Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо

Методом прямого счета, как это было показано в параграфе 4.2, можно найти наращенную сумму и современную стоимость любого потока платежей, в том числе и постоянной ренты. Однако удобнее, особенно в аналитических целях, воспользоваться более компактными формулами. Поскольку обобщающие характеристики постоянных рент играют существенную роль в анализе финансовых операций, получим эти формулы для всех видов постоянных рент, хотя для понимания существа дела достаточно разобраться с расчетом соответствующих характеристик годовой ренты.

Годовая рента. Начнем с наиболее простого случая — годовой ренты постнумерандо. Пусть в течение п лет в банк в конце каждого года вносится по R руб. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i % годовых. Таким образом, имеется рента, член которой равен R,асрок n. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты — на первый член проценты начисляются n — 1 год, на второй п — 2 и т. д. На последний взнос проценты не начисляются (напомним, что рента постнумерандо). Наращенные к концу срока каждого взноса суммы составят:

R (1 + i) ^{n -1}, R (1 + i) ^{n -2},..., R (1 + i), R.

Перепишем этот ряд в обратном порядке. Нетрудно убедиться в том, что он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1 + i) и первым членом R. Число членов прогрессии равно п. Искомая величина очевидно равна сумме членов этой прогрессии. Отсюда

(4.4)

Обозначим множитель, на который умножается R,через s_n;j; индекс n; j указывает на продолжительность ренты и величину процентной ставки. В дальнейшем этот множитель будем называть коэффициентом наращения ренты. Этот коэффициент представляет собой наращенную сумму ренты, член которой равен 1.

(4.5)

Таким образом,

S = Rs_{n ; j}. (4.6)

Как видим, коэффициент наращения ренты зависит только от срока (числа членов ренты) и процентной ставки. С увеличением каждого из этих параметров его величина увеличивается. При i = 0 S = R_n, при n = 1 S = R. Значения коэффициента легко табулировать. Фрагмент такой таблицы приведен в Приложении, табл. 4.

Пример 4.2. Для обеспечения некоторых будущих расходов создается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение пяти лет. Размер разового платежа 4 млн. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 18,5% годовых. Поскольку в таблице коэффициентов наращения (Приложение, табл. 4) нет такого значения ставки, то необходимую величину определим по формуле (4.4). Величина фонда на конец срока составит:

S = 4 х s _5;18,3 = = 28,9 млн. руб.

Заметим, что полученные выше формулы (4.4) и (4.5) могут применяться и для определения наращенной суммы p -срочной ренты. В этом случае переменная п означает число периодов, в свою очередь i является ставкой за период. Например, пусть рента постнумерандо выплачивается по полугодиям. Тогда в формуле (4.4) под n следует понимать число полугодий, а под i — сложную ставку за полугодие.

Годовая рента, начисление процентов т раз в году. Пусть, как и выше, анализируется годовая рента постнумерандо. Однако проценты начисляются т раз в году. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд (перепишем его в обратном порядке):

R, R (1 + j/m) ^m, R (1 + j/m)^{2 m} ,..., R (l + j/m)^{(n- 1) m} ,

где j — номинальная ставка процентов.

Нетрудно убедиться, что и в этом случае мы имеем дело с возрастающей геометрической прогрессией. Первый член прогрессии равен R,знаменатель — (1 + j/m) ^m. Сумма членов этой прогрессии равна

(4.7)

Пример 4.3. Несколько изменим условия примера 4.2. Пусть теперь проценты начисляются поквартально, а не раз в году. Имеем j/m = 18,5/4, тп = 20.

= 29,663 млн руб.

Как видим, переход от годового начисления процентов к поквартальному несколько увеличил наращенную сумму.

Рента p -срочная (т = 1). Пусть рента выплачивается р раз в году равными суммами, процент начисляется один раз в конце года. Если годовая сумма платежей равна R,то каждый раз выплачивается R/p. Общее число членов ренты равно пр. Ряд членов ренты с начисленными процентами представляет собой геометрическую прогрессию. Первый член ее равен R/p,знаменатель — (1 + i) ^{1 / p}. Сумма членов этой прогрессии:

(4.8)

Пример 4.4. Опять вернемся к условиям примера 4.2. Допустим, теперь платежи выплачиваются поквартально: R/p - 1 млн. руб., общее число платежей равно 20. Наращенная сумма составит

S = 4 = 30,834 млн. руб.

Рента p -срочная (р = m). На практике часто встречаются случаи, когда число выплат в году равно числу начислений процентов, т. е. когда р = т. Для получения необходимой формулы воспользуемся формулой (4.4), в которой i заменяется на j/m,а вместо числа лет берется число периодов выплат ренты пр,член ренты равен R/p. Поскольку р = т, то в итоге получим:

(4.9)

Искомая величина может быть получена и по формуле (4.4). В этом случае вместо числа лет подставляем в формулу число периодов, а вместо годового члена ренты — выплату за период, кроме того, вместо годовой ставки берется ставка за период.

Пример 4.5. Продолжим наш сквозной пример 4.2 - 4.4. Пусть выплата членов ренты и начисление процентов производятся поквартально. По формуле (4.9) получим:

S = 4 = 31,785 млн. руб.

или по формуле (4.4):

= 31,785 млн. руб.

Рента p -срочная (p<>m). Определим теперь наращенную сумму для наиболее общего случая — p -срочная рента с начислением процентов т раз в году. Общее количество членов ренты равно пр, величина члена ренты R/p. Члены ренты с начисленными процентами образуют ряд, следующий геометрической прогрессии, с первым членом R/p и знаменателем (1 + j/m)^m/^p. Сумма членов такой прогрессии составит:

(4.10)

Пример 4.6. Если в ренте, наращенная сумма которой определялась в предыдущем примере, начисление процентов производится ежемесячно, то

= 32, 025 млн руб.

Непрерывное начисление процентов. Обсуждение методов определения наращенных сумм дискретных рент будет неполным, если не охватить ренты с непрерывным начислением процентов. Перепишем в обратном порядке ряд платежей с начисленными непрерывными процентами. Пусть это будут ежегодные платежи постнумерандо. Получим . Сумма членов этой прогрессии равна

(4.11)

где е — основание натуральных логарифмов, — сила роста.

Аналогично для p -срочной ренты находим:

(4.12)

Пример 4.7. Если бы в условиях примера 4.2 вместо ежегодного начисления процентов предусматривалось непрерывное их начисление, причем сила роста была бы равна 18,5%, то: S = 4 = 29,955 млн. руб.

При ежеквартальной выплате членов ренты получим: S = 4 = 32,150 млн. руб.

Заметим, что непрерывное начисление процентов членов дискретной ренты дает в итоге такую же сумму, что и наращение по дискретной ставке i или j, если сила роста эквивалентна этим ставкам. Продемонстрируем сказанное. Сила роста, эквивалентная годовой ставке 18,5% согласно формуле (3.31), составит = ln (1 + + 0,185) = 0,16974. Тогда для годовой ренты находим:

S = 4 = 28,900 млн руб. (см. пример 4.2).

Сравнение результатов наращения годовых и p -срочных рент постнумерандо с разными условиями выплат и наращения процентов. Как видно из приведенных примеров, условия выплат (точнее, их частота) и наращения процентов заметно влияют на размер наращенной суммы. Для практика, очевидно, представляет определенный интерес соотношение этих сумм. Ниже сравниваемые суммы обозначены как S (p; m):так, S (1;1) означает наращенную сумму годовой ренты с ежегодным начислением процентов, S (1; m) — аналогичную характеристику для ренты с начислением процентов т раз в году, наконец, S(p; ) — наращенную сумму р -срочной ренты с непрерывным начислением процентов.

Для одних и тех же сумм годовых выплат, продолжительности рент и размеров процентных ставок (i = j = ) получим следующие соотношения:

(4.13)

Приведенные неравенства могут быть использованы при выборе условий контрактов, так как позволяют заранее (до расчета) получить представление о приоритете того или иного условия. Например, можно заранее сказать, что рента с условиями р = 2 и т = 4 дает меньшую наращенную сумму, чем с р = 4 и т = 2 при равенстве всех прочих условий.

Для иллюстрации приведем значения S (p; m)для ренты с параметрами п = 10, R = 10, i =j = = 6%: