Финансовые ренты в страховании

В преобладающем числе областей финансовой деятельности объектами приложения количественных методов анализа являются детерминированные процессы, описываемые верными рентами. Однако в страховании и при анализе некоторых инвестиционных проектов возникает необходимость в использовании условных рент (contingent annuity), в которых фигурируют вероятности наступления соответствующих событий (поступлений или выплат денег). Обсудим методы работы с такими рентами, причем для конкретности ограничимся страхованием. Выплата члена ренты здесь зависит от наступления страхового события. Назовем такие ренты cтраховыми aннуиmеmaми. К страховым, например, относятся все аннуитеты, применяемые в личном страховании. Соответствующие денежные суммы выплачиваются здесь только при жизни (например, пенсии) или, наоборот, смерти застрахованного. Заранее число платежей в таких аннуитетах или их срок остаются неизвестными. Условные аннуитеты являются основным инструментом количественного анализа в страховой деятельности.

Согласно договору страхования страхователь уплачивает вперед страховщику некоторую сумму — премию (premium). В свою очередь он (или его правопреемники) имеет право получить страховую сумму S после наступления страхового события. Если вероятность наступления страхового события q заранее известна (на основании прошлого опыта, по аналогии и т.д.), то теоретически, без учета всех прочих факторов (в том числе и фактора времени), премия P определяется как

P = Sq.

Приведенное равенство лишь иллюстрирует принцип эквивалентности обязательств страхователя и страховщика. В действительности премия обычно превышает величину Sq, так как включает помимо чистой премии и так называемую нагрузку (loading). Последняя охватывает все расходы по ведению дела и некоторую прибыль страховой организации.

Покажем в общем виде, как реализуется этот принцип в страховании жизни при решении важнейшей задачи — расчете тарифной ставки. Напомним, что под тарифной ставкой понимается цена страхования, т.е. цена обязательства уплатить некоторую фиксированную сумму при наступлении страхового случая в расчете на некоторую круглую сумму страховой выплаты (1 тыс. руб., 100 тыс. руб. и т.д.).

Пусть, как и выше, P — размер премии, q_n — вероятность страхового события (например, смерть застрахованного через n лет после начала страхования). Речь далее пойдет о нетто-премии, т.е. премии без учета нагрузки. Если страховое событие произойдет на первом году страхования, то страховщик получит сумму P (пусть премии выплачиваются в начале года), если же это событие наступит во втором году, то общая сумма премий составит 2 P и т.д. Математическое ожидание такого ряда премий составит

E (q ₁ + 2 q ₂ +... + nq_n).

Полученная величина хотя и обобщает все выплаты застрахованного с учетом вероятностей их выплат, однако при суммировании соответствующих величин нарушается принцип временной ценности денег, поскольку премии выплачиваются в разные моменты времени. С учетом этого фактора (т.е. с помощью дисконтирования платежей) находим:

Е (А) = P [ q ₁ + (1 + v) q ₂ + (1 + v + v ²) q ₃ +... + (1 + v +... + v^{n -1}) q_n ],

где v — дисконтный множитель по ставке i.

Обратимся теперь к выплате страховой суммы. Положим, что она выплачивается в конце года, в котором имел место страховой случай. Тогда математическое ожидание выплаты в первом году составит Sq ₁ во втором году — Sq ₂ и т.д. Математическое ожидание выплат с учетом времени платежа, очевидно, будет равно:

E (S) = S (vq ₁ + v ² q ₂ +... + vⁿq_n).

Исходя из принципаэквивалентности обязательств страховщика и страхователя, теперь можно написать равенство:

E (S) = Е (А),

которое позволяет найти искомое значение нетто-премии и тариф страхования без учета нагрузки. Таков в общем виде теоретический подход к методу расчета премии и тарифа в личном страховании.

Пусть теперь речь идет об имущественном страховании. Если можно полагать, что вероятности наступления страхового случая постоянны, то математическое ожидание суммы премий с учетом их дисконтирования за n лет составит:

Е(А) = P [ q + (1 + v) q +... + (1 + v +... + v^{n -1})] q.

В свою очередь математическое ожидание выплат страховых сумм находится как

Из равенства математическихожиданий находим размер нетто-премии и тарифной ставки.

Математические ожидания Е (А)и E (S)являются основными характеристиками, с которыми имеют дело в страховании. Они, как видим, представляют собой современные стоимости специфических потоков платежей (платежей с учетом вероятностей их выплат). Причем в имущественном страховании часто это постоянные ренты (при постоянстве вероятностей наступления страховых случаев), а в личном страховании— переменные ренты, поскольку фигурирующие здесь вероятности зависят от возраста застрахованного и меняются для него с каждым годом.

В практике актуарных расчетов (актуарии — страховые математики) разработаны специальные приемы построения упомянутых выше потоков платежей и расчета их математических ожиданий. Рассмотрим их применительно к некоторым видам личного страхования — на дожитие, страхование жизни и, наконец, пенсионное страхование, коль скоро оно сейчас привлекает всеобщее внимание.

До обсуждения проблем построения страховых аннуитетов, связанных с жизнью людей (life annuity), и их использования в страховых расчетах следует ознакомиться с методикой определения необходимых вероятностей и ряда вспомогательных величин, с помощью которых существенно упрощается решение соответствующих задач. Речь пойдет о таблицах смертности и коммутационных функциях.

Таблицы смертности и коммутационные функции. Выше уже было показано, что при разработке страховых потоков платежей необходимы значения вероятностей дожития до определенного возраста или, наоборот, смерти в каком-то возрасте. Систему таких характеристик получают на основе таблицы смертности (mortality table), которая представляет собой числовую модель процесса вымирания некой абстрактной совокупности людей. Основноеее содержание — количества людей каждого возраста (l_x), оставшихся в живых из первоначальной совокупности, равной 100 тыс. человек, и число умерших в каждой возрастной группе за год (d_x)при некоторых заданных (наблюдавшихся в недавнем прошлом) коэффициентах смертности. Таблицы смертности разрабатываются демографами. В качестве примера приведем фрагмент такой таблицы (мужчины)[4].

X	lx	qx	dx
		0,00196
		0,00216
		0,00249
....
	87 779	0,00708
	87 157	0,00770
....
	65 130	0,02871
....
	43 405	0,05691

Показатели таблицы смертности связаны очевидными соотношениями:

l_{x +1} = l_x - d_x; d_x = l_x x q_x,

где d_x — количество умерших в течение года после возраста х лет; q_x — вероятность умереть в течение года после возраста х лет.

На основе данных таблицы смертности нетрудно получить систему показателей вероятности дожития, необходимую для создания соответствующих страховых аннуитетов. Определим несколько таких вероятностей. Вероятность прожить по крайней мере еще один год лицу в возрасте х лет равна:

Вероятность дожить от возраста х до х + n составляет:

где n — число лет предстоящей жизни.

Пример 6.1. Вероятность двадцатилетнего мужчины дожить до 40 лет составит согласно приведенным в таблице смертности данным

₂₀ P ₂₀ = = 0,92619.

По данным таблицы смертности находят и вероятности умереть в определенных возрастах. Например, вероятность умереть в течение года для лица в возрасте х лет составит:

q_x = 1 - p_x = , ав возрасте от х до х + п:

_nq_x = 1 - _nP_x =

Для сокращения записи страховых аннуитетов и формул, позволяющих быстро получить необходимые расчетные данные, применяют так называемые коммутационные функции (коммутационные числа). Названные функции делятся на две группы. В основу первых положены числа доживающих до определенного возраста, вторых — числа умерших. Кратко остановимся на методике получения наиболее важных в практическом отношении функций. Основными в первой группе являются функции D_x и N_x:

(6.1) (6.2)

где v — дисконтный множитель по ставке i;

w — предельный возраст, учитываемый в расчете.

Нетрудно получить еще две функции N_x, которые следует применять в случаях, когда выплаты производятся т раз в году. Так, для платежей постнумерандо:

(6.3) Для платежей пренумерандо:

(6.4)

Наиболее важными коммутационными функциями второй группы являются С_х и М_х:

(6.5) (6.6)

Примеры коммутационных чисел (т = 12):

x	lx	Dx	Nx		Cx	Mx
		16910,609	193931,706	202394,583	30,448	897,899
		15483,872	177021,097	184771,927	30,787	867,451
		12973,771	147362,624	154459,399	30,449	836,664
.....
		2794,671	28 878,763	30 284,048	18,167	410,185
		2545,751	26084,094	27364,985	17,981	392,018
		369,991	2930,070	2760,491	9,745	128,058
....
		104,156	650,279	602,540	5,438	50,463

Коммутационные числа не следует интерпретировать содержательно. Их, скорее, надо воспринимать как чисто технические, вспомогательные величины. Нельзя забывать и о том, что они существенно зависят от принятой процентной ставки.

 

Страхование жизни

Для начала рассмотрим самый простой случай личного страхования — страхование на дожитие (pure endowment), которое можно рассматривать как упрощенный вариант пенсионного страхования — страхование одной пенсионной выплаты. Строго говоря, здесь не возникает потребность в страховом аннуитете. Однако обсуждение применяемой методики окажется полезным далее. Итак, человек в возрасте х лет договаривается со страховой организацией о том, что при достижении им 60 лет он получит R рублей. Для определения размера премии найдем математическое ожидание суммы страховки, дисконтированной на срок страхования, т.е. на 60 лет:

_{60- x}E_x = R _{60- x}p_xv ^{60- x}

где _{60- x}p_x - вероятность лицу в возрасте х лет дожить до 60 лет.

В общем виде с использованием коммутационной функции D_x получим:

(6.7)

Влияние принятой процентой ставки здесь очевидно. Чем она выше, тем меньше премия.

Пример 6.2. Необходимо найти стоимость страхования на дожитие до 60 лет мужчины в возрасте 40 лет. Если расчет основывать на процентной ставке, равной 9%, то согласно формуле (6.7) получим:

₂₀ E_x = = R x 0,13239.

Премия здесь составляет чуть больше 13% страховой суммы. Полученная величина представляет собой нетто-ставкустрахования на дожитие, т.е. ставку, определенную из условия эквивалентности обязательств страхователя и страховщика. Напомним, что она не учитывает расходов страховщика на ведение дела.

Для того чтобы лучше понять смысл полученных результатов, предположим, что число застрахованных на дожитие равно 1000 человек, а страховая сумма равна 1 млн. руб. Таким образом:

Число застрахованных
Премия от одного застрахованного	132390руб.
Общая сумма премии	132 390 тыс. руб.
Сумма с процентами за 20 лет	741 980 тыс. руб.
Количество доживших до 60 лет	742 (741,198)
Общая сумма выплат	742 000 тыс. руб.

Как видим, наблюдается полная сбалансированность между взносами и выплатами, демонстрирующая соблюдение принципа эквивалентности обязательств страхователей и страховщика (небольшая разница объясняется округлением числа доживших).

Приведенный пример иллюстрирует действие принципа солидарной ответственности страхователей. Дело в том, что страхователь, доживший до 60 лет, часть денег получил за счет тех страхователей, которые не дожили до обусловленного возраста. В самом деле, если бы оговоренную сумму (1 млн. руб.) он обеспечивал самостоятельно (без солидарной ответственности всех участников), то ему необходимо было внести не 132 тыс. руб., а 178 тыс. руб.

Как было показано, в разовом страховании на дожитие страховые аннуитеты не применялись, однако в пенсионном страховании (которое фактически представляет собой многократно повторяемое страхование на дожитие) такие аннуитеты являются исходным материалом для расчета тарифов или размеров пенсий. Об этом более подробно будет сказано в следующем параграфе.

Обратимся теперь к страхованию жизни. Страховая сумма, равная S, выплачивается в случае смерти застрахованного. Допустим, страховой договор заключается в возрасте х лет. Если застрахованный умрет на первом году страхования, а выплата страховой суммы производится в конце этого года, то с учетом вероятности страхового случая современная величина выплаты (на момент заключения контракта) составит q_xvS, если страховой случай наступит во втором году, то аналогичная величина равна ₂ q_xv ² S и т.д.

Единовременный нетто-тариф определим исходя из принципа эквивалентности обязательств. Искомая величина равна современной стоимости страхового аннуитета или математическому ожиданию суммы дисконтированных выплат. Необходимые для расчета вероятности определим по таблице смертности как d_x / l_x, d_{x+ 1}/ l_x,..., d_w / l_x. Искомая величина определяется как

Как видим, здесь дисконтируются члены страхового аннуитета. Умножим и разделим каждое слагаемое на v^х и используем коммутационную функцию D_x, после чего получим:

Применив функцию М_х, находим:

(6.8)

Пример 6.3. Найдем величину премии в виде доли от страховой суммы для сорокалетнего мужчины при немедленном пожизненном страховании жизни:

A = = 0,14677 S.

Аналогичным путем находятся страховые аннуитеты и тарифы для других условий страхования жизни.

Пенсионное страхование

Негосударственные пенсионные фонды. Уровень и качество пенсионного обеспечения — важная составляющая экономического и социального положения населения страны. В связи с тем вниманием, которое в настоящее время уделяется негосударственным пенсионным фондам (НПФ), по-видимому, целесообразно остановиться на методах формирования соответствующих страховых аннуитетов и расчете страховых тарифов и пенсий.

С экономической точки зрения обеспечение пенсиями по старости на базе НПФ представляет собой особый долгосрочный инвестиционный процесс, на первом этапе которого осуществляются вложения (взносы в фонд) и последовательное наращение средств за счет доходов от инвестиций взносов, на втором — получение отдачи от накоплений в виде периодических пенсий. Особенности данного инвестиционного процесса определяются принятыми в конкретном фонде правилами, регламентирующими взносы и выплаты пенсий.

Пенсионные фонды не новость для России. До 1917 г. подобного рода учреждения существовали в стране под названием "пенсионные" и "эмеритальные кассы". В настоящее время в России практикуются два основных метода обеспечения пенсиями в рамках НПФ — страховой (коллективное и индивидуальное страхование пенсий) и сберегательный (точнее, трастовый). Второй метод обеспечения старости представляет собой покупку финансовой ренты, и его лишь с большой натяжкой можно назвать пенсионным. За рубежом подобного рода финансовые операции обычно осуществляются банками или другими финансовыми институтами, и во всяком случае их не относят к деятельности пенсионных фондов. Но коль скоро такое обеспечение старости у нас практикуется рядом НПФ, то придется рассмотреть и его, хотя, повторяем, оно и не связано со страховыми аннуитетами.

Сбалансированность взносов и выплат (для каждого участника пенсионного фонда) — обязательное условие нормального ведения дела и важный элемент гарантии выполнения обязательств по выплатам. В страховых схемах баланс достигается на основе применения страховых принципов, которые реализуются с помощью актуарных расчетов[5]. В сберегательных схемах баланс достигается на основе теории верных финансовых рент.

Аннуитеты в страховом обеспечении пенсиями. Как уже отмечалось выше, пенсионное страхование по существу представляет собой последовательно повторяемое страхование на дожитие. Пусть пенсия выплачивается с 60 лет. Тогда стоимость страхования разовой выплаты пенсии, равной S, определяется стоимостью страхования на дожитие до 60 лет — см. формулу (6.7). Аналогично можно последовательно определить стоимость страхования на дожитие и до других возрастов. В итоге имеем:

a_x = ₁ E_x + ₂ E_x +... + _{w-x- 1} E_x,

где w — максимальный возраст, учитываемый в расчете.

Проще, однако, воспользоваться соответствующим страховым аннуитетом. Поэтому обратимся к методике оценки стоимости некоторых страховых аннуитетов.

Пожизненные аннуитеты постнумерандо. Начнем с простейшего вида аннуитета: выплаты немедленные, годовые, пожизненные, постнумерандо. В этом случае стоимость страхового аннуитета для лица в возрасте х лет при ежегодной выплате 1 руб. (1 тыс. руб., 1 млн. руб.) составит:

(6.9)

Умножим и разделим это выражение на v^х, после чего легко записать искомую величину с помощью полученных выше коммутационных чисел:

(6.10)

Аналогичным путем находим стоимость отложенного на n лет аннуитета постнумерандо (n -year deferred life annuity):

(6.11)

Пример 6.4. Стоимость немедленного пожизненного аннуитета постнумерандо для сорокалетнего мужчины (при ежегодной выплате 1 тыс. руб.) равна:

а_х = = 9,33351тыс. руб.

Если выплаты отложены на пять лет, то по формуле (6.11) получим:

₅ а ₄₀ = = 5,52932тыс. руб.

На практике выплаты часто производятся помесячно — каждый раз в размере ¹/₁₂ годовой суммы. В этих случаях вместо формул (6.10) и (6.11) следует применять:

где определяется по формуле (6.3).

Нетрудно установить, что ; , иначе говоря, стоимость аннуитета постнумерандо с ежемесячными выплатами больше, чем с ежегодными.

Пример 6.5. Вернемся к примеру 6.4. Пусть теперь выплаты производятся ежемесячно, тогда находим следующие величины стоимости аннуитетов:

= 9,79184 тыс. руб.

= 5,81535 тыс. руб.

Пожизненные аннуитеты пренумерандо. Пенсии обычно выплачиваются в виде рент пренумерандо. Стоимость немедленного пожизненного аннуитета пренумерандо составит по определению

(6.12)

Как и выше, умножим и разделим слагаемые на v^х, после чего получим:

(6.13)

Из последнего выражения также следует:

(6. 14)

Для отложенных на п лет аннуитетов находим:

(6. 15)

Пример 6.6. По данным нашего сквозного примера получим:

= 10,3351 тыс. руб.;

= 6,15278 тыс. руб.

Сравним теперь стоимости аннуитетов постнумерандо и пренумерандо. Для одинаковых условий находим а_х < ; _nа_х<

В свою очередь для ежемесячных платежей получим:

где определяется по формуле (6.4).

Ограниченные аннуитеты постнумерандо и пренумерандо. Допустим, что выплаты производятся немедленно, но не пожизненно, а в течение t лет. Напомним, соответствующие аннуитеты называют немедленными, ограниченными (t -year temporary life annuity). Стоимость такого аннуитета также легко получить, используя коммутационные числа.

По определению для аннуитетов постнумерандо находим:

Сумма в числителе равна разности N_{x + 1}- N_{x + t + 1}, откуда

(6.16)

В свою очередь для аннуитетов пренумерандо получим:

(6.17)

Рассмотрим еще одну группу страховых аннуитетов — одновременно ограниченных и отложенных (например, выплаты производятся, скажем, спустя пять лет после некоторого момента в течение десяти лет).

Аннуитеты постнумерандо:

(6.18)

Аннуитеты пренумерандо:

(6.19)

Пример 6.7. Рассчитаем стоимость страхового аннуитета пренумерандо для сорокалетнего мужчины. Выплаты ежегодные, с 60 лет, предусматривается два варианта выплат — пожизненные и в течение десяти лет. Для первого варианта ответ находим по формуле (6.15), для второго — по формуле (6.19):

= 1,04845;

= 0,81576