Модели оценки стоимости активов

Модель оценки стоимости активов (САРМ)

Задача 5.1.

Ставка без риска равна 10%, ожидаемая доходность рыночного портфеля – 20%, стандартное отклонение доходности рыночного портфеля - 15%. Определить ожидаемую доходность портфеля, стандартное отклонение доходности которого составляет 30%.

Решение.

Ожидаемая доходность портфеля определяется с помощью уравнения CML:

(5.1)

где: - риск i- го портфеля, для которого определяется уровень ожидаемой доходности;

- ожидаемая доходность i- го портфеля;

- риск рыночного портфеля;

- ожидаемая доходность рыночного портфеля.

Согласно уравнению (5.1) ожидаемая доходность портфеля равна:

Задача 5.2.

Ставка без риска равна 8%, ожидаемая доходность рыночного портфеля – 22%, стандартное отклонение доходности рыночного портфеля — 14%. Определить ожидаемую доходность портфеля, стандартное отклонение доходности которого составляет 25%.

Решение.

СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ

Механические стратегии

Задача 6.1.

Инвестор сформировал портфель из 10 акций и 30 облигаций. Стоимость одной акции и облигации равна 10 руб. Стоимостная пропорция акций и. облигаций в портфеле составляет 70/30. Инвестор планирует восстанавливать данное соотношение всякий раз при его нарушении вследствие изменения курсовой стоимости бумаг. На следующий день курс акции вырос до 11 руб.- и инвестор пересматривает портфель, чтобы восстановить стоимостную пропорцию 70/30 между бумагами. Определить новое количество акций, которое должно входить в портфель.

Решение.

Стоимость портфеля после роста курса акций составила:

70акиий 11руб. + 30облигаций 10руб. =1070руб.

Акции должны от данной суммы составить 70%, поэтому новое количество акций равно:

или 68 акций

Инвестору необходимо продать две акции и на вырученные деньги купить
облигации.

Задача 6.2.

Инвестор сформировал портфель из 6000 акций и 400 облигаций. Стоимость
одной акции 10 руб., облигации — 100 руб. Стоимостная пропорция акций и
облигаций в портфеле составляет 60/40. Инвестор планирует восстанавливать данное соотношение всякий раз при его нарушении вследствие изменения курсовой стоимости бумаг.

На следующий день цена облигации упала до 99 руб.
Инвестор восстанавливает первоначальную ценовую пропорцию между акциями и облигациями в портфеле. Определить новое количество акций и облигаций,
которое должно входить в портфель.

Решение.

Стоимость портфеля после падения цены облигаций составила:

6000акций 10руб. + 40облигаций 99руб. = 99600 руб.

Акции должны от данной суммы составить 60%, поэтому новое количество
акций составит:

Новое количество облигаций в портфеле должно составить:

Инвестор продает 24 акции и на вырученные деньги покупает две облигации

Задача 6.3.

Инвестор сформировал портфель из 6000 акций и 400 облигаций стоимость одной акции 10 руб., облигации — 100 руб. Стоимостная пропорция акций и облигаций в портфеле составляет 60/40. Инвестор планирует восстанавливать

данное соотношение всякий раз при его нарушении вследствие изменения

курсовой стоимости бумаг. На следующий день цена облигации упала до 99 руб.

и акции выросла до 11 руб. Инвестор восстанавливает первоначальную ценовую

пропорцию между акциями и облигациями в портфеле. Определить новое

количество акций и облигаций, которое должно входить в портфель.

Решение.

Стоимость портфеля после падения цены облигаций и роста курса акций составила:

Новое количество акций в портфеле составит:

Новое количество облигаций в портфеле составит:

или 427 облигаций.

Инвестор продает 240 акции и покупает 27 облигаций. Если для покупки облигаций инвестор строго ограничен средствами, которые он получил от продажи акций, то он сможет купить 26 облигаций.

Дюрация и кривизна портфеля облигаций

Задача 6.6.

Доказать, что при горизонтальной структуре кривой доходности дюрация -портфеля облигаций является средневзвешенной дюрацией входящих в него облигаций. Доказательство привести для портфеля из двух облигаций.

Решение.

Цена и дюрация первой облигации равны и , второй - и .

Инвестор формирует портфель, купив первую облигацию в количестве ,

вторую - штук. Цена портфеля равна:

Возьмем производную по r:

(6.1)

Умножим правую и левую части равенства (6.1) на

(6.2)

Умножим и разделим первое слагаемое правой части равенства (6.2) на ,

Второе – на

(6.3)

 

Левая часть равенства (6.3) представляет собой дюоацию портфеля.
Выражения в скобках в правой части равенства — это соответственно дюрации
первой и второй облигаций. Поэтому можно записать:

(6.4)

Отношения и = это уд. веса облигаций в стоимости портфеля,

обозначим их через и . Равенство (6.4) принимает вид:

(6.5)

Равенство (6.5) говорит о том, что дюрация портфеля является средне-
взвешенной дюрацией входящих в него облигаций.

 

Задача 6.7.

Портфель состоит из трех облигаций. Цена первой 915,75 руб., второй 1000
руб., третьей 1194,25 руб. Первая облигация погашается через 5 лет, вторая 10
лет, третья 15 лет. Инвестор покупает 6 штук первой облигации, 5 второй и 4
третьей. Дюрация первой облигации равна 4,61, второй 7,8, третьей 9.75 года.
Кривая доходности имеет горизонтальную структуру. Определить дюрацию
портфеля.

Решение.

Стоимость портфеля равна:

915,75 6+1000 5+1194,25 4=15271,5руб.

Удельные веса облигаций в портфеле равны:

 

Дюрация портфеля составляет:

0,36 4,61+ 0,33 7,8+ 0,31 9,75 = 7,26 года

ОЦЕНКА УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ

Задача 7.1.

Менеджер управлял портфелем в течение четырех лет. В начале первого
года в портфель инвестировали 100 млн.руб. В конце года его стоимость выросла до 105млн. руб. В начале второго года из портфеля изъяли 10 млн.руб. В конце года его стоимость составила 110 млн.руб. В начале третьего года в портфель внесли 20 млн. руб. В конце года его стоимость составила 115 млн.руб. В начале четвертого года из портфеля изъяли 5 млн.руб. В конце года его стоимость составила 120 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год.

Решение.

Доходность управления портфелем за первый год составила:

В начале второго года из портфеля изъяли 10 млн.руб., поэтому на второй год

менеджер начал управлять портфелем стоимостью: 105 — 10=95 млн.руб.

Доходность управления портфелем за второй год равна:

В начале третьего года в портфель внесли 20 млн.руб., поэтому на третий год менеджер начал управлять портфелем стоимостью: 110+20=130 млн.руб.

Доходность управления портфелем за третий год равна:

В начале четвертого года из портфеля изъяли 5 млн.руб., поэтому на четвертый год менеджер начал управлять портфелем стоимостью: 115-5 =110 млн.руб.

Доходность управления портфелем за четвертый год равна:

Доходность портфеля в расчете на год составляет:

или 4,08% годовых.

Задача 7.2.

Менеджер управлял портфелем в течение четырех лет. В начале первого года в портфель инвестировали 100 млн. руб.. В конце года его стоимость выросла до 110 млн. руб. В начале второго года из портфеля изъяли 20 млн. руб. В конце года его стоимость составила 100 млн. руб. В начале третьего года из портфеля изъяли 10 млн. руб, В конце года его стоимость составила 95 млн. руб. В начале четвертого года из портфеля изъяли 3 млн. руб. В конце года его стоимость составила 93 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год.

Решение.

Доходность портфеля в расчете на год равна:

 

Задача 7.3.

Менеджер управлял портфелем в течение трех лет. В начале первого года в -портфель инвестировали 50 млн. руб. В конце года его стоимость выросла до 60 млн. руб. В начале второго года из портфеля изъяли 10 млн. руб. В конце года. его стоимость составила 55 млн. руб. В начале третьего года из портфеля. изъяли 5 млн. руб. В конце года его стоимость составила 57 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год.

Решение.

 

ОПЦИОНЫ

Опционы колл и пут

 

Задача 11.1.

Инвестор купил европейский трехмесячный опцион колл на акцию с пеной исполнения 100 руб. за 5 руб. К моменту окончания контракта спотовая цена акции составила 120 руб. Определите финансовый результат операции для инвестора.

Решение.

Европейский опцион колл исполняется, если к моменту истечения контракта цена спот акции больше пены исполнения. Финансовый результат покупателя опциона определяется по формуле:

финансовый результат = S_T – X – с, (11.1)

 

где S_T – цена слот акции к моменту истечения контракта;

X – цена исполнения опциона;

с – премия опциона колл.

Цена слот акции больше цены исполнения, поэтому инвестор исполнил опцион. Прибыль равна:

S_T – X – с = 120-100 - 5 = 15 руб.

 

Задача 11.2.

Инвестор купил европейский трехмесячный опцион колл на акцию с пеной исполнения 100 руб. за 5 руб. К моменту окончания контракт слоговая цена акции составила 103 руб. Определите финансовый результат операции для инвестора.

Решение.

К моменту истечения контракта пена спот акции больше цены исполнения. Поэтому инвестор исполнил опцион. Согласно (11.1) финансовый результат по операции равен:

103 – 100 – 5 = –2 руб.

т.e. убыток составил 2 руб.

 

Задача 11.3.

Инвестор купил европейский трехмесячный опцион колл на акцию с ценой исполнения 100 руб. за 5 руб. К моменту окончания контракта спотовая цена акции составила 80 руб. Определите финансовый результат операции для инвестора.

Решение.

Цена спот акции к моменту окончания контракта меньше цены исполнения. Поэтому инвестор не исполнил опцион. Убыток по операции равен уплаченной премии, т.е. 5 руб.

 

Задача 11.4.

Инвестор купил европейский трехмесячный опцион на акцию с ценой исполнения 100 руб. за 5 руб. К моменту окончания контракта спотовая цена акции составила 100 руб. Определите финансовый результат операции для инвестора.

Решение.

Цена спот акции к моменту окончания контракта. Поэтому инвестор не исполнил опцион. Убыток по премии, т.е. 5 руб.

 

Задача 11.5.

Инвестор купил европейский трехмесячный опцион колл на акцию с ценой исполнения 250 руб. за 25 руб. К моменту окончания контракта спотовая цена акции составила 266 руб. Определите финансовый результат для инвестора.

Решение.

Согласно (11.1) финансовый результат равен:

266 – 250 – 25 = –9 руб.

 

 

8.2. Стоимость опционов перед моментом истечения контрактов.

 

Задача 11.28.

Перед истечением срока действия контракта цена опциона колл на акцию равна 5 руб., цена исполнения - 100 руб., цена спот акции – 100руб. Определить, возможен ли арбитраж и величину арбитражной прибыли.

Решение.

Непосредственно перед истечением срока действия контракта стоимость европейского и американского опционов колл может принимать только два значения. Если S ≤ X (где S – цена спот базисного актива к моменту истечения контракта, X - цена исполнения опциона), то премия равна нулю, поскольку покупка опциона не принесет инвестору выигрыша. Если S > X, то премия должна равняться его внутренней стоимости, т.е.:

S – X. (11.7)

При нарушении данного условия возникает возможность совершить арбитражную операцию.

Цена опциона должна составить:

S – X = 110 – 100 = 10руб.

Поскольку премия опциона равна 5 руб., то условие (11.7) нарушено, опцион недооценен. Арбитражная прибыль равна:

10 – 5 = 5 руб.

 

 

Задача 11.29.

Перед истечением срока действия контракта цена опциона колл на акцию равна 10 руб., цена исполнения - 100 руб., цена спот акции - 112 руб. Определить величину арбитражной прибыли и перечислить действия арбитражера.

Решение.

Внутренняя стоимость опциона равна:

112 – 100 = 12руб.

Условие (11.7) нарушено, так как внутренняя стоимость опциона больше его премии. Арбитражер покупает опцион за 10 руб., так как он стоит дешевле чем должен стоить, и осуществляет короткую продажу акции на спотовом рынке за 112 руб. Исполняет опцион, т.е. приобретет акцию по контракту за 100 руб., и возвращает ее кредитору. Его выигрыш равен:

–10 + 112 – 100 = 2руб.

 

Задача 11.30.

Перед истечением срока действия контракта цена опциона колл на акцию равна 14 руб., цена исполнения – 10 руб., цена спот акции – 112 руб., Определить

 

 

[1] Данную величину также часто называют доходностью к погашению.