Методика вивчення частин величини.

 

Потреба в більш точних вимірюваннях величин призвела до того, що одиниці вимірювання стали ділити на кілька рівних частин: 2, 4, 8 і так далі. Кожна частина початкової мірки мала свою назву. Наприклад, в стародавній Русі половину називали полтиною, четверту частину називали четь, про восьму частину говорили – півчеть, про шістнадцяту – півпівчеть і так далі. Рівні частини цілої мірки називали долями (частинами): четверта частина, восьма, шістнадцята й тощо.

Отже, дроби – це числа, які виражають частини рахунку або вимірювання.

Означення. Звичайні дроби – це числа виду, де а і в натуральні числа.

Згідно програми початкового курсу математики при вивченні частин величини розв’язуються наступні задачі:

1) сформувати у учнів уявлення про частини величини;

2) навчити порівнювали частини на наочній основі;

3) навчити розв’язувати задачі на знаходження частини від числа і числа за величиною його частини.

Тема “Частини величини” (“Долі”) починає вивчатися в 3-му класі під час вивчення таблиць множення і ділення.

Тема вивчається на практичній основі з застосуванням великої кількості наочності: рисок паперу, прямокутників, кругів, рівносторонніх трикутників, а також можна застосовувати яблуко, торт для ділення на рівні частини.

 

Ознайомлення з поняттям про частини.

 

Учитель приносить на урок яблуко і розрізає його на дві рівні частини і показує одну таку частину.

- Як можна назвати цю частину яблука?(Діти кажуть, що це половина яблука.)

- Чому? (Яблуко розділили навпіл.)

- Як отримати половину яблука? (Треба ціле яблуко поділити на дві рівні частини і взяти лише одну таку частину.)

Учитель показує іншу частину яблука:

- Що це? (Половина яблука!) Доведіть. (Яблуко поділили на дві рівні частини. Кожна така частина є половиною. Отже перша частина – половина та друга частина – половина.)

- Скільки половин в цілому яблуці? (В цілому дві половини!)

 

Далі учням пропонується взяти риску паперу, поділити її на дві рівні частини і розмалювати одну таку частину.

 

- Що ви розмалювали? (Половину риски?)

- Що таке половина? (Половина – це одна з двох рівних частин цілого!)

 

Учні розмальовують половину круга: перегинають круг навпіл так, щоб боки співпали, розгладжують лінію згину, розгортають і бачать: лінією згину поділено цілий круг на дві рівні частини; і розмальовують одну з таких частин.

 

Після розмалювання половини прямокутника вчитель запитує дітей:

- Як отримати половину?

- Поділіть прямокутник навпіл. Розмалюйте половину.

- Скільки таких половин в цілому?

- Як можна інакше поділити прямокутник навпіл? Покажіть половину?

- Скільки таких половин в цілому?

- Як інакше поділити прямокутник навпіл? Покажіть половину.

- Скільки таких половин в цілому?

- Скільки половин в цілому? (Цілому дві половини!)

 

 

Отже, якщо цілу величину поділити на дві рівні частини, то кожну таку частину називають половиною.

 

		Для того, щоб отримати половину, треба ціле поділити на дві рівні частини і взяти одну таку частину.
			Ціле містить дві половини.

 

- Половина - одна друга – це дробове число, воно записується так:.

- Як ми отримали? (Ми одне ціле поділили на 2 рівні частини.)

- Отже: 1: 2 =.

- В запису під рискою записано число 2. Що означає число 2? (Число 2 означає на скільки рівних частин поділили ціле.)

- Яке число записано над рискою((Число 1.) Число над рискою 1 означає скільки таких частин взяли.

Деякі методисти відразу радять ввести і терміни “чисельник” і “знаменник”, тоді як за чинним підручником ці терміни вводяться при вивченні дробів в 4-му класі.

- Число під рискою називається знаменник. Що показує знаменник? (Знаменник показує на скільки рівних частин поділили ціле.)

- Число над рискою називається чисельник. Що показує чисельник? (Чисельник показує скільки таких частин взяли.)

Отже, частини записуються парою цифр. Кажуть цифра над рискою (чисельник) та цифра під рискою (знаменник).

 

 

Риска – це те ж знак ділення. В математиці арифметична дія ділення має два знаки – “:”, “—“.

Аналогічно вводяться третина, чверть, п’ята, шоста, восьма... частини

Якщо цілу одиницю рахунку або вимірювання поділити на 3 рівні частини, то кожна буде рівна одній третій – третині:

		Ціле містить три третини.

 

 

Якщо одиницю розділити на 4 рівні частини, то кожна частина рівна одній четвертій – чверті.

		Ціле містить чотири чверті.

 

 

Такий самий зміст мають числа,, і так далі.

 

 

Отже, запис означає, що одиницю поділили на п рівних частин і взяли 1 таку частину.

Термін “ рівні частини” іноді заміняють терміном “долі” (частини). Сказати, що пиріг розділили на 5 долів – це означає, що пиріг поділили на 5 рівних частин.

Закріплення поняття про частини відбувається на підставі завдань:

 

Завдання 1. Диню поділили порівну між 5 дітьми. Яку частину дині отримав кожний?

 

Завдання 2. Яку частину відрізку АВ складає відрізок СD?

А С D В

 

 

Завдання 3. Яку частину круга складає розмальована частина?

 

Завдання 4. Прочитай записи: торту, яблука, гарбуза, дороги, дециметру, години, кілограму. Що вони означають?

 

Завдання 5. Одне ціле – одиницю поділили на 7, 13, 17, 24, 99 рівних частин. Як назвати одну з таких частин в кожному випадку? Запишіть отримані дроби.

 

Завдання 6. Кавун важить 6 кг. Скільки кілограмів важить його половина?

При розв’язанні подібних задач діти повинні міркувати за правилом: щоб отримати половину, треба ціле поділити на дві рівні частини. Отже, цілий кавун, 8 кг, треба поділити на 2. Маємо 8: 2 = 4(кг). Половина кавуна важить 8 кг.

 

Завдання 7. П’ята частина учнів класу відмінники. Відмінників 7 учнів. Скільки учнів в класі?

При розв’язанні цього завдання учні міркують за правилом: в цілому 5 п’ятих частин, тому по 7 учнів треба взяти 5 разів. Маємо 7 * 5 = 35 (уч.). Відповідь: 35 учнів в класі.

 

Треба зазначити, що 6 та 7 завдання можна розглядати, як підготовку до введення правил на знаходження долі від числа та числа за його долею. З цією метою корисні запитання:

- У скільки разів (,,,,...) менше за ціле?

- У скільки разів ціле більше за (,,...)?

Завдання 8. Яку частину метра складає 1 дм? 1 см?

Яку частину години складає 1 хвилина? 1 секунда?

Міркуємо так: в 1 метрі 10 дециметрів, тому 1 така частина – це, отже 1 дм – м.

Порівняння частин.

 

Діти порівнюють частини спираючись на наочність.

1) виконують практичні дії з наочністю: на однакових геометричних фігурах отримують дані частини і накладають одну на одну, і роблять висновок;

2) розглядають малюнки, на яких на однакових геометричних фігурах розмальовані певні частини, на підставі чого роблять висновок.

 

Завдання 1. Порівняйте за малюнками частини:

- Розгляньте риски. Що в них спільного?

- На скільки рівних частин поділено першу риску? Яку частину розмальовано? Скільки половин в цілому?

- На скільки рівних частин поділено другу риску? Яку частину розмальовано? Скільки третин в цілому?

- На скільки рівних частин поділено третю риску? Яку частину розмальовано? Скільки четвертих частин в цілому?

- На скільки рівних частин поділено четверту риску? Яку частину розмальовано? Скільки п’ятих частин в цілому?

- Порівняйте та. Чому половина більша за третину? (Тому що цілу риску спочатку поділили лише на дві рівні частини, а потім – на три рівні частини; і від цього величина однієї частини зменшилася.)

- Порівняйте та. Чому?

- Порівняйте та. Чому?

		- «одна друга»   - «одна третя»   - «одна четверта»   - «одна п’ята»

 

> > >;

Величина однієї долі більше, якщо ціле поділили на менше число рівних частин.

Величина однієї долі менше, якщо ціле поділили на більше число рівних частин.

Завдання 2. Запишіть частини в порядку зростання:,,,,,.

Завдання 3. Порівняйте половину та чверть. Що більше?

1. Відрізок ділять спочатку на дві рівні частини і показують половину;
2. Потім відрізок ділять на чотири рівні частини і показують чверть;
3. Роблять висновок.

 

 

 

 

Знаходження частини (долі) від числа.

 

Правило знаходження частини від числа може бути введено двома способами:

1. На підставі розв’язання простої задачі на конкретний зміст ділення на рівні частини;
2. На підставі індуктивного узагальненні результатів вимірювання.

Розглянемо обидві методики:

 

Задача1. Відрізок, довжиною 12 см розділили на 4 рівні частини. Як називається одна така частини? Знайдіть довжину четвертої частини відрізка.

Доцільно розв’язання задачі ілюструвати кресленням:

?

 

12 см

- Як отримати чверть? (Треба величину цілого поділити на 4 рівні частини.)

Звідти витікає розв’язок: 12: 4 = 3 (см)

Можна міркувати інакше:

- Скільки четвертих частин в цілому? (Чотири)

- У скільки разів довжина чверті менше, ніж довжина цілого відрізку? (В чотири рази.)

- Якою арифметичною дією знаходимо число, яке у кілька разів менше за дане? (Дією ділення.)

Розв’язання: 12: 4 = 3 (см)

Відповідь: 3 см.

- Що означає число 12? (Довжину цілого відрізка.)

- Що означає число 4? (Кількість рівних частин в цілому.)

- Що означає число 3? (Довжину четвертої частини відрізку.)

- Якою арифметичною дією ми дізналися про частину від цілого? (Дією ділення)

- Як знайти величину частини від цілого? (Треба величину цілого поділити на кількість рівних частин в ньому.)

- Зробимо узагальнюючий висновок:

Щоб знайти частину від числа, треба величину цілого поділити на кількість рівних частин в ньому.

 

При виведенні цього висновку можна застосовувати практичну роботу. Дітям роздаються по 3 риски паперу довжиною 24 см. Діти отримують,, цієї риски і вимірюють лінійкою довжини отриманих частин. Дані заносять у таблицю:

Довжина цілої риски	На скільки рівних частин ділили цілу риску	Довжина однієї частини
24 см		12 см
24 см		6 см
24 см		3 см

Діти вивчають дані таблиці і визначають, якою арифметичною дією можна дізнатися про величину частини від цілого. Потім роблять перевірку своєї гіпотези і формулюють правило.

На етапі закріплення правила учням пропонуються завдання на знаходження частини від числа:

1) Знайти від 49;

2) Знайти від 20;

3) Знайти від 100 см;

4) Знайти від 15 хв.;

Задача 2. В магазин привезли 56 кг огірків. До обіду продали всіх огірків. Скільки кілограмів огірків продали до обіду?

	1 – 56 кг -?....

 

 

- Що означає число 56? (Масу усіх огірків, що привезли.)

- Що означає число? (Яку частину огірків продали до обіду.)

- Що означає знаменник 8? (Що усі 56 кг огірків поділили на 8 рівних частин.)

- Що означає чисельник 1? (ЩО 1 таку частину продали до обіду.)

- Що в цій задачі грає роль цілого? (56 кг огірків). Ціле в математиці позначається, як 1. Запишімо це:

- Що треба знайти в цій задачі? (Треба знайти від 56 кг.)

- Як знайти частину від числа?

Розв’язання: 56: 8 = 7 (кг).

Відповідь: 7 кг огірків продали до обіду.

Далі розв’язуються складені задачі, які містять знаходження частини від числа.

 

Знаходження числа за величиною його частини (долі).

 

Задача 1. Довжина чверті відрізка дорівнює 3 см. Визначити довжину цілого відрізка.

- Скільки четвертих частин в цілому? (Чотири)

- Яка довжина чверті відрізка? (3 см).

- Якщо в цілому відрізку 4 таких частини по 3 см, то треба по 3 см взяти 4 рази.

- Якою арифметичною дією дізнаємося про довжину цілого відрізка? (Дією множення.)

Розв’язання: 3 * 4 = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

- Що означає число 3? (Довжини однієї частини.)

- Що означає число 4? (Кількість частин в цілому.)

- Що означає число 12? (Величину цілого)

- Якою дією ми дізналися про величину цілого? (Дією множення.)

- Як знайти величину цілого за величиною його частини? (Треба величину частини помножити на кількість частин в цілому.)

- Зробимо узагальнюючий висновок:

Щоб знайти число за величиною його частини, треба величину частини помножити на кількість частин в цілому.

На етапі закріплення правила учням пропонуються завдання на знаходження цілого числа за величиною його частини, наприклад:

1) Знайти число, якщо його складає 8;

2) Знайти число, якщо його дорівнює 5;

3) частина складає 7 кг. Яка маса цілого?

1 -?.... - 12 с.

Задача 2. Дівчинка прочитала 12 сторінок, що складає книги. Скільки сторінок містить ціла книга?

 

 

- Що означає число 12? (Скільки сторінок прочитала дівчинка.)

- Що ще означає число 12? (Величину книги.)

- Що означає число? (Яку частину книги прочитала дівчинка.)

- Що означає знаменник 5? (На скільки рівних частин поділили цілу книгу.)

- Що означає чисельник 1? (Скільки таких частин прочитала дівчинка.)

- Що треба знайти в цій задачі? (Величину цілої книги.)

- Як в математиці позначається ціле? (1)

- Що треба знайти в цій задачі? (Треба знайти число за величиною його частини.)

- Як знайти число за величиною його частини?

Розв’язання: 12 * 5 = 60 (с.)

Відповідь: 60 сторінок в книзі.

 

Складені задачі, які містять знаходження частини від числа ми розглянемо в розділі „ Методика роботи над складеними задачами в 3-му класі.”.