Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам. Рост по учетной ставке

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды Р. Такая ситуация может возникнуть, например, при разработке условий контракта. Расчет Р по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче ссуды. В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты — дисконтом (discount). Необходимость дисконтирования возникает, например, при покупке краткосрочных обязательств, оплата которых должником произойдет в будущем.

Термин "дисконтирование" употребляется и в более широком смысле — как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени. Такой прием часто называют приведением стоимостного показателя к некоторому, обычно начальному, моменту времени. (Строго говоря, приведение может быть осуществлено на любой момент времени.)

Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, называют современной величиной (present value) суммы S, a иногда, в зависимости от контекста, — современной (текущей, капитализированной) стоимостью. Современная величина суммы денег является одним из важнейших понятий в количественном анализе финансовых операций. В большинстве случаев именно с помощью дисконтирования, а не наращения учитывается такой фактор, как время. Как будет показано далее, большинство аналитических методов основывается на определении современной величины платежей.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования — математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае используется ставка наращения, во втором — учетная ставка.

Математическое дисконтирование. Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. Задача в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S при условии, что на долг начисляются проценты по ставке i? Решив уравнение (1.1) относительно Р, находим:

. (1.7)

Напомним, что п = t/K — срок ссуды в годах. Установленная таким путем величина Р является современной величиной суммы S, которая будет выплачена спустя п лет. Дробь 1/(1 + ni) называют дисконтным множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме.

Разность S - Р можно рассматривать не только как проценты, начисленные на Р, но и как дисконт с суммы S. Обозначим последний символом D.

Пример 1.8. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням?

Согласно формуле (1.7) находим:

руб.

Дисконт равен: D = 310000 - 287328,59 = 22 671,41 руб.

Разумеется, дисконт как скидка с конечной суммы долга необязательно определяется через процентную ставку, он может быть установлен по соглашению сторон и в виде абсолютной величины для всего срока.

Банковский учет (учет векселей). Суть операции заключается в следующем. Банк или иное финансовое учреждение до наступления срока платежа (date of maturity) по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом (т.е. со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт. В свою очередь владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги, хотя и не в полном объеме, однако раньше указанного на нем срока. При учете векселя применяется банковский, или коммерческий, учет (bank discount). Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока (maturity value). При этом применяется учетная ставка d.

Размер дисконта, или суммы учета, очевидно, равен Snd;если d — годовая ставка, то п измеряется в годах. Таким образом:

P = S - Snd = S (1 -nd), (1.8)

где п — срок от момента учета до даты погашения векселя.

Дисконтный множитель здесь равен (1 - nd).

Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базе K = 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным.

Пример 1.9. Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 1 млн. руб. с уплатой 17 ноября 1995 г. Владелец векселя учел его в банке 23 сентября 1995 г. по учетной ставке 20%. Оставшийся до конца срока период равен 55 дням. Полученная при учете сумма (без уплаты комиссионных) равна

руб.

Дисконт составит 30 555,6 руб.

Продолжим пример. Пусть на первоначальную сумму долга (1 млн. руб.) начисляются проценты по ставке простых процентов i = 20,5% годовых. В этом случае, очевидно, надо решить две задачи: определить наращенную сумму долга и сумму, получаемую при учете. Оба последовательных действия можно представить в одной формуле:

Р' = Р (1 + ni)(1 - n'd),

где п — общий срок обязательства,

n' — срок от момента учета до погашения.

Пусть в данном примере п = 120/360, тогда

руб.

Наращение по учетной ставке. Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. В частности, в этом возникает необходимость при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга. Наращенная сумма в этом случае

(1.9)

Множитель наращения здесь равен 1/(1 - nd).Заметим, что при п > 1 /d расчет лишен смысла, так как наращенная сумма становится бесконечно большим числом.

Пример 1.10. По данным примера 1.2 определим наращенную сумму при условии, что проценты начисляются по простой учетной ставке d = 18%.

руб.