни, як в задачі 2.

Задача 4. Один човняр за рейс перевозить 6 чоловік, а другий – 8 чоловік. Скільки чоловік вони перевезуть за 7 рейсів, працюючи разом?

- Виконайте зміни у короткому записі задачі 2, щоб отримати короткий запис даної задачі.

	Загальна кількість людей	Кількість людей за 1 рейс	Кількість рейсів
	?	6 ч.	7 р.
П	?	8 ч.	7 р.
1 і П	?	?	7 р.

 

- За коротким записом поясніть числа задачі. Яке запитання задачі?

- Чи впізнали ви задачу? (Це задача на спільну роботу.)

- За яким планом розв’язуються задачі на спільну роботу? (Першою дією дізнаємося про загальне значення „величини 1 одиниці” для двох випадків – дізнаємося про кількість чоловік, що перевезуть два човняра за 1 рейс, працюючи разом. Другою дією відповідаємо на запитання задачі – дізнаємось про кількість чоловік, що перевезуть два човняра за 7 рейсів, працюючи разом.)

- Розв’яжіть задачу по діях з поясненням або виразом.

1) 6 + 8 = 14 (ч.) - перевезуть два човняра за 1 рейс, працюючи разом;

2) 14 * 7 = 98 (ч.) - перевезуть два човняра за 7 рейсів, працюючи разом.

(6 + 8) * 7 = 98 (ч.)

- Про що ми дізналися першою дією в цій задачі? (Про кількість чоловік, що перевезуть два човняра за 1 рейс, працюючи разом.) Що є ключем при розв’язанні задач способом наведення до одиниці? (Кількість чоловік, що перевозить певний човняр за 1 рейс.) Що цікавого ви помітили? (В цій задачі для відповіді на запитання задачі нам також потрібне знання „величини 1 одиниці”, але для випадку спільної праці обох човнярів.)

- Уважно розгляньте короткий запис цієї задачі. Подумайте, як іншим способом розв’язати цю задачу? Короткий запис для цієї задачі можна було б виконати інакше:

 

	Загальна кількість людей	Кількість людей за 1 рейс	Кількість рейсів
	?	6 ч.	7 р.
	?
П	?	8 ч.	7 р.

- Припустимо, що човнярі працювали не одночасно: спочатку перевозив людей перший човняр, а потім другий...Чи впізнали ви таку задачу? (Це задача на знаходження суми двох добутків.)

- Розв’яжіть задачу другим способом.

Розв’язання

1) 6 * 7 = 42 (ч.) – перевезе 1 човняр за 7 рейсів;

2) 8 * 7 = 56 (ч.) – перевезе П човняр за 7 рейсів;

3) 42 + 56 = 98 (ч.) – перевезуть обидва човнярі за 7 рейсів.

6 * 7 + 8 * 7 = 98 (ч.)

Відповідь: 98 чоловік перевезуть обидва човнярі за 7 рейсів.

 

Таким чином, ми узагальнили спосіб наведення до одиниці, який застосовується при розв’язанні задач на знаходження четвертого пропорційного, задач, пов’язаних з одиничною нормою, задач на подвійне наведення до одиниці; а також ми провели аналогію між задачами на наведення до одиниці і задачею на спільну роботу.