Погашение долга равными срочными уплатами.

Условиями кредитного контракта может предусматриваться погашение долга равными срочными уплатами в конце каждого расчетного периода.

Каждая срочная уплата (A) будет являться суммой двух величин: годового расхода по погашению основного долга (R) и процентного платежа по займу (I), т.е.:

A = R + I

В этом случае остаток основного долга и суммы процентных платежей уменьшаются от периода к периоду, годовой расход погашенного основного долга растет, а срочные уплаты будут являться аннуитетом ренты постнумерандо.

Следовательно, величина кредита PV, будет равняться сумме всех дисконтированных аннуитетов, т.е. является современной величиной всех срочных уплат:

(1)

где - срочные уплаты;

r - ставка процентов по займу.

Умножив выражение (1) на величину (1 + r), получим:

(2)

 

Если вычесть из выражения (2) выражение (1), и проделать необходимые преобразования, то получим:

(3)

Из выражения (3) можно получить величину срочной уплаты: или (4)

Величина называется коэффициентом погашения задолженности.

 

Пример. Банк выдал кредит в сумме 40 тыс. грн. на 5 лет под 6% годовых. Погашение кредита должно производиться равными ежегодными выплатами в конце каждого года, включающими погашение основного долга и процентные платежи. Начисление процентов производится раз в году. Необходимо составить план погашения долга.

Ежегодная выплата будет составлять:

тыс. грн.

За первый год величина процентного платежа составит:

Так как А = R + I, то выплата основного долга определится величиной:

тыс. грн.

Остаток основного долга после первого года составит:

тыс. грн.

Процентный платеж во втором году будет равняться:

Величина выплаты основного долга во втором году составит:

Изложенная процедура повторяется до конца срока погашения долга.

Итоговая расчетная таблица погашения долга представлена ниже.

 

Годы	Остаток долга PV	Процентный платеж I	Погашение ос- новного долга R	Годовая сроч- ная уплата A
	40,0000	2,4000	7,0960	9,4960
	32,9040	1,9742	7,5218	9,4960
	25,3822	1,5229	7,9731	9,4960
	17,4091	1,0445	8,4515	9,4960
	8,9576	0,5375	8,9585	9,4960
	-	7,4791	40,0000	47,4791

 

Рассмотренная методика составления плана погашения займа равными платежами не является единственной. Рассмотрим некоторые другие.

При погашении займа равными платежами остаток долга с каждой выплатой уменьшается, следовательно, уменьшаются и процентные выплаты. В результате возрастает от периода к периоду размер платежей, идущих на погашение основного долга (см. табл.). Между двумя последовательными выплатами основного долга существует взаимосвязь. Для ее определения возьмем два последовательных расчетных периода – k и (k +1) –й.

В k-м расчетном периоде годовая срочная уплата составит:

а остаток невыплаченного долга соответственно определяется как

Однако для определения необходимо предварительно определить . В периоде (k + 1) остаток основного долга составит:

,

следовательно, срочная уплата в этом периоде может быть записана в виде следующего выражения:

.

По условию , значит . Решив это уравнение относительно , получим:

. (5)

То есть каждая выплата, произведенная в счет погашения основного долга, отличается от предыдущей на величину . Зная эту зависимость можно рассчитать величину выплаты основного долга в любом расчетном периоде.

Зная эту зависимость, можно рассчитать величину выплаты основного долга в любом расчетном периоде. Так ; , и т.д. .

Зная размер кредита , процентную ставку и срок погашения кредита , рассчитаем величину первой выплаты погашения основного долга .

Величина займа равна сумме выплат , т.е.:

.

После некоторых преобразований данного выражения величину можно определить по следующей формуле:

.

В этой формуле величина называется ставкой погашения.

Пример. Для условий ранее рассмотренного примера рассчитать величину первого и четвертого платежа для погашения основного долга.

тыс.грн.

тыс. грн.

 

Размер платежа основного долга в любом периоде можно определить не только по формуле (5), но и другим способом.

Известно, что первая выплата определяется выражением: ,

а величина кредита равняется:

.

Подставив значение PV в формулу расчета величины первого платежа, получим:

.

Так как , то, подставляя в это выражение значение , получим:

или (6)

 

Используя выражение (6), можно рассчитать для любого периода величину процентного платежа .

Так как, то .

Подставим в это выражение значение , и получим:

 

Пример. Для условий ранее рассмотренного примера рассчитать величину первого платежа и величину процентного платежа на конец последнего года погашения займа.

тыс. грн.

тыс. грн.

 

Для расчета остатка невыплаченного основного долга на любой момент времени воспользуемся выражением:

Подставив в это выражение значения и , получим:

 

Пример. По данным ранее рассмотренного примера рассчитать остаток основного невыплаченного долга на начало 3-го года погашения.

тыс. грн.

 

Для определения размера годовой срочной уплаты можно воспользоваться также методом депозитной книжки.

Суть метода депозитной книжки заключается в следующем. Рассуждая с позиции кредитора, для банка рассматриваемый контракт будет представлять инвестицию в размере 40 тыс. грн., т.е. отток денежных средств. В дальнейшем в течение 5 лет банк будет ежегодно в конце года получать сумму А, которая будет включать проценты за истекший год и часть основной суммы долга. Таким образом, мы имеем дело с аннуитетом постнумерандо, о котором известны его текущая стоимость, процентная ставка и продолжительность действия. Поэтому для нахождения величины годового платежа воспользуемся финансовыми таблицами и формулой:

.

Для и лет значение FM4 будет равняться 4,2124. Значит искомая величина аннуитета составит 40: 4,2124 = 9,4958 тыс. грн.

 

План погашения долга при изменяющейся процентной ставке. Финансовыми контрактами часто предусматриваются условия, когда на протяжении финансовой сделки процентная ствка не является постоянной, а изменяется от периода к периоду.

Вышерассмотренная методика может быть использована и для решения таких финансовых задач.

 

Пример. Предприятием получен кредит в сумме 100 млн. грн. Сроком на 7 лет. Процентная ставка по годам изменяется следующим образом.

Годы	1-2	3-4	5-7
Процентная ставка, %	7,0	10,0	16,0

 

План погашения долга приведен в таблице.

Годы	Процентная ставка, r	Сумма долга на начало года, PV	Сумма процентных денег, I	Сумма погашения основного долга, R	Годовая срочная уплата, A
	0,07	10,0000	0,7000	1,1555	1,8555
	0,07	8,8445	0,6191	1,2364	1.8555
	0,10	7,6081	0,7608	1,2462	2,0070
	0,10	6,3619	0,6362	1,3708	2,0070
	0,16	4,9911	0,7986	1,4237	2,2223
	0,16	3,5674	0,5708	1.6516	2.2223
	0,16	1,9158	0,3065	1,9158	2,2223
Итого			4,3919	10,0000	14,3919