Наращение и дисконтирование с использованием схемы сложных процентов

 

Если инвестиция сделана на условиях сложного процента, то очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инве­сти­руемого капитала, а с общей суммы, которая включает также ранее начисленные, но не востребованные инвестором проценты. В этом случае имеет место капитализация процентов по мере их начисления, так как база, с которой начисляются проценты, все время возрастает.

Таким образом, на протяжении срока финансовой операции размер инвестированного капитала будет равен:

к концу первого года: ;

к концу второго года: ;

и так далее …

к концу n-го года:

Это равенство называется формулой наращения по сложным процентам; множитель - множителем наращения сложных процентов; - коэффициентом наращения.

Согласно формулы сложных процентов приращение капитала составит:

.

 

Формула наращения по сложным процентам является одной из базовых фор­мул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования составлены специальные таблицы для определения в зависимо­сти от изменения значений r и n. В этом случае формула алгоритма наращения по схеме сложных процентов трансформируется следую­щим образом:

 

где – мультиплицирующий множитель.

 

Экономический смысл множителя состоит в сле­дующем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица через n периодов при заданной процентной ставке r.

Рассмотренная формула предполагает, что измеряется в го­дах, а является годовой процентной ставкой. Однако эту формулу можно применять и при других периодах начисления. Необходимо только следить за соответствием длины периода и процентной ставки. Так, если базовым периодом начисления процентов является квартал (месяц), то и в расчетах должна использоваться квартальная (месячная) ставка.

Как и в случае начисления простых процентов, финансовое со­глашение может предусматривать плавающие процентные ставки и при наращении по сложным процентам.

Пусть - следующие друг за другом временные пе­риоды и на период установлена процентная ставка Тогда, учи­тывая капитализацию начисленных процентов при использовании схемы сложных процентов, наращенная сумма за время оп­ределяется по формуле:

Обозначим тогда формула для определения наращенной стоимости примет вид:

Таким образом, в течение всего периода финансовой операции можно установить сложную ставку , приводящую к такому же ре­зультату, как и с использованием переменных ставок.

Пример. Предприниматель получил в банке ссуду в размере 40 тыс. грн. сроком на 7 лет на следующих условиях: для первого года процентная ставка равна 15% годовых, на следующие два года устанавливается маржа в размере 0,8% и на следующие годы маржа равна 0,9%. Найти сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды.

тыс.грн.

Такая же величина наращенной суммы получится, если в течение 6 лет проценты будут начисляться по средней процентной ставке за весь период финансовой операции.

 

или 10,48%.

тыс. грн.

 

Достаточно часто заключаются финансовые контракты, продолжительность которых отличается от целого числа лет.

В этом случае проценты могут начисляться с помощью следующих двух методов:

 

Ø по схеме сложных процентов:

 

 

Ø по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов для дробной части года):

 

 

где w - целое число лет;

f - дробная часть года.

Пример. Банк предоставил ссуду в размере 50 тыс. грн. на 42 мес. под 16% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

 

По схеме сложных процентов:

тыс. грн

По смешанной схеме:.

тыс. грн.

Таким образом, в данном случае смешанная схема приводит к большей величине наращенной суммы.

 

При проведении финансовых операций важно знать, как соотносятся между собой величины сумм, наращенных по схеме простых и схеме сложных процентов.

Для ответа на этот вопрос сравним множители наращения по простым и сложным процентам, т.е. сравним и . Очевидно, что при n=1 эти множители совпадают и равны 1+r. Для любых значений n справедливы следующие неравенства:

 

1) , если

2) , если

 

Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:

Ø более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода);

Ø более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно);

Ø обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода 1 год и однократном начислении процентов.

При заключении финансовых контрактов зачастую необходимо определить время, которое необходимо для увеличения первоначальной суммы PV в k раз при заданной доходности r в случае использования схемы простых и схемы сложных процентов:

Ø для простых процентов из равенства получаем :

Ø для сложных процентов из равенства получаем

Из этих формул можно, например, найти период, за который происходит удвоение капитала при заданной процентной ставке. Полагая k=2, соответственно получим: для простых процентов, и .

В практических расчетах при заключении финансовой сделки для быстрой оценки эффективности предлагаемой ставки процентов при реализации схемы сложных процентов зачастую пользуются приблизительным расчетом периода времени, необходимого для удвоения инвестируемой суммы. С этой целью используются несколько эмпирических приближенных формул:

Ø «правило 72». Суть правила заключается в том, что, если – r процентная ставка, выраженная в процентах, то n представляет собой число периодов, за которое исходная сумма приблизительно удвоится. Здесь необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что, если в большинстве финансовых расчетов используется процентная ставка, выраженная десятичной дробью, то в алгоритме формулы «правило 72» ставка взята в процентах.

Ø «правило 69». Алгоритмом вычисления удвоенной суммы в данном случае является . Заметим, что, как и в предыдущем правиле, размер процентной ставки выражается в процентах.

При использовании этих правил необходимо помнить, что при их применении речь идет о периодах начисления процентов и соответствующей данному периоду ставке. Например, если длительностью финансовой операции является половина года, то в расчете должна использоваться полугодовая процентная ставка.

Пример. Необходимо определить период времени, в течение которого исходный инвестированный капитал удвоится при процентной ставке, равной 17% годовых.

 

Ø «правило 72»: лет.

Ø «правило 69»: года.

Ø точная формула: года.

Как показывает практика, вышерассмотренные правила хорошо срабатывают для небольших значений процентной ставки, где-то до 20%.