Тотожні перетворення виразів

 

Тотожні перетворення виразів – це заміна даного виразу іншим, значення котрого рівно значенню даного (зазначимо, що це означення вірно лише для чисел, які вивчаються в курсі початкової школи).

Тотожні перетворення в 3-му класі здійснюються на підставі властивостей арифметичних дій та їх наслідків:

1) переставної властивості множення та додавання;

2) сполучної властивості додавання та множення;

3) правил:

- віднімання суми від числа, числа від суми;

 

 

- множення числа на суму, суми на число;

	а * (в + с) = а * в + а * с		(а + в) * с = а * с + в * с

 

 

- ділення суми на число; ділення числа на добуток й тощо.

 

	(а + в): с = а: с + в: с

 

Вивчаючи властивості арифметичних дій діти впевнюються, що в деяких виразах можна виконувати дії по-різному, але значення їх при цьому не змінюється. Далі знання цих властивостей арифметичних дій учні застосовують для перетворення виразів у тотожні.

52: 4 = (40 + 12): 4 = 40: 4 + 12: 4 = 10 + 3 = 13

Важливо, щоб учні не тільки пояснювали на підставі чого вони отримають наступний вираз, але й розуміли, що всі ці вирази поєднує знак “=” тому,що вони мають однакові значення.

Учні 3-го класу також виконують тотожні перетворення не тільки на підставі властивостей арифметичних дій, але й на підставі їх конкретного змісту дії множення:

3*4 = 3+3+3+3

В 3-му класі учні роблять висновок: якщо у виразі з дужками, дужки не впливають на порядок дій, тоді їх можна не ставити:

18+(8:2) = 18+8:2

Цей висновок роблять при розв’язанні задач за допомогою складання виразу та знаходження значення виразу по діях з поясненням.

 

Буквені вирази.

Якщо вираз складається також ще й з букв – це буквений вираз.

 

У процесі виконання завдань на знаходження значень виразів із змінною формується розуміння змінної як букви у виразі,що може набувати деякої множини значень. В учнів має створитися чітке уявлення про те, що у виразу із змінною – буквою не має певного значення, воно залежить від того яке значення приймає буква.

В 3-му класі продовжується робота над виразами з однією змінною, а також вводяться вирази, які містять дві букви.

Спочатку учні знайомляться з буквеними виразами, які утримують дві однакові букви,та вчаться знаходити їх числове значення при заданому значенні букви:

1. а + (а +25),якщо а =12

2. Обчислити значення виразу,якщо а =8: а +6* а

Обчислити значення цього виразу можливо декількома способами:

1 спосіб: підставити значення букви та обчислити значення виразу: а + 6* а,якщо а =8,отримаємо

8 + 6*8 = 8 + 48 = 56

Цей спосіб передбачено підручником. Тому що, даний приклад пропонується після складання таблиці множення числа 6.Але в подальшому навчанні можна використовувати ще й інший спосіб обчислення значення буквеного виразу:

2 спосіб: виконати тотожні перетворення виразу:

1) переставимо місцями доданки: 6* а + а

2) переставимо місцями множники: а *6 + а

3) використаємо конкретний зміст дії множення: а * 7

4) підставимо значення букви та обчислимо значення виразу: 8*7=56.

Зазначимо,що цей спосіб можна запропонувати дітям під час вивчення таблиці множення числа 8.Тобто можна ще раз повернутися до вже розв’язаного прикладу й показати інший засіб розв’язання.

3. Знайти значення виразу: а + а + а + а = а *4, якщо а =7

Тобто тут учні уперше зустрічаються з тим, що буква може бути однаковим доданком, суму однакових доданків можна замінити добутком. Таким чином виконано тотожнє перетворення буквеного виразу, а потім пропонується знайти значення отриманого буквеного виразу. Це означає, що у подальших прикладах на знаходження значень буквених виразів якщо можливо виконувати спочатку тотожні перетворення, які спрощують вираз, а тільки потім знаходити числове значення буквеного виразу при заданому значенні букви.

Далі пропонуються завдання на знаходження значення буквеного виразу, який містить дві різні букви.

 

При вивченні множення та ділення у межах 1000 букви широко застосовують для узагальнення правил множення та ділення з 1 та 0: пропонується знайти значення буквеного виразу при заданому значенні букви,використовуючи попередні правила, тобто виконуючи тотожні перетворення буквених виразів:

1 * а,якщо а =8 отримаємо 1 * а = а = 8

 

Взагалі, в 3-му класі новим є використання різних букв латинського алфавіту для позначення змінної; розгляд виразів, у яких змінна повторюється та виразів із двома буквами.

 

Також учні знайомляться з задачами, які містять буквене дане, та вчаться складати буквений вираз до задачі. У початкових класах вміння розв’язувати ці задачі не входить в обов’язковий мінімум, тому в контрольні роботи вони не включаються. У підручниках задачі з буквеними даними за математичним змістом для учнів не нові. Такі задачі вони вже розв’язували, але з числовими даними. Однією з особливостей в оформленні розв’язку задач з буквеними даними є те, що короткий запис варто поєднувати з розв’язанням задачі.

Наприклад: Від першої корови доярка надоїла а л молока, а від другої – на 3 л більше. Скільки літрів молока доярка надоїла від обох корів?

2. Прочитайте задачу та уявіть про що в ній говориться. Про що говориться в задачі?

3. Запишімо задачу коротко. Які ключові слова можна виділити?

1 корова – а л? – це звичайний короткий запис.

2 корова -?,на 3 л більше

4. За коротким записом (або текстом задачі) поясніть числа задачі. Яке запитання?

5. Скільки літрів молока надоїли від 1-ї корови? 1 корова - а л

6. Скільки літрів молока надоїли від 2-ї корови? 2 корова - (а + 3) л

(Ми не знаємо скільки літрів молока дала 2-га корова, але ми знаємо, що на 3 літри більше ніж 1-ша корова, на 3 л більше – це означає стільки ж скільки 1-ша корова а л, та ще 3 л, тому 2-га корова дала (а + 3) л молока.

7. Яке запитання задачі? Що потрібно знати, щоб відповісти на запитання задачі? Якою дією відповімо на запитання задачі?

.. а + (а + 3) л надоїла доярка від двох корів.

 

Роботу над задачами, які містять буквене дане можна проводити і за звичайним порядком – за пам’яткою № 3:

Задача. З одного рядка зібрали 6 гарбузів, а з другого а гарбузів. Усі гарбузи розклали в 2 ящики, порівну у кожний. Скільки гарбузів клали в один ящик?

 

- Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі? (Треба знати два числові значення: 1 – скільки всього гарбузів зібрали з двох рядків, не відомо, та П – скільки було ящиків, відомо, 2.)

- Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? (Дією ділення, тому що розклали порівну.)

- Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? (Ні, ми не знаємо, скільки всього гарбузів зібрали з двох рядків.)

- Що треба знати, щоб про це дізнатися? (Треба знати два числові значення: 1 – скільки зібрали з 1 –го рядка, відомо, 6, та П – скільки зібрали з другого, відомо, а.)

- Якою арифметичною дією відповімо на запитання? (Дією додавання.)

- Чи можна відразу відповісти на це запитання? (Так, відомі обидва числові значення.) Ми від запитання задачі перейшли до числових даних. Аналіз закінчено.

 

 

?

 

?: 2

 

6 + а

 

- Запишіть розв’язання задачі ви разом.

(6 + а): 2

	Якщо умова задачі містить буквене дане, то відповідь записують у вигляді виразу.

 

 

Відповідь: (6 + а): 2 л.

Рівняння.

В 3-му класі вводяться поняття: «рівняння», «розв'язати рівняння»; діти вчаться розв'язувати найпростіші рівняння на знаходження невідомого компонента дій додавання і віднімання, множення і ділення двома способами: підбором та на основі взаємозв'язку між результатом і компонентами цієї дії; вчаться доводити, що дане число є розв’язком рівняння.

 

Ознайомлення з поняттям «Рівняння».

- Знайдіть значення буквеного виразу при х = 4: х + 2.

(Учні вирішують це завдання усно, а вчитель оформляє рішення на дошці)

Рішення.

При х = 4, х + 2 = 4 + 2 = 6

- А тепер змінимо завдання: при якому значенні букви х, буквений вираз має значення 6?

- Виходячи з попереднього завдання, багато хто з вас уже відповіли на це питання. Але нас цікавить, насамперед, як варто міркувати при рішенні цього завдання?

- Звичайно, можна підбирати числа і підставляти замість ікса у вираз і потім знаходити його значення; а потім порівняти отримане число з числом 10. Якщо одержимо вірну рівність, то це шукане значення букви, тобто – рішення завдання.

- Однак, такі міркування дуже довгі. Як відразу одержати рішення?

- Запишемо:

.х + 2 = 6

- Що ми записали?

- Чим відрізняється ця рівність від числових рівностей?

- Чим відрізняється цей запис від буквеного виразу?

- Що в них спільного?

- Отже, рівність, що містить букву – змінну, називається рівнянням.

- Розв'язати рівняння – це значить знайти числове значення букви – змінної, при якому рівність буде вірною.

- При розв’язанні рівняння будемо міркувати так:

Прочитайте рівність.

Що невідомо?

Як знайти невідомий доданок?

Виконайте дії.(х = 6 – 2, х = 4.)

- Перевіримо, чи буде рівність вірною при х=4. Для цього в буквений вираз замість букви підставляємо знайдене числове значення букви ікс: 4 + 2; значення цього вирази повинне дорівнювати числу 6: 4 + 2 = 6. Обчислюємо значення буквеного виразу при х = 4: 4 + 2 = 6 – значення буквеного виразу при х = 4. Порівняємо знайдене значення з числом, що стоїть праворуч від знака рівності: 6 = 6 – одержали вірну рівність.

- Робимо висновок: число 4 є розв’язком даного рівняння, тому що при підстановці даного значення букви, ми одержуємо вірну рівність.

- Отже, ми розв’язали рівняння.

- Розв’язок рівняння треба оформляти так: х + 2 = 6

х = 6 - 2

х = 4……

4 + 2 = 6

6 = 6

Відповідь: 4.

- Поясніть, чому число 4 є розв’язком рівняння.

- Чим відрізняється це завдання від попереднього? (У попередньому завданні потрібно було знайти значення виразу при даному значенні букви, а в даному – ми знаходили значення букви при даному значенні виразу.)

- Скільки може мати розв’язків буквений вираз? (Багато, для кожного значення букви.) Скільки розв’язків може мати рівняння? (Тільки одне, тому що тільки при єдиному значенні букви, рівність буде вірним.)

- Таким чином, розв'язати рівняння – це значить знайти числове значення букви, при якому рівність буде вірним.

- Отже, рівняння – це рівність з буквою – змінною. Розв'язати рівняння це значить знайти числове значення букви, при якому рівність буде вірною.

- Поняття „рівняння” має дві істотні ознаки:

1) це рівність;

2) містить змінну.

- Наведіть приклади числових виразів. Як знайти їхнє значення.

- Наведіть приклади числових рівностей. Що можна про них сказати? Вони вірні чи невірні?

- Наведіть приклади буквених виразів. Що потрібно задати, щоб обчислити їхнє значення? Як обчислити значення буквених виразів.

- Наведіть приклади рівностей, що містять букву. Як вони називаються?

- Що значить розв'язати рівняння?

 

Перші рівняння з якими знайомляться діти носять назву найпростіших. До найпростіших рівнянь відносяться рівняння на знаходження невідомих доданка,зменшуваного, від’ємника, множника, діленого та дільника,наприклад:

. х – 7 = 3 6 – х = 4 х * 3 = 15 х: 3 = 6 18: х = 9

х = 3+7 х = 6-4 х = 15:3 х = 6*3 х = 18:9

х = 10 х = 2 х = 5….. х = 18 х = 2

10 – 7= 3 6 – 2 = 4 5 * 3 = 15 18: 3= 6 18: 2 = 9

3= 3 4 = 4 15= 15 6= 6 9 = 9

Відповідь:10. Відповідь:2. Відповідь:5. Відповідь:18. Відповідь: 2.

Всі ці рівняння розв’язуються способомна підставі зв’язку між результатами та компонентами дій за допомогою пам’ятки:

 

 

	Пам’ятка Розв’язання рівнянь 1. Читаю рівняння. 2. Визначаю, що невідомо. 3. Згадую, як знайти невідомий компонент. 4. Виконую дії. 5. Роблю перевірку: підставляю знайдене значення замість букви, визначаю чи буде при цьому рівність вірним. 6. Роблю висновок про рішення даного рівняння. 7. Записую відповідь.

Але деякі рівняння пропонується учням розв’язати й способом підбору: почергово підставляються у рівняння замість змінної запропоновані значення; значення, при якому отримаємо вірну числову рівність і є розв’язанням рівняння.

 

Додатково можна познайомити учнів з способом розв’язування рівнянь на підставі властивостей рівності. Розглянемо кілька прикладів.

1) х – 7 = 3 х – 7 = 10 – 3 х = 10 Відповідь: 10.

1. Лівій частині записана різниця з від’ємником 7.

2. Подамо праву частину у вигляді різниці з від’ємником 7. (З якого числа треба відняти 7, щоб отримати 3? Це 10.)

3.Порівняємо дві різниці:

- Чим вони схожі? (В них однакові від’ємними.);

- Чим вони відрізняються? (Зменшуваними.);

- Зроби узагальнюючий висновок. (Дві різниці з однаковими від’ємниками рівні тоді і тільки тоді, коли й зменшувані рівні.)

4. Запиши відповідь.

На підставі розв’язання аналогічних завдань і їх аналізу учні узагальнюють спосіб розв’язування рівнянь на підставі властивостей рівності:

- Коли його можна застосовувати цей спосіб? (Якщо і праворуч і ліворуч записані однакові математичні вирази, які містять однаковий компонент.)

- В чому він полягає? (Треба порівняти математичні вирази: якщо між однаковими математичними виразами, які містять спільний компонент, стоїть знак рівності, то й другий компонент в них так само, однаковий.)

 

Розглянемо ще один приклад рівняння, яке так само можна розв’язати зазначеним способом: 40 + х = 44

-

2) 40 + х = 44 40 + х = 40+ 4 х= 4 Відповідь: 4.

Прочитайте ліву частину рівняння.

- Прочитайте праву частину рівняння.

- Що записано в лівій частині? (Сума чисел 40 та х).

- Що записано в лівій частині? (Число 44).

- Для того, щоб розв’язати це рівняння способом на підставі властивостей рівності, що потрібно бути в правій частині? (Потрібно, щоб справа була сума.)

- Чи будь-яка сума нас задовольнить? (Ні потрібно, щоб була сума, що міститиме доданок – 40.)

- Заміни праву частину таким самим виразом з даним числовим компонентом. Замініть число 44 такою сумою. (44 = 40 + 4.)

- Таким чином, отримаємо рівняння: 40 + х = 40 + 4.

- Порівняй вирази, записані ліворуч та праворуч. Зроби узагальнюючий висновок. (Справа та зліва записані суми, які містять спільний доданок – число 40; між цими сумами стоїть знак рівності, тому інший доданок також однаковий. Отже х = 4.)

- Запиши відповідь.

 

Узагальнюємо міркування і формулюємо пам’ятку:

		Пам’ятка Розв’язування рівнянь Спосіб на підставі властивостей рівності. 1. Що записано в лівій частині? 2. Що записано в правій частині? 3. Заміни праву частину таким самим виразом з даним числовим компонентом. 4. Порівняй вирази, записані ліворуч та праворуч. Зроби узагальнюючий висновок. 5. Запиши відповідь.
	3) 6 – а = 4 6 – а = 6 - 2 а= 2 Відповідь: 2.		4) в * 3 = 15 в * 3 = 5 * 3 в= 5 Відповідь: 5.		5) к: 3 = 6 к: 3 = 18: 3 кв= 18 Відповідь: 18.		5) 18: р = 9 18: р = 18: 2 р = 2 Відповідь: 2.

 

 

Отже, в 3-му класі рівняння розв’язуються трьома способами:

1. Способом підбору:

знайдіть серед чисел те, при якому рівність буде вірною: 6,9,11 а – 2 = 7

2.Спосібом на підставі взаємозв’язку між результатом та компонентами арифметичних дій.

3. Способом на підставі властивостей рівності.

Наприклад:

 

 

 

 

Розв’язування задач способом складання рівняння.

Мета: формувати уміння розв'язувати найпростіші рівняння. Познайомити учнів з розв’язанням простих задач на знаходження невідомого доданка, зменшуваного і від’ємного, способом складання рівнянь навчити складати рівняння по тексту простої задачі.

 

Задача. Невідоме число збільшили на 12 і отримали 36. Знайди невідоме число.” За цією умовою склади рівняння і розв’яжи його.

- Про що йде мова в задачі? (В задачі говориться про невідоме число, яке збільшили на 12 й отримали 36)

- Що означає,що число збільшили на 12? (Це означає,що до цього числа додали 12)

- Скільки отримали в результаті додавання? (36)

- Що є шуканим в задачі? (Шуканим є число, яке невідоме.)

- Позначимо невідоме число буквою, наприклад х. Нагадайте,що відбулося з цим числом? (До числа х додали 12 і отримали 36.)

- Запишіть рівність. (х + 12 = 36)

- Що ми отримали? (Рівняння.) Розв’яжемо рівняння і дізнаємося про шукане число.

- Прочитайте рівняння. Що невідомо? (Невідомий перший доданок.)

- Як знайти перший доданок? (Щоб знайти перший доданок, треба від суми відняти другий доданок.)

- Виконайте дії. (х = 36 – 12

х = 24)

- Зробіть перевірку. (до 24 додати 12 повинно бути 36: 24+12 = 36; додаємо до 24 число 12, буде 36, таким чином отримали вірну рівність: 36=36, тому х = 24, є розв’язком рівняння, а значить і шуканим числом.)

- Запишіть відповідь.(Відповідь: 24 – невідоме число.)

- Як можна було по-іншому розв'язати цю задачу? Іншим способом? (Можна було міркувати так: два числа в сумі складають 36, причому друге число – 12; потрібно знайти перше число. Отже сума - 36 складається з двох доданків, другий з яких 12. Невідомо перший доданок. Для того, щоб відповісти на запитання задачі досить знати два числових значення: 1 – суму, відомо – 36, і П – другий доданок, відомо – 12. Відповімо на запитання дією віднімання, тому що, якщо із суми двох чисел відняти один доданок, то залишиться другий доданок. Розв’язання. 36 – 12 = 24. Відповідь: 24 – невідоме число.)

- Чим відрізняється цей спосіб розв’язання від попереднього? (Тут ми розв’язували задачу виконанням арифметичної дії – віднімання між двома даними числами. А в попередньої – ми складали і розв’язували рівняння.)

-

Пам'ятка Розв’язування задач способом складання рівняння 1. Прочитай задачу і уяви те, про що в ній говориться. 2. Поясни, що позначають числа задачі. 3. Поясни,що є шуканим - невідомим у задачі. 4. Познач невідоме буквою, наприклад – х. 5. Виділи зв'язки невідомого з іншими числовими даними задачі. Склади рівняння. 6. Розв’яжи рівняння і зроби перевірку. 7. Дай відповідь на питання задачі.

Таким чином, задачі можна розв'язувати не тільки виконанням арифметичних дій, але і способом складання рівнянь. Міркувати при цьому потрібно так:

 

 

Нерівності із змінною.

 

Ознайомлення з нерівностями із змінною відбувається в 3-му класі.

Під час введення поняття про нерівності із змінною пропонується бесіда:

- Як називаються записи: 37 – 29, 14: 2 + 4? (Це вирази.)

- Як називаються записи: а + 25, 12: в + 7? (Це буквені вирази, вираз із змінною.)

- Чим відрізняється перша група виразів від другої? (Перша група виразів – це числові вирази – вони містять лише числа, які з’єднані знаками арифметичних дій; а друга група – це вирази із змінною – вони містять крім чисел ще й букву.)

- Як називаються записи: 12 < 16; 25 – 6 > 17? (Це нерівності.) Два числа або два вирази, які поєднані знаками: >, <, = - називаються нерівностями.)

- Як би ви назвали запис: 25 – с > 17? (Це нерівність, яка містить букву – нерівність із змінною.)

- Буквена нерівність, або нерівність із змінною, є правильною,якщо с набуває значень 1 або 2 або 3 або 4 або 5 або 6 або 7. Буквені нерівності ми будемо розв’язувати добором і випробуванням обраних чисел: кожне з даних чисел підставляється у нерівність замість букви; якщо отримуємо вірну числову нерівність, то дане число є розв’язком; якщо отримуємо невірну числову нерівність, то це число не є розв’язком нерівності із змінною..

 

1. Із даних чисел 6,7,8,9,10 виписати ті, для котрих вірна нерівність:

k + 2 > 10.

Працювати над цією вправою ми будемо за пам’яткою:

Пам’ятка.

1)Знайти значення буквеного виразу при заданому значенні букви.

2)Порівняти ці числа.

3)Якщо числова нерівність є вірною, тоді це значення букви є розв’язком.

Розв’язання

k + 2 > 10.

1) При к = 6, 6 + 2 > 10

2) 8 > 10 – невірна нерівність

3) Число 6 не є розв’язком нерівності к + 2 > 10

 

1) При к = 7, 7 + 2 > 10

2) 9 > 10 – невірна нерівність

3) Число 7 не є розв’язком нерівності к + 2 > 10

 

1) При к = 8, 8 + 2 > 10

2) 10 > 10 – невірна нерівність

3) Число 8 не є розв’язком нерівності к + 2 > 10

 

1) При к = 9, 9 + 2 > 10

2) 11 > 10 – вірна нерівність

3) Число 9 є розв’язком нерівності к + 2 > 10

 

1) При к = 10, 10 + 2 > 10

2) 12 > 10 – вірна нерівність

3) Число 10 є розв’язком нерівності к + 2 > 10

З цього випливає, що при к >8нерівність k + 2 > 10 буде вірною.

Відповідь: 9, 10.

На перших етапах засвоєння розв’язування нерівностей із змінною слід запропонувати учням для розв’язання певну кількість завдань, при чому, кожний етап розв’язання,згідно пам’ятці, записуємо у зошит; далі міркуємо усно, записуючи лише відповідь.

 

2. Знайди два таких значення к, щоб нерівність к * 7>40 була вірною.

Розв’язуючи це завдання учні самі повинні підібрати числа, які слід випробувати за пам’яткою. Підбор значень змінної к здійснюється на підставі знання таблиці множення числа 7. Учням пропонується назвати добутки із таблиці множення числа 7, які більше числа 40 (це 42, 49, 56, 63, 70); встановити множенням яких чисел на 7 вони отримані (6, 7, 8, 9, 10); перевірити і довести, що ці числа є розв’язками даної нерівності (за пам’яткою № 1).

При к >5, нерівність к * 7>40 буде вірною.

Відповідь: 6; 7; 8; 9...

 

3. Для кожної нерівності добери два значення букви а, щоб нерівність була вірною: 20 – а > 15 а * 4 < 36 а: 8 > 4

 

При розв’язанні цих нерівностей можна запропонувати учням раціональний прийом підбору змінної у нерівності:

Пам’ятка № 2:

1) Навожу до рівняння. Визначаю при якому значенні букви отримаємо вірну рівність.

2) Записую отримане число, підкреслюю його і записую його сусідів.

3) Підставляю число, до знайденого і встановлюю чи є воно розв’язком нерівності.

4) Роблю висновок: якщо так, то виписую декілька чисел,які при рахунку називаються знайденого числа.

Цей спосіб розв’язання нерівностей із змінною називається наведенням до рівняння.

Розв’язання

20 – а > 15

1) 20 – а = 15

а = 20 – 15

а = 5

2) … 5 …; … 4, 5, 6 …

3) 20 – 4 > 15

16 >15 –вірна нерівність, тому число 4 є розв’язком нерівності

4) 4, 3, 2, 1, 0.

Відповідь: 4, 3, 2, 1, 0.

а * 4 < 36

1) а * 4 = 36

а = 36: 4

а = 9

2) … 9 …; … 8, 9, 10 …

3) 8 * 4 < 36

32< 36 – вірна нерівність, тому число 8 є розв’язком нерівності

4) 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.

Відповідь: 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.

 

а: 8 > 4

1) а: 8 = 4

а = 4 * 8

а = 32

2) … 32 …; записуємо із таблиці ділення на 8 ділені, що менше за 32 та більше за 32:

 

… 24, 32, 40 …

3) 40: 8 > 4

5> 4 – вірна нерівність, тому число 40 є розв’язком нерівності

4) виписую із таблиці ділення на 8 всі ділені, починаючи з 40: 40, 48, 56, 64, 72, 80.

Відповідь: 40, 48, 56, 64, 72, 80.

 

Третій спосіб розв’язання нерівностей із змінною полягає на залежності між результатами і компонентами арифметичних дій.

 

25 – в > 20

- Прочитайте ліву частину нерівності.

- Прочитайте праву частину нерівності.

- Подайте праву частину у вигляді різниці.

- Що істотного повинно бути в цій різниці? (Зменшуване – число 25).

- Замінюємо праву частину нерівності різницею з зменшуваним 25 (20 = 25–5), таким чином отримаємо: 25 – в > 25 – 5.

- Порівняйте дві різниці з однаковими зменшуваними. (В цих різницях однакові зменшувані, а відрізняються вони від’ємниками. Різниця в лівій частині більша за різницю в правій частині.)

- Згадайте в яких випадках різниця збільшується при зміні від’ємника. (Різниця збільшується, якщо від’ємник, навпаки зменшується.)

- Який висновок можна зробити? (Із двох різниць з однаковими зменшуваними більша та, в якій від’ємник менший.)

- Якщо від’ємник повинен бути меншим, то які значення набуває змінна в? (в<5. Відповідь: 0;1;2;3;4.)

 

x * 70 < 280. Подамо праву частину нерівності, число 280, добутком двох чисел з другим множником 70: 280 = 4 * 70. Отримаємо нерівність x * 70 < 4 * 70. Порівнюємо добутки, записані в правій та лівій частині. Згадуємо взаємозв’язок між добутком і множниками: добуток зменшується, коли множник зменшується. З двох добутків з однаковим другим множником менше той, у якого перший множник менше. Робимо висновок: x < 4 Відповідь: 0;1;2;3.

Зразок запису в зошиті:

x * 70 < 280

x * 70 < 4 * 70

x < 4

Відповідь: 0;1;2;3.

 

x + 40 < 45. Алгоритм розв’язання:

1) Подаю праву частину, 45, сумою з другим доданком 40. 45 = 5 + 40.	x + 40 < 5 + 40
2) Порівнюю суми. Згадую зв’язок суми і доданка: сума зменшується, якщо доданок зменшується. Отже, із двох сум з однаковими другими доданками менша та, в якій перший доданок менше.
3) Робимо висновок.	x < 5 Відповідь: 0;1;2;3;4.

 

120: x > 24

1) Подаю праву частину, 24, у вигляді частки з діленим 120. 24 = 120: 5	120: x > 120: 5
2) Порівнюю частки. Згадую залежність між часткою та діленим. Частка збільшується, якщо дільник зменшується. З двох часток з однаковими діленими більше та, в якій дільник менше.
3) Роблю висновок.	x < 5 Відповідь: 0;1;2;3;4.

 

Таким чином, нерівності із змінною розв’язуються трьома способами:

1. Способом підбору.

2. Способом наведення до рівняння.

3. Способом на підставі взаємозв’язку між результатами і компонентами арифметичних дій.

Наприклад:

 

 

Геометричний матеріал в курсі математики 3-го класу.

 

Геометрична фігура – це множина точок площини. В 3-му класі не вивчаються нові геометричні фігури, а розглядаються лише ті, що були введені у попередніх класах: точка, пряма та крива лінії, відрізок, ламана, многокутники: трикутник, чотирикутник, п’ятикутник..., з чотирикутників – прямокутник і квадрат, коло і круг. Але, завдяки введенню латинського алфавіту, коли кожна точка отримує ім’я у вигляді великої літери латинського алфавіту відбувається систематизація, узагальнення і поглиблення раніш отриманих знань.

Згідно нової програми в 3-му класі учні креслять і вимріють довжину відрізків, ламаної лінії; визначають периметр многокутника, в тому числі прямокутника і квадрата, знаходять сторони квадрата за його периметром; будують прямокутники і квадрати на папері в клітинку за даними сторін.

Засвоєння геометричного матеріалу відбувається головним чином під час практичних робіт (вимірювання, викреслювання та моделювання) і розв’язування задач, а не в результаті вивчення теорії. Тому ми пропонуємо класифікацію задач з геометричним змістом і наводимо приклади задач кожної групи.

 

1 група задач – задачі на повторення усіх вивчених геометричних фігур.

 

Завдання 1. За малюнком назвати геометричні фігури і розповісти про кожну фігуру.

 

 

Завдання 2.

1) Назви кожну фігуру, яка не є многокутником.

 

2) Скільки многокутників, назви кожний.

 

 

Завдання 3.

1) Назви геометричні фігури

2) Чим відрізняються квадрати, які

зображено ліворуч від квадратів праворуч?

 

 

П група. Позначення геометричних фігур літерами латинського алфавіту і правильне їх читання.

 

Завдання 1. Назви, які фігури зображено.

А В – відрізок АВ. А кут АОВ або кут О

N О В АОВ, О

 

Трикутник М N О М N прямокутник МNОК. Не можна

читати МNКО або МКNО. Букви

М N О читають послідовно!

M O

К О

Завдання 2.

А В К М А К А В А 1) Перевір, чи вірно записані

назви усіх прямокутників і

М О квадратів:

D C M K

M P

P O

Прямокутники: АВС D; КМРО; АВКМ; МАОР.

Квадрати: АВС D; МАОР.

2) Який прямокутник називається квадратом?

 

Ш група. Задачі на належність точок та відрізків даній фігурі.

Завдання 1. О

А С В

 

К

Р

1) Назви точки, які належать прямій (А; В; С).

2) Назви точки, які не належать прямій. (К; О; Р).

 

Завдання 2.

К 1) Назви точки, які належать кругу. (А;О;Е; N).

N 2) Назви точки, які не належать кругу. (С;В;К).

Е

О В

 

А

 

С

 

Завдання 3. Назви трикутники з спільною стороною ВС. (АВС та ВСК)

В

 

 

А С К

Завдання 4. Назви фігури, яким належить точка О. (АВСD, АВFK)

B F C

O

 

 

A K D

 

Завдання 5. Назви фігури, які містять кут А. (АВК; АВ D; чотирикутник АВС D)

 

В С

 

 

А К D

 

1У група. Задачі на побудову відрізків та порівняння їх довжин.

 

Завдання 1. Накресли такі самі відрізки, виміряй їх довжину і порівняй довжини цих відрізків.

А В

С D