Задачі на знаходження четвертого пропорційного, які розв’язуються способом наведення до одиниці.

Підготовча робота.

Прослухайте задачу та уявіть про що в ній розповідається: “ Маса 6 однакових гусей складає 50 кг. Яка маса 1 гуски? ”

- Про що розповідається в задачі? Що означає вислів “однакових гусей”? Що в них повинно бути однаковим: колір, маса й тощо? (В них однакова маса)

- Які величини містить ця задача?

- Запишімо на дошці цю задачу коротко в формі таблиці:

Маса 1 гуся (кг)	Кількість гусей (шт..)	Загальна маса (кг)
Однакова -?	6 шт.	30 кг

- За коротким записом поясніть, що означають числа задачі.

- Про що запитується в задачі?

- Як пов’язані між собою величини? Як знайти загальну масу? Чому? Як знайти масу 1 гуся? Чому? Як знайти кількість гусей?

- Назвіть запитання задачі. Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі? (Треба знати два числові значення: 1 – загальну масу гусей, відомо 30 кг; та П – кількість гусей, відомо 6.)

- Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? Дією ділення.

- Чи можна відразу відповісти на запитання задачі?

?

30: 6

- Запишіть на дошці розв’язок задачі.

- Запишіть на дошці. відповідь.

 

Задача. Маса гуся 5 кг. Яка маса 4 таких самих гусей?

- Прочитайте задачу та уявіть про що в ній розповідається. Про що розповідається в задачі?

- Які величини містить ця задача? (Маса 1 гуся, кількість гусей, загальна маса.)

- Запишімо на дошці цю задачу коротко в формі таблиці:

Маса 1 гуся (кг)	Кількість гусей (шт..)	Загальна маса (кг)
5 кг	4 шт.	?

- За коротким записом поясніть, що означають числа задачі.

- Про що запитується в задачі?

- Як пов’язані між собою величини? Як знайти загальну масу? Чому? Як знайти масу 1 гуся? Чому? Як знайти кількість гусей?

- Назвіть запитання задачі. Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі? (Треба знати два числові значення: 1 – масу 1 гуся, відомо 5 кг; та П – кількість гусей, відомо 4.)

- Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? Дією множення.

- Чи можна відразу відповісти на запитання задачі?

?

5 * 4

- Запишіть на дошці розв’язок задачі.

- Запишіть на дошці. відповідь.

 

Ознайомлення з задачами на знаходження четвертого пропорційного, які розв’язуються способом наведення до одиниці. (1 вид).

- А тепер уважно прослухайте задачу та уявіть про що в ній розповідається: “ Маса 6 однакових гусей складає 30 кг. Яка маса 4 таких самих гусей? ”

- Про що розповідається в цій задачі?

- Які величини містить ця задача? Розгляньте короткий запис цієї задачі.

	Маса 1 гуся (кг)	Кількість гусей (шт..)	Загальна маса Гусей (кг)
1.		6 шт.	30 кг
	?, однакова
П.		4 шт.	?

- За таблицею поясніть числа задачі. Що означає однакова величина. Яке запитання задачі? У відповіді ми отримаємо більше чи менше число за 30, чому?

- Порівняйте цю задачу з попередніми, що ви помітили цікавого?

- Дана задача складається з двох попередніх задач – вона складена.

- Повторіть запитання задачі.

- Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі? (Треба знати два числові значення: 1 – масу 1 гуся, невідомо, та П – кількість гусей, відомо 4.) Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? (Дією множення: щоб знайти загальну масу треба масу 1 гуски помножити на кількість гусок.)

- Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? (Не можна, ми не знаємо масу 1 гуся.)

- Що сказано в задачі про масу 1 гуся в першому та другому випадках? (Маса 1 гуся і в першому і в другому випадках однакова.) Що це означає? (Можна знайти масу 1 гуся у першому випадку.)

- Що треба знати, щоб знайти масу 1 гуся – однакову величину? (Треба знати два числові значення стосовно першого випадку: 1 – загальну масу гусей, відомо 30 кг, та П – кількість гусей, відомо 6 шт.) Якою арифметичною дією відповімо на запитання? (дією ділення: щоб знайти масу 1 гуся, треба загальну масу поділити на кількість.)

- Чи можна на це запитання відповісти відразу?

?

? * 4

30: 6

- Складіть план розв’язування задачі.

- Запишіть розв’язок.

3) 30: 6 = 5 (кг) – маса 1 гуся, однакова величина

4) 5 * 4 = 20 (кг) – загальна маса 4 гусей

- Запишіть відповідь.

- Повернемося до нашого припущення, чи вірно ми припустили,що у відповіді буде число менше за 30?

На підставі порівняння текстів наступних задач на знаходження четвертого пропорційного та їх розв’язків, учні встановлюють: в кожній задачі є три величини, при чому одна з них однакова. Невідомим є загальне значення величини. А також, в кожній задачі є два випадки. Ці задачі належать до одного виду – такі задачі називаються - задачі на знаходження четвертого пропорційного. Першою дією в таких задачах ми дізнаємося про однакову величину, тому що не дізнаючись про неї ми не зможемо відповісти на запитання задачі. Другою дією в таких задачах ми відповідаємо на запитання задачі, дізнаємося про загальне значення величини.

В цій задачі однаковою є маса 1 гуся, тобто величина 1 одиниці. Знаходження величини однієї одиниці є ключем до розв’язання таких задач. Тому кажуть, що задачі на знаходження четвертого пропорційного розв’язуються способом наведення до одиниці.

 

Ознайомлення з задачами на знаходження четвертого пропорційного, які розв’язуються способом наведення до одиниці. (П вид)

 

Допоміжна задача.

- Прочитайте задачу: За 5 годин роботи двигуна витратили 30 л пального. Скільки потрібно літрів пального для 8 годин роботи двигуна?

- Уявіть про що в ній розповідається?

- Про що розповідається в задачі? (В задачі розповідається про двигун, який працював, витрачаючи для цього пальне.)

- Що нам відомо в задачі? (Відомо, що за 5 годин роботи двигун витратив 30 л пального; відомо, що потім він працював ще 8 годин.)

- Про що запитується в задачі? (Скільки літрів пального витратив двигун за 8 годин?)

- Про які величини йде мова в задачі? Яка величина вимірюється в годинах? (В годинах вимірюється час. В цій задачі – час роботи двигуна.) Яка величина вимірюється в літрах? (В літрах вимірюється об’єм. В цій задачі – об’єм пального.)

- Яка величина пов’язує об’єм пального та час роботи? (Об’єм пального за 1 годину.)

- Як ви вважаєте, чи є в цій ситуації однакова величина? Так, об’єм пального за 1 годину у одного й того самого двигуна завжди однаковий.

- Чи можна виділити ключові слова в задачі? (В задачі немає ключових слів, але йде мова про два випадки: 1 та П.) Запишемо задачу коротко в формі таблиці.

	Загальний об’єм пального (л)	Об’єм пального За 1 годину (л)	Час роботи (год.)
	30 л		5 год.
		однаковий
П	?		8 год.

- За коротким записом поясніть числа задачі. Що означає однакова величина.

- Як пов’язаний об’єм пального за 1 годину з загальним об’ємом пального та часом роботи? (Щоб знайти об’єм пального за 1 годину треба загальний об’єм поділити на час роботи.)

- Як пов’язаний загальний об’єм пального з об’ємом пального за 1 годину та часом роботи? (Щоб знайти загальний об’єм треба об’єм пального за 1 годину помножити на час роботи.)

- Яке запитання задачі? (Скільки пального витрачено за 8 годин роботи?)

- Як ви вважаєте більше чи менше пального витрачено у другий раз, ніж у перший? (У другий раз витрачено пального більше, ніж у перший – 30 л, тому що, у другий раз двигун працював більше часу.)

- Повторіть запитання задачі.

- Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі?(Треба знати два числові значення: 1 – витрату пального за 1 годину, невідомо, та П – час роботи, відомо 8 години.) Якою дією відповімо на запитання задачі? (Дією множення)

- Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? (Ні, тому що ми не знаємо витрату пального за 1 годину – це однакова величина, тому її можна знайти за двома даними величинами 1-го випадку.)

- Що треба знати, щоб знайти об’єм пального за 1 годину? (Треба знати два числові значення: 1 – загальний об’єм пального, відомо 30 л, та П – час роботи, відомо 5 години.) Якою дією відповімо на запитання? (Дією ділення.)

- Тепер можна відповісти на запитання задачі? (Так, ми від запитання прийшли до числових даних задачі.)

?

? * 8

30: 5

- Складіть план розв’язування задачі.(Першою дією дізнаємося про об’єм пального, який витрачає двигун за 1 годину. Другою дією дізнаємося про об’єм пального, який витратив двигун за 8 годин.)

- Покажемо на короткому записі першу просту задачу, на запитання якою ми відповімо першою дією:

	Загальний об’єм пального (л)	Об’єм пального За 1 годину (л)	Час роботи (год.)
	30 л	?	5 год.
		однаковий
П	? л		8 год.

- Запишіть розв’язання.

1) 30: 5 = 6 (л) витрачає двигун за 1 годину

2) 6 * 8 = 48 (л) витратив двигун за 8 годин

Розв’язання можна записати виразом: 30: 5 * 8 = 48 (л)

- Запишіть відповідь до задачі. (Відповідь: 48 л пального витратив двигун за 8 годин.)

- Як перевірити, чи вірно ми розв’язали цю задачу? (Можна скласти обернену задачу і розв’язати її.)

- Випишіть у рядочок всі числа даної задачі. Поясніть, що означає кожне число.

30, 5, 48, 8 – пряма задача.

 

- Складіть обернену задачу так, щоб шуканим було число 8.

30, 5, 48, 8.

За 5 годин роботи двигуна витратили 30 л пального. На скільки годин роботи двигуна вистачить 48 л пального?

- Виконайте зміни в короткому записі на дошці:

	Загальний об’єм пального (л)	Об’єм пального За 1 годину (л)	Час роботи (год.)
	30 л		5 год.
		однаковий
П	48 л		?

- Назвіть запитання цієї задачі? Більше чи менше число отримаємо у відповіді? Чому?

- Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі?(Треба знати два числові значення: 1 – загальний об’єм пального, 48, та П – витрату пального за 1 годину, невідомо) Якою дією відповімо на запитання задачі? (Дією ділення.)

- Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? (Ні, тому що ми не знаємо витрату пального за 1 годину – це однакова величина, тому її можна знайти за двома даними величинами 1-го випадку.)

- Що треба знати, щоб знайти об’єм пального за 1 годину? (Треба знати два числові значення: 1 – загальний об’єм пального, відомо 30 л, та П – час роботи, відомо 5 години.) Якою дією відповімо на запитання? (Дією ділення.)

- Тепер можна відповісти на запитання задачі? (Так, ми від запитання прийшли до числових даних задачі.)

?

48:?

30: 5

- Розкажіть план розв’язування цієї задачі. (Першою дією дізнаємося про однакову величину – об’єм пального, який витрачає двигун за 1 годину. Другою дією відповімо на запитання задачі, дізнаємося на скільки годин вистачить 48 л пального.)

- Покажемо на короткому записі першу просту задачу, на запитання якою ми відповімо першою дією:

	Загальний об’єм пального (л)	Об’єм пального За 1 годину (л)	Час роботи (год.)
	30 л	?	5 год.
		однаковий
П	48 л		? год.

- Порівняйте план розв’язування прямої і оберненої задач. Що цікавого ви помітили? (Обидві задачі містять однакову першу просту задачу, в якій запитується про об’єм пального за 1 годину. Тому вони мають одну й ту саму першу дію.)

- А чим буде відрізнятися розв’язання прямої та оберненої задач? (Другою дією – в оберненій задачі це буде дія ділення.)

- Запишіть розв’язання.

1) 30: 5 = 6 (л) витрачає двигун за 1 годину

2) 48: 6 = 8 – за стільки годин витратить двигун 48 л

Розв’язання можна записати виразом: 48: (30: 5) = 8

- Запишіть відповідь до задачі. (Відповідь: за 8 годин витратить двигун 48 л пального.)

 

- Який висновок можна зробити щодо перевірки вірності розв’язання прямої задачі? (Ми її розв’язали вірно, тому що у відповіді у оберненій задачі ми отримали число 8, яке було дано в прямій задачі.)

- Ми не лише перевірили вірність розв’язання задачі, а й розв’язали задачу іншого виду. Порівняйте умови цих задач? Чим вони схожі? (Обидві задачі містять три пропорційні величини, одна з яких однакова; в обох задачах є два випадки: при чому стосовно першого випадку дані значення двох величин, а стосовно другого випадку – лише однієї, а значення другої величини є шуканим.) Таким чином, обидві задачі містять чотири пропорційні числа, одне з яких є шуканим. Такі задачі називаються задачами на знаходження 4-го пропорційного.

- Чим відрізняються ці задачі? (В першій задачі, шуканим було значення величини, яка є загальною – вона знаходиться дією множення; а в другій задачі шуканим є значення величини, яка знаходиться дією ділення.)

- Цю відмінність і покладено в основу класифікації таких задач: задачі, в яких треба знайти значення загальної величини дією множення – це задачі 1-го виду; а задачі, в яких шукана величина знаходиться дією ділення – це задачі П-го виду.

- А що спільного в планах розв’язування задач 1-го та П-го виду? (Першою дією знаходимо значення однакової величини. Другою дією відповідаємо на запитання задачі.)

 

Формування умінь розв’язувати задачі на знаходження 4-го пропорційного, способом наведення до одиниці.

На ступені формування умінь розв’язувати задачі на знаходження четвертого пропорційного після розв’язання задачі одного виду пропонуємо скласти одну із обернених задач іншого виду; порівнюємо їх розв’язки.

Наведемо приклади взаємнообернених задач:

Пряма задача. На 6 скатертин кравчиня витратила 30 м тканини. Скільки метрів тканини потрібно на 4 такі самі скатертини?

Розв’язання.

1) 30: 6 = 5 (м) тканини йде на 1 скатертину;

2) 5 * 4 = 20 (м) тканини йде на 4 скатертини.

30: 6 * 4 = 20 (м)

Відповідь: 20 м тканини потрібно на 4 такі самі скатертини.

 

6, 30, 4, 20 - пряма задача.

6, 30, 4, 20 - перша обернена задача.

 

На 4 скатертини кравчиня витратила 20 м тканини. Скільки метрів тканини потрібно на 6 таких самих скатертин?

Розв’язання.

1) 20: 4 = 5 (м) тканини йде на 1 скатертину;

2) 5 * 6 = 30 (м) тканини йде на 6 скатертин.

Або 20: 4 * 6 = 30 (м)

Відповідь: 30 м тканини потрібно на 6 таких самих скатертин.

6, 30, 4, 20 - друга обернена задача.

 

На 4 скатертини кравчиня витратила 20 м тканини. Скільки таких самих скатертин вийде з 30 метрів тканини?

Розв’язання.

1) 20: 4 = 5 (м) тканини йде на 1 скатертину;

2) 30: 5 = 6 стільки вийде скатертин.

Або 30: (20: 4) = 6

Відповідь: 6 таких самих скатертин вийде з 30 м тканини.

6, 30, 4, 20 - тертя обернена задача.

 

На 6 скатертин кравчиня витратила 30 м тканини. Скільки таких самих скатертин вийде з 20 метрів тканини?

Розв’язання.

1) 30: 6 = 5 (м) тканини йде на 1 скатертину;

2) 20: 5 = 4 стільки вийде скатертин.

Або 20: (30: 6) = 4

Відповідь: 4 такі самі скатертини вийде з 20 м тканини.

 

Треба зазначити, що на ступені формування умінь і навичок, коли учні відразу впізнають задачу і можуть записати розв’язання виразом, можна відходити від запису задачі в формі таблиці і пропонувати учням більш лаконічний короткий запис – в схематичній формі. Наприклад: На 6 скатертин кравчиня витратила 30 м тканини. Скільки таких самих скатертин вийде з 20 метрів тканини?

	6 шт. – 30 м ? - 20 м

 

 

На цьому ступні учні познайомити учнів з двома способами наведення до одиниці – прямим і оберненим. Спосіб прямого наведення до одиниці полягає в тому що ми знаходимо величину однієї одиниці для тієї величини, до якої в задачі дані обидва значення. Спосіб оберненого наведення до одиниці призводиться до того, що знаходять відповідне значення одиниці тієї величини, для якої в умові указано лише одне дане (одне значення). Наприклад, розглянемо задачу: Із 40 кг борошна випекти 160 батонів. Скільки батонів випечуть з 240 кг борошна, якщо на кожний батон витрачають однакову масу борошна?

1) Спосіб прямого наведення до одиниці:

	Загальна маса борошна (г)	Маса 1 батона (г)	Кількість батонів (шт..)
	40 кг=40000 г		160 шт.
		однакова
П	240 кг=240000 г		?

 

Розв’язання

1) 40000: 160 = 250 (г) – маса 1 батона

2) 240000: 250 = 960 – стільки штук батонів випечуть з 240000 г = 240 кг боршна.

Або 240000: (40000: 160) = 960

2) Спосіб оберненого наведення до одиниці:

	Загальна маса борошна (г)	Кількість батонів з 1 кг борошна (шт.)	Кількість батонів (шт..)
	40 кг		160 шт.
		однакова
П	240 кг		? г

Розв’язання

1) 160: 40 = 4 (шт..) батонів отримують з 1 кг борошна

2) 4 * 240 = 960 (шт..) батонів отримають з 240 кг борошна.

Або 160: 40 * 240 = 960 (шт.)

Відповідь: 960 батонів випечуть з 240 кг борошна.