Начисление сложных годовых процентов

Формула наращения. В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, для наращения, как правило, применяют сложные проценты (compound interest). База для начисления сложных процентов (в отличие от простых) не остается постоянной — она увеличивается с каждым шагом во времени, абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления, — см. формулы (1.3) и (1.4). Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты), т.е. применяется сложная годовая ставка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым процентам:

Р — первоначальный размер долга (ссуды, кредита и т.д.);

S — наращенная сумма;

n — срок, число лет наращения.

Ставку наращения по сложным процентам обозначим как i. В тех случаях, когда одновременно речь идет о простых и сложных процентах, для ставки простых процентов применим подписной индекс s. В формулах для сокращения записи i всегда измеряется в десятичных дробях.

Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Pi, анаращенная сумма составит Р + Pi = P (1 + i).К концу второго года она достигнет величины Р (1 + i) + Р (1 + i) i = Р (1+ i)² и т.д. В конце n -го года наращенная сумма будет равна

S = P (1 + i) ⁿ. (2.1)

Проценты за этот же период равны

I = S - P = P [(1 + i) ⁿ - 1]. (2.2)

Проценты за каждый последовательный год увеличиваются. Для некоторого промежуточного года t они равны

I_t = S_{t -1} x i = P (1 + i) ^{t -1} i, t = 1,2..., n. (2.3)

Рост по сложным процентам представляет собой процесс, следующий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р, а знаменатель — (1 + i). Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды. Графическая иллюстрация наращения по сложным процентам представлена на рис. 2.1.

Величину q = (1 + i) ⁿ называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов. Фрагмент такой таблицы приведен в Приложении (см. табл. 2). Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля, тысячи и т.д.).

Пример 2.1 Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб., через пять лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых?

S = 1 000 000(1 + 0,155)⁵ = 2 055 464,22 руб.

Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров - i и n. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке. Здесь уместна следующая иллюстрация. Остров Манхэттен, на котором расположена центральная часть Нью-Йорка, был куплен (а точнее выменен) за 24 долл.[2] Стоимость земли этого острова 350 лет спустя оценивалась примерно в 40 млрд. долл., т.е. первоначальная сумма увеличилась в 1,666 х 10⁹ раз. Такой рост достигается при ставке всего 6,3 % годовых.

Очевидно, что очень высокая (инфляционная) процентная ставка может быть применена только для относительно небольшого срока. Например, уже при i = 220% и п = 10 получим следующий множитель наращения:

q = (1 +2,2)¹⁰ = 112 589,99.

Формула (2.1) получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисления. В этих случаях i — ставка за период начисления, п — число таких периодов. Например, если i — ставка за полугодие, то n — число полугодий и т.д.

Начисление процентов в смежных календарных периодах. На практике часто даты начала и конца ссудной операции находятся в двух смежных календарных периодах. Как и в случае с простыми процентами, иногда возникает задача распределения процентов по периодам. Алгоритм деления общей массы процентов легко представить на основе графика (рис. 2.2).

Общий срок ссуды (пусть он меньше двух лет) делится на два периода — n ₁ и n ₂. Соответственно

I = I ₁ + I ₂,

где

Переменные ставки. Формула (2.1) предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать "классическую" схему, например с помощью применения плавающих ставок (floating rate). Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда значения переменных ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных множителей

,

где i ₁, i ₂,..., i_k— последовательные во времени значения ставок;

n ₁, п ₂,..., n_k — периоды, в течение которых "работают" соответствующие ставки.

Пример 2.2. Срок ссуды — 5 лет, договорная процентная ставка — 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75% — в оставшиеся. Множитель наращения в этом случае составит

q = (1 + 0,125)² (1 + 0,1275)³ = 1,81407.

Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций в этих случаях проценты начисляются только за целое число лет (или других периодов начисления). В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяются два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется непосредственно по формуле (2.1). Второй, смешанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и по формуле простых процентов за дробную часть периода:

S = P (1 + i) ^a (1 + bi), (2.4)

где а + b = n;

а — целое число периодов;

b — дробная часть периода.

При выборе метода следует иметь в виду, что множитель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему методу, так как для п < 1справедливо соотношение 1 + ni > (1 + i) ⁿ. Наибольшая разница наблюдается при b = 1/2.

Соотношения простых и сложных процентов для разных сроков рассматриваются в следующем параграфе.

Пример 2.3. Кредит в размере 3 млн. руб. выдан на три года и 160 дней (n = 3 160 / 365 = 3,43836 года) под 16,5% сложных годовых. Сумму долга на конец срока находим по формуле (2.1): S = 3 000 000 х 1,165^3,43836 = 5 071 934,82 руб.

В свою очередь смешанный метод дает S = 3 000 000 х 1,165³ х (1 + 0,438356 х 0,165) = 5 086 592,85 руб.