Наращение по сложной учетной ставке

Метод определения величины наращенной суммы с помощью сложных процентов (когда начисление процентов осуществляется по ставке i) не является единственным. Определение наращенной суммы возможно и с помощью учетной ставки по формулам:

(42)

(43)

Такой способ называется также наращением денег, капитала по сложным учетным ставкам.

Пример 30.

Какую сумму необходимо проставить в векселе, если заемщику предоставлен кредит в 500 тыс. руб. со сроком погашения 1,5 года, а наращение процентов производится по сложной годовой учетной ставке 20%.

По (42) определяем:

Если в условия данного примера внести дополнения: наращение по учетной ставке производить не один раз в год, а ежеквартально, тогда:

f = 20%, m = 4, N = 4 ∙ 1,5 = 6

Мажорантность множителей наращения

И дисконтных множителей

При сопоставлении различных условий контрактов практический интерес представляет сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по различным процентным и учетным ставкам.

Для расчета наращенных сумм и дисконтирования, мы рассматривали различные виды ставок:

i _п , i _с, j, d _п, d _с, f.

Все они используются для практических финансовых расчетов, но при прочих равных условиях приводят к различным финансовым результатам. Так как финансовые результаты, т. е. обязательства сторон зависят от числа периодов начисления процентов, то при условии, что i _п = i _c = d _п = d _с множители наращения будут представлять следующий мажорантный ряд.

При n < 1

(1 + i _с) ⁿ < (1 + i _п· n) < (1 – n · d _п)^-1 < (1 – d _с)^{- n}.

При n > 1

(1 + i _п· n) < (1 + i _с) ⁿ < (1 – d _с)^{- n} < (1 – n · d _п)^-1.

При n = 1

(1 + i _п· n) = (1 + i _с) ⁿ < (1 – n · d _п)^-1 = (1 – d _с)^{- n}.

Аналогично можно получить систему неравенств для дисконтных множителей.

При n < 1

(1 – d _с) ⁿ < (1 – n · d _п) < (1 + n · i _п)^-1 < (1 + i _с)^{- n}.

При n > 1

(1 – n · d _п) < (1 – d _с) ⁿ < (1 + i _с)^{- n} < (1 + n · i _п)^-1.

При n = 1

(1 – n · d _п) = (1 – d _с) ⁿ < (1 + n · i _п)^-1 = (1 + i _с)^{- n}.

Эти соотношения между множителями наращения и дисконтными множителями используются, в частности, для выбора стратегии в финансовом менеджменте, которой следует банк или коммерческая структура.

Финансовые вычисления и отношения сторон при использовании ставок j и f зависят от принятого значения m, которое может значительно варьировать.

 

Расчет срока ссуды и процентных ставок

 

В ряде практических задач начальная (Р) и конечная (S) суммы заданы контрактом, требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины можно найти из формул наращения или дисконтирования, так как в обоих случаях необходимо решить обратную задачу.

Рассмотрим задачу расчета срока ссуды для различных ставок.

1. При наращении по сложной годовой ставке i из исходной формулы наращения

S = P (1 + i)ⁿ

следует, что срок ссуды (в годах) рассчитывается по формуле

(43)

где логарифм можно взять по любому основанию, поскольку он изменяется как в числителе, так и в знаменателе.

2. При наращивании по номинальной ставке процентов m раз в году из формулы

получаем: (44)

3. При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d из формулы

Р = S (1 - d_сл)ⁿ

имеем:

(45)

4. При дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году из выражения

находим:

(46)

Расчет процентных ставок.

Из тех же исходных формул, что рассматривали ранее, получим выражения для процентных ставок.

1. При наращивании по сложной годовой ставке i из исходной формулы наращения следует

(47)

2. При наращивании по номинальной ставке процентов m раз в году

(48)

3. При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке

(49)

4. При дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году

(50)

Пример 31.

Финансовый инструмент размещен на срок 2 года по цене 1 млн. руб., а погашается по цене 1,2 млн. руб.

Вычислить доходность в виде ставки сложных процентов.

Дано: Решение:

P = 1000000 руб. Используя выражение (47) находим

S = 1200000 руб.

n = 2 года или 9,54%

i -?

 

Пример 32.

Решим предыдущую задачу в предположении, что известна ставка сложных процентов и необходимо найти срок погашения.

Дано: P = 1000000 руб. S = 1200000 руб. i = 9,54%	Решение: Используя выражение (43) получим года
n -?