Определение наращенной стоимости годовой финансовой ренты

Пусть задан регулярный финансовый поток постнумерандо. Суммарный годовой платеж обозначим . Предположим, что начисление процентов и осуществление платежей производится один раз в год.

Наращенные отдельные платежи представляют собой геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем прогрессии , где - процентная ставка.

Определим наращенную стоимость ренты , как сумму геометрической прогрессии:

; (6.1)

Выражение называют коэффициентом или множителем наращения финансовой ренты. Он представляет собой стоимость регулярного потока платежей, каждый из которых равен одной денежной единице к моменту окончания всех платежей. Значения множителей наращения ренты приведены в приложении 4.

Рассмотрим финансовую ренту пренумерандо, т.е. платежи осуществляются вначале каждого периода. Следовательно, число раз наращения каждого платежа на один раз больше, что дает увеличение каждого платежа в раз. Поэтому множитель наращения будет выглядеть следующим образом:

следовательно, в этом случае ·∙ (6.2)

I

Пример. В течение 4 лет ежегодно в конце года на специальный счет поступает 50 тыс. руб. Определить наращенную стоимость начисления сложных процентов по ставке 10%.

Решение:

Рента постнумерандо; = 50 тыс. руб., = 4, = 0,1

Пример. Создается целевой фонд для обеспечения инвестиций в сумме 10 млн. руб. сроком на 5 лет, процентная ставка 20%. Определить ежегодные платежи пренумерандо.

Решение: Найти .

 

Наращенная сумма годовой ренты с начислением процентов

M раз в год

Рассмотрим случай, капитализация процентов осуществляется чаще, чем один раз в год.

Предположим, проценты начисляются m раз в год. В этом случае их каждый раз начисляют по ставке , где i - номинальная ставка процентов. Срок ренты n лет.

Наращенные платежи представляют собой геометрическую прогрессию с первым членом R и знаменателем прогрессии .

 

Наращенная сумма такой ренты определяется по формуле:

(6.3)

где R- размер годового платежа.

Пример. На банковский счет ежегодно в конце года поступает 10 000 рублей в течение 7 лет. На эти средства ежеквартально начисляют проценты по номинальной ставке 15% годовых. Определить, какая сумма будет на банковском счете к концу срока.

Решение: R=10 000 руб.; m = 4 раза в год; n =7 лет; i = 0, 15.

 

Наращенная величина р-срочной ренты

 

Предположим, что вложение средств и капитализация процентов осуществляются чаще,чем один раз в год.

Пусть - размер годового платежа;

- срок финансовой операции (лет);

- годовая процентная ставка;

– число платежей в год;

– количество начислений процентов.

Тогда платеж за период

Число процентных периодов , по ставке .

Наращенные платежи представляют собой геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем прогрессии .

Количество членов ренты равно р·n. Найдем ее сумму:

 

(6.4)

Для ренты пренумерандо: (6.5)

Пример. Страховая компания принимает платежи по полугодиям равными частями по 250 тыс. руб. в течение 3 лет. Банк, обслуживающий компанию, начисляет проценты ежеквартально из расчета 10% годовых. Определить, какую сумму получит страховая компания по истечению срока договора.

Решение: =250 тыс. руб., =500 тыс. руб.; i=0,1; p=2 раза; m=4 раза; n=3 года.

 

Пример. Для обеспечения некоторых будущих расходов создается фонд средств. В фонд поступают платежи в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение 5 лет. Размер разового платежа 4 млн. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 18,5% годовых.

Найти величину фонда на конец срока, если

1). Проценты начисляются, и платежи выплачиваются один раз в год.().

R = 4 млн.руб.; i = 18,5% годовых; n=5 лет.

=28,90 млн. руб.

2). Проценты начисляются поквартально, платежи осуществляются один раз в год ( = 4, =1),

Переход от годового начисления процентов к поквартальному несколько увеличил наращенную сумму.

3). Допустим, проценты начисляются раз в год, платежи выплачиваются поквартально. ( = 1, = 4);

4). Пусть платежи и начисление процентов производятся поквартально. (m = p = 4);

5). Пусть платежи производятся поквартально, а начисление процентов производится ежемесячно ( = 12, = 4).