Сложный процент. Эффективный процент. Непрерывное начисление процентов.

Задача 1.9.

Вкладчик размещает в банке 1000 руб. под 10% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов на счете в конце каждого года. Какая сумма денег получится на счете через 5 лет?

Решение.

(1.3)

где P – инвестируемая сумма;

- сумма, получаемая через n лет;

n – число лет, которое сумма находится на счете;

r – ставка процента.

Согласно формуле (1.3) по счету будет получена сумма:

Задача 1.10.

Вкладчик размещает в банке 2000 руб. под 9% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов на счете в конце каждого года. Какая сумма денег получится на счете через 3 года?

Решение.

Задача 1.11.

Вкладчик размещает на счете в банке сумму P. Банк в конце года начисляет процент r. Докажите, что через три года сумма на счете инвестора составит величину

Решение.

В конце первого года сумма на счете вырастет до величины:

В конце второго года он возрастет до:

В конце третьего года она составит:

 

 

Задача 1.13.

Вкладчик размещает в банке 1000 руб. под 9,5% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов на счете через каждые полгода. Какая сумма денег получится на счете через 3 года?

Решение.

В случае начисления сложного процента в рамках года формула (1.3) принимает вид:

где m – периодичность начисления процентов в течение года.

Согласно формуле (1.5) по счету будет получена сумма:

Задача 1.14.

Вкладчик размещает в банке 2000 руб. под 8% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов на счете ежеквартально. Какая сумма денег получится на счете 3 года?

Решение.

Задача 1.15.

В начале года вкладчик размещает в банке 2000 руб. под 8% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов в конце каждого года. В течение года по счету начисляется простой процент. Какая сумма денег получится на счете через 3 года и 90 дней? База 365 дней.

Решение.

По счету вкладчик за три года будет начислен сложные процент, за 90 дней простой процент. Общая сумма по счету в конце периода составит:

 

Дисконтированная стоимость

Задача 1.38.

Инвестор открывает в банке депозит на одни год под 10% годовых и хотел бы в конце периода получить по депозиту 10 тыс. руб. Какую сумму ему следует разместить сегодня на счете?

Решение.

Ответ можно получить, выразив из формулы (1.3) величину P:

(1.16)

где - сумма, которую хотел бы иметь на счете вкладчик через n лет;

r – процент, начисляемый банком;

P – сумма денег, которую надо разместить на депозите.

n – период времени, в течение которого сумма лежит на счете.

Формула (1.16) называется формулой дисконтированной или приведенной стоимости. Согласно (1.16) при n =1 инвестору сегодня следует разместить на депозите:

Задача 1.39.

Инвестор открывает в банке депозит на два года под 10% годовых и хотел бы в конце периода получить по депозиту 10 тыс. руб. Какую сумму ему следует разместить сегодня на счете?

Решение.

Определение периода начисления процента

Задача 1.43.

Инвестор открывает в банке депозит под 10% годовых (простой процент) на сумму 10 тыс. руб. и хотел бы получить по счету 10,5 тыс. руб. На сколько дней следует открыть депозит? База 360 дней.

Решение.

Из формулы (1.2) получаем:

Депозит следует открыть на:

Задача 1.44.

В начале года инвестор открывает в банке депозит на сумму 10 тыс. руб. и хотел бы получить по счету 11881 руб. Банк начисляет 9% годовых, капитализация процентов осуществляется в конце каждого года. На какой период времени следует открыть депозит?

Решение.

Период времени, на который следует открыть депозит, получим из формулы (1.3):

Перепишем ее следующим образом:

(1.18)

Возьмем натуральный логарифм от обеих частей равенства (1.18):

Согласно свойству логарифма вынесем степень за знак логарифма:

(1.19)

Из (1.19) получаем:

Депозит следует открыть на:

Задача 1.45.

В начале года инвестор открывает в банке депозит на сумму 1 млн. руб. и хотел бы получить по счету 1092025 руб. Банк начисляет 9% годовых, капитализация процентов осуществляется через каждые полгода. На какой период следует открыть депозит?

Решение.

Период времени, на который следует открыть депозит, получим из формулы (1.5):

Проведя преобразования аналогично как в задаче 1.44, получаем:

(1.20)

Депозит следует открыть на:

Доходность

Задача 1.65.

Вкладчик инвестировал 10000 руб. и получил через 5 лет 50000 руб. Чему равна доходность инвестиций в расчете на пять лет?

Решение.

Доходность за период определяется по формуле:

(1.35)

где r – доходность за период;

P – первоначально инвестированные средства;

- сумма, полученная через n лет.

Согласно (1.35) доходность за пять лет равна:

или 400%

Задача 1.66.

Вкладчик инвестировал 10000 руб. и получил через 5 лет 50000 руб. Чему равна доходность инвестиций в расчете на год?

Решение.

Доходность в расчете на год определяется по формуле:

(1.36)

где r – где доходность в расчете на год.

Согласно (1.36) доходность в расчете на год равна:

или 37,97% годовых.

Задача 1.67.

Вкладчик инвестировал 10000 руб. и получил через 3 года 9500 руб. Чему равна доходность инвестиций в расчете на год?

Решение.

Согласно (1.36) доходность в расчете на год равна:

или -1,695% годовых, т.е. инвестор получил убыток.

Задача 1.68.

Вкладчик инвестировал 10000 руб. и получил через 1,5 года 9500 руб. Чему равна доходность инвестиций в расчете на год?

Решение.

или -3,36% годовых.

Задача 1.69.

Вкладчик инвестировал 10000 руб. и получил через 5 лет 50000 руб. Процент по инвестициям начислялся ежеквартально. Определить доходность его операции в расчете на год.

Решение.

Если капитализация процентов осуществляется в m раз в год, то формула (1.36) принимает вид:

или 33,52% годовых.

Задача 1.70.

Вкладчик инвестировал 10000 руб. и получил через 5 лет 50000 руб. По инвестициям начислялся непрерывно начисляемый процент. Определить доходность его операции в расчете на год.

Решение.

Если капитализация процентов осуществляется непрерывно, то формула (1.37) принимает вид:

(1.38)

Согласно (1.38) доходность в расчете на год равна:

или 32,19% годовых.

Задача 1.71.

Вкладчик инвестировал 10000 руб. и получил через три месяца 10800 руб. По инвестициям начислялся непрерывно начисляемый процент. Определить доходность его операции в расчете на год на основе непрерывно начисляемого процента.

Решение.

Период времени в три месяца составляет 3/12 = 0,25 года.

Согласно (1.38) доходность в расчете на год равна:

или 30,78% годовых.

Задача 1.72.

Вкладчик разместил на счете в банке 10000 руб. и получил через 180 дней 10540 руб. По счету начислялся простой процент. Определить доходность его операции в расчете на год на основе простого процента. Финансовый год равен 365 дням.

Решение.

Доходность определяется по формуле:

(1.39)

Она равна:

или 10,95% годовых.