Годовая рента, начисление процентов m раз в году.

Посмотрим, как усложнится формула, если предположить теперь, что платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют m раз в году.

- по схеме постнумерандо.

- по схеме пренумерандо. (1.3)

1.3.3. Рента p-срочная, m=1

Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается p раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года.

- по схеме постнумерандо.

- по схеме пренумерандо. (1.4)

1.3.4. Рента p-срочная, p=m

В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом число платежей p в году и число начислений процентов m совпадают, т.е. p=m. Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой

Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год. Таким образом получаем

- по схеме постнумерандо.

- по схеме пренумерандо. (1.5)

1.3.5. Рента p-срочная, р ≥ 1, m ≥ 1.

Это самый общий случай p -срочной ренты с начислением процентов m раз в году, причем, возможно p ≥ m. Получаем наращенную сумму

- по схеме постнумерандо.

- по схеме пренумерандо. (1.6)

Отметим, что из нее легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая соответствующие значения p и m.

Формулы современной величины

Обычная годовая рента

Пусть член годовой ренты равен R, процентная ставка i, проценты начисляются один раз в конце года, срок ренты n. Тогда дисконтированная величина первого платежа равна

, где - дисконтный множитель.

Приведенная к началу ренты величина второго платежа равна Rn ² и т.д. В итоге приведенные величины образуют геометрическую прогрессию: Rn, Rn ²,Rn ³,..., R nⁿ, сумма которой равна

, (1.7)

где (1.8) - коэффициент приведения ренты.

Как видим, коэффициент приведения ренты зависит только от двух параметров: срока ренты n и процентной ставки i.

5.4.2. Рента p-срочная, р ≥ 1, m ≥ 1.

Аналогичные рассуждения позволяют получить формулу для расчета современной величины ренты в самом общем случае для произвольных значений p и m

, (1.9)

от которой нетрудно перейти к частным случаям при различных p и m.

Зависимость между современной величиной и наращенной суммой ренты

Пусть A - современная величина годовой ренты постнумерандо, а S - ее наращенная стоимость к концу срока n, p=1, m=1.

Покажем, что наращение процентов на сумму A за n лет дает сумму, равную S:

(1.10)

Отсюда же следует, что дисконтирование S дает A: , (1.11)

а коэффициент дисконтирования и наращения ренты связаны соотношениями:

(1.12) . (1.13)