Оценка постоянного аннуитета пренумерандо.

Если на денежные поступления начисляются только сложные проценты, то соответствующие расчетные формулы для наращенных сумм аннуитета пренумерандо легко можно вывести из ранее рассмотренных формул для аннуитета постнумерандо.

Поскольку денежные поступления в аннуитете пренумерандо происходят в начале каждого периода, то этот аннуитет отличается от аннуитета постнумерандо только количеством периодов начисления процентов.

Например, для срочного аннуитета пренумерандо с регулярными денежными поступлениями А и процентной ставкой r, наращенный денежный поток имеет вид:

Следовательно, будущая стоимость аннуитета пренумерандо может быть определена по формуле:

 

Т.е. наращенная стоимость аннуитета пренумерандо больше в раз наращенной суммы аннуитета постнумерандо.

Аналогичным образом можно получить формулы для определения будущей стоимости аннуитета пренумерандо с начислением процентов m раз в течение базового периода и для р-срочных аннуитетов:

Несколько иной будет ситуация в р-срочном аннуитете пренумерандо, когда на взносы, поступающие в течение базового периода, начисляются простые проценты.

В отличие от аннуитета постнумерандо в этом аннуитете в каждом периоде любой взнос «действует» еще 1/р –ю часть периода, тем самым доставляя к концу периода дополнительную величину .

Следовательно, к концу каждого периода взносы, число которых равно р, доставят величину

Таким образом, на последнее р-е поступление начисляются простые проценты за часть периода, равную 1/р, и оно будет равно предпоследнее (р – 1)-е поступление станет равным и т.д. вплоть до первого поступления, которое станет равным . Следовательно, сумма этих величин, образующих арифметическую прогрессию, равна:

Таким образом, будущая стоимость аннуитета пренумерандо будет равняться:

В случае начисления только сложных процентов формулы для расчетов приведенных стоимостей пренумерандо имеют вид, аналогичный ранее полученным для аннуитета постнумерандо:

Из приведенных формул понятно, почему в финансовых таблицах не уточняется, какая схема подразумевается в финансовой сделке – постнумерандо или пренумерандо. Содержание таблиц инвариантно к этому фактору. Однако, при применении расчетных формул или финансовых таблиц необходимо строго следить за схемой поступления денежных платежей.

 

Пример.

Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 10 тыс. грн. Банк платит 20% годовых.

Какая сумма будет на счете по истечении трех лет?

тыс. грн.

 

Многие практические задачи могут быть решены различными способами в зависимости от того, какой денежный поток выделен аналитиком. Рассмотрим это на следующем примере.

 

Пример.

Вам предложено инвестировать 100 тыс. грн. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями ежегодно по 20 тыс. грн. По истечении 5 лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 тыс. грн.

Следует ли принимать это предложение, если можно депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?

Наращенная сумма депонирования:

тыс. грн.

В отношении альтернативного варианта, предусматривающего возмещение вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные поступления в размере 20 тыс. грн. можно немедленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив по эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. В этом случае денежный поток можно представить двояко:

а) как срочный аннуитет постнумерандо с параметрами: А= 20,

n = 5, r = 20% и единовременное получение 30 тыс. грн. в конце периода:

тыс. грн.

б) как срочный аннуитет пренумерандо с параметрами: А = 20,

n = 4, r = 20% и единовременное получение сумм в 30 и 20 тыс. грн. в конце финансовой операции:

тыс. грн.

Таким образом, предложение экономически нецелесообразно.

 

 

Бессрочный аннуитет.

Аннуитет считается бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время. Математически это означает, что . Характерным примером бессрочного аннуитета являются консоли – выпускаемые правительствами некоторых стран облигации, по которым производят регулярные купонные выплаты, но которые не имеют фиксированного срока. В западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет. Бессрочный аннуитет также называют вечной рентой.

Определение будущей стоимости бессрочного аннуитета, естественно, не имеет смысла. Что же касается обратной задачи (определение приведенной стоимости), то она имеет вполне определенное решение.

Поток платежей в постоянном бессрочном аннитете при одном денежном поступлении А за период, являющися базовым для начисления процентов по ставке r, представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем . Для бессрочного аннуитета постнумерандо формула для определения приведенной стоимости имеет вид:

где

Приведенная формула показывает, что поток даже с неограниченным числом платежей имеет все же конечную приведенную стоимость. С финансовой точки зрения это вполне понятно, поскольку деньги, которые поступят через много лет, сейчас мало что стоят, а при высокой инфляции и ничего не стоят. Эта же ситуация проявляется и при сравнении коэффициентов дисконтирования бессрочного аннуитета и аннуитетов с большим сроком Для сравнения приведем в таблице значения FM4(r,n) при r = 10%.

 

Cрок аннуитета						∞
FM4(r = 10%,n)	9,7791	9,9148	9,9672	9,9873	9,9981

 

Из приведенной таблицы видно, что при сроке аннуитета, превышающем 50 лет, коэффициенты дисконтирования аннуитета незначительно отличаются друг от друга.

Кроме того, с ростом процентной ставки величина срока, начиная с которого величина факторного множителя FM4(r,n) перестают сильно отличаться друг от друга, уменьшается. Например, при r = 15% такой срок равняется 40 годам. Таким образом, при больших сроках аннуитета и большом уровне процентной ставки для определения приведенной стоимости срочного аннуитета можно воспользоваться формулой для определения приведенной стоимости бессрочного аннуитета, при этом полученный приблизительный результат будет не слишком отличаться от точного значения.

Приведенная формула используется для оценки целесообразности приобретения бессрочного аннуитета, если известен размер денежного поступления за период. В качестве r обычно принимается гарантированная процентная ставка, например, предлагаемая государственным банком.

 

Пример.

Необходимо определить текущую стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо с ежегодным поступлением 4,2 тыс. грн., если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 14% годовых.

тыс. грн.

Следовательно, если аннуитет предлагается по цене, не превышающей 30 тыс. грн., то инвестирование в него будет представлять выгодную для инвестора операцию.

С помощью вышеприведенной формулы можно определить истинную стоимость обыкновенной акции в том случае, когда выплачиваются одинаковые дивиденды (равные А) в течение всего времени финансовой операции. При этом предположении темп ростов дивидендов равен нулю и соответствующая модель называется моделью нулевого роста.

Такая ситуация в определенном смысле свойственна привилегированным акциям высокого качества, выплаты дивидендов по которым одинаковы, регулярны и не зависят от величины прибыли на одну акцию, а время обращения привилегированных акций не ограничено.

Пример.

Компания гарантирует выплату дивидендов в размере 6 тыс. грн. на акцию в конце каждого года в течение неопределенно долгого времени.

Имеет ли смысл покупать акции этой компании в течение неопределенно долгого времени по цене 35 тыс. грн., если можно поместить деньги на депозит под 15% годовых?

Из формулы тыс. грн. следует, что истинная стоимость акции составляет 40 тыс. грн. Следовательно, это предложение может быть принято и акции компании можно приобретать.

Приведенная стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо с денежными поступлениями р раз за базовый период и начислением сложных процентов m - раз за период может быть получена из следующей формулы:

 

Пример.

Фирма собирается учредить фонд для ежегодной (в конце года) выплаты пособий своим работникам.

Необходимо определить сумму, которую фирма должна поместить на депозит в банк, чтобы обеспечить получение неограниченно долго в конце каждого года 8 тыс. грн., если банк начисляет:

а) ежегодно сложные проценты по ставке 16%;

б) ежеквартально сложные проценты по ставке 14%;

в) непрерывные проценты с силой роста 13,5%.

 

Во всех трех случаях денежный поток является бессрочным аннуитетом постнумерандо. Необходимо найти приведенную стоимость такого аннуитета.

а) тыс. грн.

 

б) тыс. грн.

 

в) тыс. грн.

 

Приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо в общем виде определяется с помощью приведенной стоимости бессрочного аннуитета постнумерандо по следующей формуле:

 

Следовательно, приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо отличается от таковой для аннуитета постнумерандо на величину первого платежа.

 

Непрерывный аннуитет.

Предположим, что в течение каждого периода времени денежные поступления происходят очень часто, так что промежутки между последовательными поступлениями представляют собой бесконечно малые величины.

В этом случае аннуитет считают непрерывным, т.е. денежные поступления происходят непрерывно с постоянной интенсивностью: одно и то же количество денежных единиц в единицу времени.

Соотношения, характеризующие непрерывный аннуитет, можно вывести из формул для р-срочного аннуитета, переходя в них к пределу при и несколько модифицируя величину члена аннуитета.

Ясно, что непрерывно не может поступать величина А, так как через любой малый промежуток времени накопится бесконечно большая сумма денег.

Пусть в конце каждого периода р-срочного аннуитета суммарная величина денежных поступлений составит , тогда каждое поступление будет равняться и ранее рассмотренная формула может быть использована для оценки будущей стоимости непрерывного аннуитета:

 

Приведенная стоимость непрерывного аннуитета рассчитывается по формуле:

 

Пример.

В течение 6 лет на счет в банке ежедневно будут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя 40 тыс. грн.

Определить сумму, накопленную к концу шестого года при использовании процентной ставки 12% годовых.

 

Считая, что платежи поступают непрерывным образом, рассчитаем будущую стоимость непрерывного аннуитета:

тыс. грн.

Эта же задача может быть решена иначе, если примем р = 360, а А = 40/360:

тыс. грн.

 

Выполнив расчет видим, что результаты вычислений по двум формулам привели практически к одинаковому результату.

Если проценты начисляются раз за период, то пользуются формулой: