Данные для расчета вероятности

Доходность	Количество наблюдаемых результатов	Вероятность
r1=5%		P1=0,15
r2=7%		P2=0,20
r3=10%		P3=0,25
r4=12%		P4=0,30
r5=15%		P5=0,10

 

Для вероятностей применимы пять основных правил:

1. Вероятность никогда не бывает отрицательной величиной.

2. Вероятность не может быть больше 1 (или 100%).

3. Сумма вероятностей всех возможных результатов наблюдений равняется 1.

4. Если результат события вполне предопределен, то вероятность этого события равна 1; никакой другой результат невозможен.

5. Если событие не может произойти, то считается, что его вероятность равна нулю.

В силу неопределенности доходности инвестиций инвестор должен оценивать среднюю, или ожидаемую, доходность. Ожидаемая доходность Е(r) — это взвешенная средняя величина всех возможных значений доходности, где вес каждой доходности определяется вероятностью ее появления. Иными словами, если было проведено п измерений величины rи вероятность доходности rt равна Рt, то:

. (1.3)

Вычислим ожидаемое значение доходности в рассматриваемом примере:

= 0,15*0,05+0,20*0,07+0,25*0,10 + 0,30*0,12+0,10*0,15 = 0,0975 или 9,75%.

В математической статистике количественно степень риска инвестиций оценивают с помощью специальной величины — дисперсии σ 2, которая представляет собой средневзвешенное значение квадратов отклонений наблюдаемых величин доходности rt от средней (ожидаемой) величины Е(r):

Дисперсия . (1.4)

Для нашего примера:

= 0,15*[0,05-0,0975]^2+0,2*[0,07-0,975]^2 +... + 0,1*[0,15-0,975]^2=0,00643.

Чем выше дисперсия, тем больше разброс вероятных событий и тем выше риск инвестиций.

Чаще для количественного измерения риска используют величину стандартного (среднеквадратичного) отклонения σ. По определению σ равняется квадратному корню из величины дисперсии:

. (1.5)

Среднеквадратичное отклонение σимеет размерность случайной величины доходности r (процент) и определяет некоторый стандартный среднеквадратичный интервал рассеивания случайных величин rt, симметричный относительно ожидаемого (среднего) значения доходности Е(r). Для нашего примера:

Как и в случае дисперсии, можно утверждать, что чем выше среднеквадратичное отклонение случайных величин доходности, тем более рискованными являются инвестиции.

В дальнейшем мы будем оперировать случайными величинами доходности, полагая, что эти случайные величины распределены по нормальному (гауссовскому) закону. В случае нормального распределения доходности r вероятность попадания случайной величины r в интервал [r₁,r₂] можно найти по формуле:

 

(1.6)

где Ф(r) - функция распределения случайной величины. Она определяет вероятность того, что случайная величина R примет значение, которое меньше фиксированного действительного числа г, т. е. Ф(r) = P(R<r). Значения функции Ф(r) находят по таблице (см. Приложение). При расчетах следует учитывать, что Ф(-r)=1-Ф(r).

Ответим, например, на следующий вопрос: какова вероятность того, что в рассматриваемом нами примере доходность r_t будет отклоняться от ожидаемого (среднего) значения на 5 %, т.е. какова вероятность того, что доходность будет лежать в пределах [4,75%; 14,75%]? Воспользуемся формулой (1.6):

 

По таблице находим, что Ф(0,62)=0,7324, т.е. Вероятность:

Отталкиваясь от формулы (1.6), можно показать, что с ростом величины σ вероятность попадания нормы отдачи r в заданный интервал уменьшается, т. е. увеличение среднеквадратичного отклонения повышает неопределенность и степень риска инвестиций.

 

Простой и сложный проценты

Выше приведены способы оценки доходности и риска инвестиций в том случае, если инвестирование осуществляется на один шаг расчета. Между тем, как правило, инвестор вкладывает свои средства в тот или иной инвестиционный объект на несколько периодов (в частности лет). Это относится к банковским вкладам, облигациям, инвестиционным проектам в области капитальных вложений и т. п. Подобное инвестирование ставит много вопросов по поводу оценки доходности инвестиций, учета фактора времени при расчете будущих сумм дохода и сегодняшних объемов затрат. Ответы на большинство таких вопросов даются в последующих главах.

Пока же обратимся к очень часто возникающей задаче следующего свойства: предположим, инвестор решил инвестировать какую-то сумму денег S_{начальн} на несколько периодов (например, на m лет). Какую сумму S_конечн он может получить через m лет? Подобного рода задачи принято относить к задачам нахождения будущей стоимости FV вложенных средств. Чтобы вычислить FV начальной суммы S_{начальн} (что равносильно нахождению величины S_конечн), следует ответить на следующий вопрос: предусматривает ли способ инвестирования, осуществленного инвестором, реинвестирование получаемых по окончании каждого шага расчета (года в нашем случае) денежных сумм?

Что имеется в виду? Пусть S_{начальн} = 1000 руб., и инвестор решает одолжить эту сумму заемщику на 5 лет. С учетом планируемого уровня инфляции и риска инвестирования обе стороны приходят к заключению, что доходности по этому займу должны меняться следующим образом: на ближайший год доходность составит ставку r₁ = 18%, на второй год займа r₂ = 16%, и последующие ставки будут равны r₃ = 14%; r₄ = 12%; r₅ = 10%. Какую сумму S_конечн обеспечит такой способ инвестирования? Все зависит от того, каким образом будут начисляться эти доходности. Возможны два основных варианта.

1) Начисление доходности происходит на начальную сумму займа. Это означает, что в течение первого года заем обеспечит инвестору доход 180 руб. в виде начисленных на начальную сумму 18 %. В следующем году 16 % будут вновь начисляться на S_{начальн} =1000 руб., в результате чего по окончании второго года инвестор получит еще 160 руб. процентного дохода. То же будет происходить в каждом году заимствования. Очевидно, что при такой схеме начисления процентных выплат полученный через пять лет суммарный доход инвестора составит: (180руб. + 160руб. + 140руб. + 120руб. + 100руб.) = 700руб. процентных выплат плюс 1000 руб. номинала долга. Итого - 1700 руб. Подобное начисление процентных сумм называется схемой простого процента.

2) Начисление доходности происходит на последующие суммы. В этом случае после окончания первого года заимствования, когда инвестор имеет 1180 руб., очередные 16% начисляются не на S_{начальн} =1000 руб., а на 1180 руб. В результате, по окончании второго года суммарный доход инвестора должен возрасти до величины: S₂=1180руб.*(1+0,16) = S_{начальн} *(1+0,18)*(1+0,16)=1368,8 руб. По окончании третьего года очередные 14 % будут начисляться уже на сумму S₂, в результате чего S₃= 1368,8*(1+0,14)=S_{начальн}*(1,18)*(1,16) *(1,14) = 1560,43 руб.

В итоге через 5 лет:

Подобное начисление процентных сумм называется схемой сложного процента.

Очень часто при инвестировании на несколько периодов доходность за каждый шаг расчета (процентная ставка) не меняется. Это свойственно для банковских депозитов, долговых ценных бумаг и др. В этом случае вычисление величин S_конечн упрощается. Если инвестирование осуществляется на m шагов (лет) а доходность (процентная ставка) за каждый шаг расчета составляет r %, то:

- при использовании схемы простого процента

(1.7);

- при использовании схемы сложного процента

. (1.8).

Как правило, доходности (процентные ставки) выражают в годовом исчислении, поэтому формулы (1.7) и (1.8) следует использовать, если процентные ставки начисляются за год 1 раз. Между тем существуют средства, начисление процента по которым происходит несколько раз в год. Например, по большинству корпоративных облигаций отечественных эмитентов купонные выплаты производятся 2 раза в год, а отдельные облигации обеспечивают начисление сложного процента ежеквартально. Следует иметь в виду, что более частое начисление процента позволяет получать и более крупную конечную сумму.

Предположим, например, что годовая процентная ставка по ценной бумаге составляет 12 % и выплаты производятся 2 раза в год. Тогда, вложив в ценную бумагу 1 тыс. руб., за первые полгода инвестор получит 6 %, т. е. 60 руб., и будет располагать в конце полугодия 1060 руб. Эти деньги он может инвестировать на полгода под те же 6% и в конце года располагать суммой: 1060*(1,06) =1000*(1,06)²=1123,6руб. Если бы инвестор вложил 1 тыс. руб. под 12%, начисляемые раз в год, то в конце года он получил бы 1200 руб. Как видим, инвестирование под 12% годовых, начисляемых раз в полгода, эквивалентно инвестированию под 12,36% годовых, начисляемых раз в год.

Если процент начисляется 2 раза в год, то конечную сумму по окончании года можно найти по формуле:

В общем случае, если в течение года процент начисляется m раз в год, то конечная сумма равняется:

 

и это эквивалентно случаю, если бы начислялся процент:

один раз в год. Иногда в расчетах прибегают к непрерывному начислению процента, т.е. полагают m→∞. Предел величины [l+(r/m)]^m при m→∞. равняется е^r, где е=2,71828... - основание натуральных логарифмов. Следовательно, если инвестор направляет 1000 руб. под 7% годовых, начисляемых непрерывно, то в конце года он получит сумму: 1000*е^0,07 =1000*1,0725 = 1072,5руб., т.е. инвестирование под 7% годовых, начисляемых непрерывно, эквивалентно вкладыванию денег под 7,25 %, начисляемых один раз в год.

Если непрерывное начисление процента происходит n лет, то первоначальная сумма возрастет до величины е^r*n. Например, если на 1000 руб. 7% годовых будут начисляться непрерывно 3 года, то в конце инвестиционного периода инвестор получит сумму: 1000*e^3*0,07= 1000*1,2337= 1233,7 руб.

 

Простой процент

Задача 1.1.

Банк начисляет простой процент. Процентная ставка равна 10%. Вкладчик размещает на счете 1000 руб. Определить, какая сумма будет получена по счету через 5 лет?

Решение.

Простой процент – это начисление процента только на первоначально инвестированную сумму. При начислении простого процента получаемая сумма рассчитывается по формуле:

(1.1)

Где – инвестируемая сумма;

- сумма, получаемая через n лет;

n – число лет, которое сумма находится на счете;

r - ставка процента.

Согласно формуле (1.1) по счету будет получена сумма:

Задача 1.2.

Банк начисляет простой процент. Процентная ставка равна 10%. Вкладчик размещает на счете 2000 руб. Определить, какая сумма будет получена по счету через 3 года?

Решение.

Задача 1.3.

Вкладчик размещает на счете 2000 руб. на три года. Банк начисляет простой процент. Процентная ставка за первый год равна 8%, второй – 9%, третий – 10%. Определить, какая сумма будет получена по счету через 3 года?

Решение.

При начислении за каждый год разного процента формула (1.1) принимает вид:

где - процент, начисляемый за i – й год.