Задачі на рух в одному напрямку

Підготовча робота.

На ступені підготовчої роботи учні повинні:

1) спостерігати за рухом двох тіл наздогін;

2) усвідомити, що коли швидкість тіла, що рухається позаду за швидкість тіла, що рухається попереду, то відбувається одного тіла другого.

3) зробити висновок: знайти на скільки відстань між тілами за одиницю часу, треба відніманням.

Після спостереження учнями руху в одному напрямі (у випадках, коли швидкість тіла, що наздоганяє більше або менше швидкості тіла, що рухається попереду), учні роблять висновок:

Якщо швидкість тіла, що рухається позаду за швидкість тіла, що рухається попереду, то відстань між тілами весь час . Перше тіло друг тіл .

 

Далі треба з’ясувати, як дізнатися на скільки змінюється відстань між тілами за одиницю часу. Для цього розглядається ситуації:

1. Хлопчики змагаються у бігу. Вони одночасно стартували. При чому швидкість першого хлопчика 8 , а швидкість другого 5 . Як змінюється відстань між ними? На скільки змінюється відстань між ними за кожну секунду?

Пояснюємо числа задачі. (Число 8 означає швидкість першого хлопчика, 8 означає, що перший хлопчик за кожну секунду пробігає по 8 м. Число 6 означає швидкість другого хлопчика, 6 означає, що другий хлопчик за кожну секунду пробігає по 6 м.)

Робимо креслення:

8

6

 

 

За 1 секунду перший хлопчик пробігає 8 м, а другий – 6 м; 8 більше 6, тому другий хлопчик буде відставати від першого. Щоб дізнатися на скільки він буде відставати, треба з більшого числа відняти менше:

8 м

 

?

П

 

6 м

 

З метою закріплення зробленого висновку корисні завдання:

1) Перша черепаха рухається за другою черепахою. Швидкість першої 8 , швидкість другої – 6 . Як змінюється відстань між черепахами? На скільки змінюється відстань між черепахами за кожну хвилину?

8 6

 

 

 

Розв’язання

Відстань між черепахами за кожну хвилину скорочується, тому що швидкість тієї черепахи, що рухається позаду більша за швидкість черепахи, що рухається попереду.

Перша черепаха за кожну хвилину долає 8 дм, а друга – 6 дм. У той час, коли перша черепаха наблизилася до другої на 8 дм, друга від неї віддалилася на 6 дм. Але 8 дм більше за 6 дм., тому все ж таки відстань між черепахами скорочується на:

8 – 6 = 2 (дм)

Відповідь: відстань між черепахами скорочується на 2 дм за кожну хвилину.

 

2) Вітер зірвав з голови чоловіка капелюх. Побачивши це, чоловік побіг за своїм капелюхом. Чи дожене чоловік власний капелюх, якщо вітер несе капелюх зі швидкістю 7 , а чоловік бідить зі швидкістю 6 ? Як змінюється відстань між чоловіком і його капелюхом за кожну секунду?

6 7

 

 

 

Розв’язання

Відстань між чоловіком і його капелюхом за кожну секунду збільшується, тому що швидкість чоловіка, а він рухається позаду менша за швидкість капелюха, який несе вітер.

Чоловік за кожну хвилину долає 6 м, а „капелюх” – 7 м. У той час, коли чоловік наблизилася до капелюха на 6 м, капелюх від нього віддалилася на 7 м. Але 6 м менше за 7 м., тому відстань між чоловіком і капелюхом збільшується на:

7 – 6 = 1 (м)

Відповідь: відстань між чоловіком і капелюхом збільшується на 1 м за кожну хвилину.

 

З метою подолання вузького узагальнення, слід пропонувати аналогічні завдання й на рух назустріч і в протилежних напрямах:

 

4) Танцюристи на ковзанах при виконуванні парної ластівки з різних боків льодового стадіону почали рухатися одночасно назустріч один одному. Хлопчик рухається зі швидкістю 8 , а дівчинка зі швидкістю 7 . Як змінюється відстань між ними за кожну секунду?

 

5) Мисливець зустрів у лісі ведмедя. Обидва злякалися і побігли у протилежних напрямах. Як змінюється відстань між ними за кожну секунду і на скільки, якщо ведмідь біжить зі швидкістю 3 , і мисливець зі швидкістю 3 ?

Після розв’язання аналогічних завдань учні дістають висновків:

1. Відстань при одночасному русі назустріч скорочується на суму відстаней, яку проходить кожне тіло за одиницю часу.

2. Відстань при одночасному русі наздогін скорочується на різницю відстаней, яку проходить кожне тіло за одиницю часу.

Потім можна переходити до ознайомлення учнів с задачами на рух наздогін, при чому це доцільно робити у порівнянні руху назустріч та руху наздогін. Розглянемо це питанням докладно.

 

Ознайомлення с задачами на рух наздогін.

Задача 1. Відстань між двома лижниками на момент початку руху складала 44 м. Вони почали рухатися одночасно один одному. Швидкість першого лижника 12 а швидкість другого 10 Через скільки хвилин опиняться разом?

 

t -? t -?

12 10 12 10

 

 

44 м 44 м

1) 12 + 10 = 22 (м) – на стільки наближаються лижники один до одного за кожну годину; 2) 44: 22 = 2 – через стільки хвилин лижники наблизяться один до одного. Перевірка 1) 12 * 2 = 24 (м) – на стільки наблизився перший лижник до другого за 2 хвилини; 2) 10 * 2 = 20 (м) – на стільки наблизився другий лижник до першого за 2 хвилини; 3) 20 + 24 = 44 (м) - було між лижниками на момент початку руху. Відповідь 5 хвилин.

1) 12 – 10 = 2 (м) – на стільки наближається перший лижник до другого за кожну годину; 2) 44:2 = 22 – через стільки хвилин перший лижник дожене другого. Перевірка 1) 12 * 22 = 264 (м) - на стільки наблизився перший лижник до другого за 22 хвилини; 2) 10 * 22 = 220 (м) – на стільки віддалився другий лижник від першого за 22 хвилини; 3) 264 – 220 = 44 (м) – було між лижниками на момент початку руху Відповідь: 22 хвилини..

 

Задача 2. Відстань між двома чоловіками на момент початку руху була 600 м. Вони одночасно почали рухатися один одному і опинилися разом через 2 хвилини. Яка швидкість другого чоловіка, якщо швидкість першого 170 ?

 

t – 2 хв. t – 2 хв.

170 ? ? 170

 

 

600 м 600 м

1) 600: 2 = 300 (м) – на стільки зменшується відстань між чоловіками за кожну хвилину; 2) 300 – 170 = 130 (м) – стільки долає за кожну хвилину другий чоловік, отже його швидкість 130 . П спосіб. 1) 170 * 2 = 340 (м) – стільки подолає перший за 2 хв; 2) 600 – 340 = 260 (м) –стільки подолає другий за 2 хв; 3) 260: 2 = 130 () – швидкість другого чоловіка.   Відповідь: 130 .

1) 600: 2 = 300 (м) – на стільки скорочується відстань між чоловіками за кожну хвилину; 2) 300 + 170 = 470 (м) – стільки повинен долати другий чоловік за кожну хвилину, отже швидкість другого 470 . П спосіб. 1) 170 * 2 = 340 (м) – на стільки відділиться перший чоловік від другого за 2 хвилини; 2) 600 + 340 = 940 (м) – на стільки метрів повинен наблизитися другий до першого за 2 хвилини; 3) 940: 2 = 470 () – швидкість другого. Відповідь: 470

З метою закріплення учням пропонуються задачі на знаходження відстані у співставленні задач на рух наздогін та рух з відставанням:

Задача 3. Два велосипедиста знаходяться на відстані 240 м один від одного. Швидкість першого велосипедиста 5 , а швидкість другого 3 . Вони почали рухатися одночасно в одному напрямі. Якою буде відстань між ними через 30 с, якщо вони рухаються так, що:

1) перший їде за другим;

2) другий їде за першим?

 

t = 30 с t = 30 с

5 3 3 5

 

 

240 м 240 м

Швидкість велосипедиста, що їде позаду більша за швидкість велосипедиста, що їде попереду. Тому відстань між велосипедистами весь час буде зменшуватися. 1) 5 – 3 = 2 (м) – на стільки зменшується відстань за кожну секунду; 2) 2 * 30 = 60 (м) – на стільки зменшиться відстань за 30 с; 3) 240 – 60 = 180 (м) – буде між велосипедистами через 30 с. П спосіб: 1) 5 * 30 = 150 (м) – на стільки наблизиться перший велосипедист до другого за 30 с; 2) 240 – 150= 90 (м) – стільки залишиться від першого велосипедиста до другого; 3) 3 * 30 = 90 (м) – на стільки віддалиться другий від першого за 30 с; 4) 90 + 90 = 180 (м) - буде між велосипедистами за 30 с.   Відповідь: 180 м буде між велосипедистами через 30 секунд.

Швидкість велосипедиста, що їде позаду менша за швидкість велосипедиста, що їде попереду. Тому відстань між велосипедистами весь час буде збільшуватися. 1) 5 – 3 = 2 (м) – на стільки збільшується відстань за кожну секунду; 2) 2 * 30 = 60 (м) – на стільки збільшується відстань за 30 с; 3) 240 + 60 = 300 (м) буде між велосипедистами через 30 с. П спосіб: 1) 3 * 30 = 90 (м) – на стільки наблизиться другий велосипедист до першого за 30 с; 2) 240 – 90= 150 (м) – стільки залишиться від другого велосипедиста до першого; 3) 5 * 30 = 150 (м) – на стільки віддалиться перший від другого за 30 с; 4) 150 + 150 = 300 (м) - буде між велосипедистами за 30 с.   Відповідь: 300 м буде між велосипедистами через 30 секунд.

- Поясніть числа задачі:

5, 3, 240, 30,

прямі задачі;

5, 3, 240, 30,

- Складіть і розв’яжіть обернені задачі на знаходження відстані, яка була на момент початку руху.

5, 3, 240, 30, 180

обернені задачі;

5, 3, 240, 30, 300

 

Задача 4. Два велосипедиста почали рухатися одночасно в одному напрямі. Швидкість першого велосипедиста 5 , а швидкість другого 3 . Якою була відстань на момент початку руху, якщо через 30 с після початку руху відстань між ними була:

1) 180 м, при чому перший їде за другим;

3) 300 м, при чому другий їде за першим?

t = 30 с t = 30 с

5 3 3 5

 

 

??

Швидкість велосипедиста, що їде позаду більша за швидкість велосипедиста, що їде попереду. Тому відстань між велосипедистами весь час буде зменшуватися. 1) 5 – 3 = 2 (м) – на стільки зменшується відстань за кожну секунду; 2) 2 * 30 = 60 (м) – на стільки зменшиться відстань за 30 с; 3) 180 + 60 = 240 (м) – було на момент початку руху.

Швидкість велосипедиста, що їде позаду менша за швидкість велосипедиста, що їде попереду. Тому відстань між велосипедистами весь час буде збільшуватися. 1) 5 – 3 = 2 (м) – на стільки збільшується відстань за кожну секунду; 2) 2 * 30 = 60 (м) – на стільки збільшиться відстань за 30 с; 3) 300 – 60 = 240 (м) – було на момент початку руху.

 

- Складіть і розв’яжіть обернені задачі на знаходження швидкості.

5, 3, 240, 30, 180

обернені задачі;

5, 3, 240, 30, 300

 

Задача 5. Два велосипедиста знаходяться на відстані 240 м один від одного. Яка швидкість першого велосипедиста, якщо швидкість другого велосипедиста 3 . Вони почали рухатися одночасно в одному напрямі, при чому:

1) перший їде за другим та через 30 с після початку руху відстань між ними складала 180 м;

2) другий їде за першим та через 30 с після початку руху відстань між ними складала 300 м

 

t = 30 с t = 30 с

? 3 3 ?

 

 

240 м 240 м

 

Швидкість велосипедиста, що їде позаду більша за швидкість велосипедиста, що їде попереду. Тому відстань між велосипедистами весь час буде зменшуватися. 1) 240 – 180 = 60 (м) – на стільки зменшилася відстань між велосипедистами за 30 с; 2) 3 * 30 = 90 (м) – на стільки віддалився другий велосипедист від першого за 30 с; 3) 90 + 60 = 150 (м) - на стільки наблизився перший велосипедист до другого за 30 с. 4) 150: 30 = 5 () – швидкість першого велосипедиста. Відповідь: 5 .

Швидкість велосипедиста, що їде позаду менша за швидкість велосипедиста, що їде попереду. Тому відстань між велосипедистами весь час буде збільшуватися. 1) 300 – 240 = 60 (м) – на стільки збільшилася відстань між велосипедистами за 30 с; 2) 3 * 30 = 90 (м) – на стільки відстав другий велосипедист від першого за 30 с. 3) 60 + 90 = 150 (м) – на стільки віддалився перший велосипедист від другого за 30 с; 4) 150: 30 = 5 () – швидкість першого велосипедиста. Відповідь: 5 .

 

- Складіть і розв’яжіть обернені задачі на знаходження часу.

 

5, 3, 240, 30, 180

обернені задачі;

5, 3, 240, 30, 300

 

Задача 6. Два велосипедиста знаходяться на відстані 240 м один від одного. Швидкість першого велосипедиста 5 , а швидкість другого велосипедиста 3 . Через скільки секунд відстань між ними складатиме:

1) 180 м, якщо перший їде за другим;

2) 300 м, якщо другий їде за першим.

 

 

t -? t -?

5 3 3 5

 

 

240 м 240 м

 

Швидкість велосипедиста, що їде позаду більша за швидкість велосипедиста, що їде попереду. Тому відстань між велосипедистами весь час буде зменшуватися. 1) 5 – 3 = 2 (м) – на стільки зменшується відстань між велосипедистами за кожну секунду; 2) 240 – 180 = 60 (м) – на стільки зменшилася відстань між велосипедистами за 30 с; 3) 60: 2 = 30 – за стільки секунд відстань між велосипедистами зменшилася на 60 м. Відповідь: за 30 с відстань між велосипедистами складала 180 м..

Швидкість велосипедиста, що їде позаду менша за швидкість велосипедиста, що їде попереду. Тому відстань між велосипедистами весь час буде збільшуватися. 1) 5 – 3 = 2 (м) – на стільки збільшується відстань між велосипедистами за кожну секунду; 2) 300 – 240 = 60 (м) – на стільки збільшилася відстань між велосипедистами за 30 с; 3) 60: 2 = 30 – за стільки секунд відстань між велосипедистами збільшилася на 60 м. Відповідь: 30 с відстань між велосипедистами складала 300 м..

 

Наведемо приклад роботи над задачею на рух в одному напрямі.

Задача 7. Колобок котиться бабуся Шапокляк гониться за Чебурашкою. Зараз між ними відстань 1100 м. Швидкість Шапокляк 120 , а швидкість Чебурашки 100 . Чи дожене Шапокляк Чебурашку? Через скільки годин?

- Про що йде мова в задачі? (Про рух Шапокляк та Чебурашки.)

- Що відомо про час початку руху? (Вони вирушили одночасно.)

- Як вони рухаються? (Шапокляк біжить за Чебурашкою. Вони рухаються в одному напрямі.)

- Які висновки можна зробити при русі в одному напрямі?(Швидкість Шапокляк більша за швидкість Чебурашки, тому відстань між ними буде весь час зменшуватися. На рух вони витратять однаковий час.)

- Зробимо креслення.

t -?

120 100

 

 

1100 м

- За коротким записом поясніть числа задачі. (Число 120 означає швидкість Шапокляк. 120 означає, що Шапокляк за кожну хвилину пробігає 120 м. Число 100 – означає швидкість Чебурашки. 100 означає, що кожний хвилину Чебурашка пробігає по 100 м. Число 1100 відстань між ними на момент початку руху. Треба знайти час зустрічі. Вони зустрінуться тоді, коли відстань між ними скоротиться до 0.)

- Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі? (Треба знати два числові значення: 1 – відстань, яка була між ними на момент початку руху, відомо 1100 м, та П – відстань, на яку зменшується відстань між Шапокляк та Чебурашкою за кожну хвилину, невідомо.)

- Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? (Дією ділення.)

- Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? (Ні, ми не знаємо відстань, на яку зменшується відстань між Шапокляк та Чебурашкою за кожну хвилину.)

- Що треба знати, щоб про це дізнатися? (Треба знати два числові значення: 1 – на скільки наближається за кожну хвилину Шапокляк до Чебурашки, відомо на 120 м, та П – на скільки віддаляється Чебурашка від Шапокляк за кожну хвилину, відомо, на 100 м.)

- Якою арифметичною дією відповімо на це запитання? (Дією додавання.)

- Чи можна відразу відповісти на це запитання. (Так, ми від запитання перейшли до числових даних. Аналіз закінчено.)

 

?

 

1100:?

 

 

 

120 - 100

 

- Складіть план розв’язування задачі. (Першою дією дізнаємося відстань, на яку зменшується відстань між Шапокляк та Чебурашкою за кожну хвилину. Другою дією дізнаємося через скільки хвилин Шапокляк дожене Чебурашку.)

- Запишіть розв’язання задачі виразом.

Розв’язання

1100: (120 – 100) = 55 (хв..)

Відповідь: через 55 хвилин Шапокляк дожене Чебурашку.