Арифметика финансового рынка

АРИФМЕТИКА ФИНАНСОВОГО РЫНКА

Оценка эффективности инвестиций

Необходимо отметить, что при инвестировании всегда существует определенный интервал времени — так называемый инвестиционный (холдинговый) период — между моментом вложения инвестиций и получением прибыли (иного положительного эффекта). Поэтому в самом общем смысле под инвестированием понимают процесс вложения инвестиций сегодня ради получения прибыли по окончании холдингового периода. Иными словами, принимая решение о вложении инвестиций, инвестор фактически отказывается от текущего потребления инвестируемых средств, чтобы в конце холдингового (инвестиционного) периода получить определенный положительный эффект.

Длительность холдингового периода определяет условное различие между игрой, спекуляцией и инвестированием. Под игрой понимают инвестирование с очень коротким холдинговым периодом (порой несколько секунд — сколько необходимо, например, для вращения рулетки). Существуют и другие отличия игры. Так, рациональный инвестор рассматривает игру как развлечение, а не как способ получения дохода. Риск игры является искусственно созданным, а не объективно возникшим в процессе функционирования рынка; этот риск не обеспечивает разумного сочетания с ожидаемой отдачей, вследствие чего для игрока ожидаемая величина отдачи отрицательна, что алогично с точки зрения инвестирования. Спекуляция длится дольше игры, но ее холдинговый период все же не превосходит нескольких недель. Именно такой период имеет в виду спекулянт (который также является инвестором), приобретая какое-либо средство в надежде на скорое повышение его цены. Строго говоря, нет теоретически обоснованного определения холдингового периода инвестирования, которое бы четко отделяло его от игры и спекуляции. Как правило, большинство западных специалистов сходятся во мнении, что холдинговый период инвестирования должен превышать 6 месяцев.

Оценка риска инвестиций

Как отмечалось, вкладывая деньги в тот или иной инвестиционный объект, инвестор может лишь с определенной долей уверенности прогнозировать будущую отдачу инвестиций.

Для количественного описания степени объективной возможности наступления того или иного случайного события r вводится специальная числовая функция Р(r), называемая вероятностью события r. В применении к доходности r можно считать, что вероятность показывает относительную частоту появления того или иного значения r.

Предположим, что мы сделали 100 наблюдений доходности определенной инвестиции и получили результаты, приведенные в табл. 1.3.

Вероятность в данном случае показывает относительную частоту появления ожидаемой величины: вероятность доходности r, находится как отношение числа наблюдаемых подобных результатов к общему числу наблюдаемых событий: P₁=15/100=0,15.

Таблица 1.3

Простой и сложный проценты

Выше приведены способы оценки доходности и риска инвестиций в том случае, если инвестирование осуществляется на один шаг расчета. Между тем, как правило, инвестор вкладывает свои средства в тот или иной инвестиционный объект на несколько периодов (в частности лет). Это относится к банковским вкладам, облигациям, инвестиционным проектам в области капитальных вложений и т. п. Подобное инвестирование ставит много вопросов по поводу оценки доходности инвестиций, учета фактора времени при расчете будущих сумм дохода и сегодняшних объемов затрат. Ответы на большинство таких вопросов даются в последующих главах.

Пока же обратимся к очень часто возникающей задаче следующего свойства: предположим, инвестор решил инвестировать какую-то сумму денег S_{начальн} на несколько периодов (например, на m лет). Какую сумму S_конечн он может получить через m лет? Подобного рода задачи принято относить к задачам нахождения будущей стоимости FV вложенных средств. Чтобы вычислить FV начальной суммы S_{начальн} (что равносильно нахождению величины S_конечн), следует ответить на следующий вопрос: предусматривает ли способ инвестирования, осуществленного инвестором, реинвестирование получаемых по окончании каждого шага расчета (года в нашем случае) денежных сумм?

Что имеется в виду? Пусть S_{начальн} = 1000 руб., и инвестор решает одолжить эту сумму заемщику на 5 лет. С учетом планируемого уровня инфляции и риска инвестирования обе стороны приходят к заключению, что доходности по этому займу должны меняться следующим образом: на ближайший год доходность составит ставку r₁ = 18%, на второй год займа r₂ = 16%, и последующие ставки будут равны r₃ = 14%; r₄ = 12%; r₅ = 10%. Какую сумму S_конечн обеспечит такой способ инвестирования? Все зависит от того, каким образом будут начисляться эти доходности. Возможны два основных варианта.

1) Начисление доходности происходит на начальную сумму займа. Это означает, что в течение первого года заем обеспечит инвестору доход 180 руб. в виде начисленных на начальную сумму 18 %. В следующем году 16 % будут вновь начисляться на S_{начальн} =1000 руб., в результате чего по окончании второго года инвестор получит еще 160 руб. процентного дохода. То же будет происходить в каждом году заимствования. Очевидно, что при такой схеме начисления процентных выплат полученный через пять лет суммарный доход инвестора составит: (180руб. + 160руб. + 140руб. + 120руб. + 100руб.) = 700руб. процентных выплат плюс 1000 руб. номинала долга. Итого - 1700 руб. Подобное начисление процентных сумм называется схемой простого процента.

2) Начисление доходности происходит на последующие суммы. В этом случае после окончания первого года заимствования, когда инвестор имеет 1180 руб., очередные 16% начисляются не на S_{начальн} =1000 руб., а на 1180 руб. В результате, по окончании второго года суммарный доход инвестора должен возрасти до величины: S₂=1180руб.*(1+0,16) = S_{начальн} *(1+0,18)*(1+0,16)=1368,8 руб. По окончании третьего года очередные 14 % будут начисляться уже на сумму S₂, в результате чего S₃= 1368,8*(1+0,14)=S_{начальн}*(1,18)*(1,16) *(1,14) = 1560,43 руб.

В итоге через 5 лет:

Подобное начисление процентных сумм называется схемой сложного процента.

Очень часто при инвестировании на несколько периодов доходность за каждый шаг расчета (процентная ставка) не меняется. Это свойственно для банковских депозитов, долговых ценных бумаг и др. В этом случае вычисление величин S_конечн упрощается. Если инвестирование осуществляется на m шагов (лет) а доходность (процентная ставка) за каждый шаг расчета составляет r %, то:

- при использовании схемы простого процента

(1.7);

- при использовании схемы сложного процента

. (1.8).

Как правило, доходности (процентные ставки) выражают в годовом исчислении, поэтому формулы (1.7) и (1.8) следует использовать, если процентные ставки начисляются за год 1 раз. Между тем существуют средства, начисление процента по которым происходит несколько раз в год. Например, по большинству корпоративных облигаций отечественных эмитентов купонные выплаты производятся 2 раза в год, а отдельные облигации обеспечивают начисление сложного процента ежеквартально. Следует иметь в виду, что более частое начисление процента позволяет получать и более крупную конечную сумму.

Предположим, например, что годовая процентная ставка по ценной бумаге составляет 12 % и выплаты производятся 2 раза в год. Тогда, вложив в ценную бумагу 1 тыс. руб., за первые полгода инвестор получит 6 %, т. е. 60 руб., и будет располагать в конце полугодия 1060 руб. Эти деньги он может инвестировать на полгода под те же 6% и в конце года располагать суммой: 1060*(1,06) =1000*(1,06)²=1123,6руб. Если бы инвестор вложил 1 тыс. руб. под 12%, начисляемые раз в год, то в конце года он получил бы 1200 руб. Как видим, инвестирование под 12% годовых, начисляемых раз в полгода, эквивалентно инвестированию под 12,36% годовых, начисляемых раз в год.

Если процент начисляется 2 раза в год, то конечную сумму по окончании года можно найти по формуле:

В общем случае, если в течение года процент начисляется m раз в год, то конечная сумма равняется:

 

и это эквивалентно случаю, если бы начислялся процент:

один раз в год. Иногда в расчетах прибегают к непрерывному начислению процента, т.е. полагают m→∞. Предел величины [l+(r/m)]^m при m→∞. равняется е^r, где е=2,71828... - основание натуральных логарифмов. Следовательно, если инвестор направляет 1000 руб. под 7% годовых, начисляемых непрерывно, то в конце года он получит сумму: 1000*е^0,07 =1000*1,0725 = 1072,5руб., т.е. инвестирование под 7% годовых, начисляемых непрерывно, эквивалентно вкладыванию денег под 7,25 %, начисляемых один раз в год.

Если непрерывное начисление процента происходит n лет, то первоначальная сумма возрастет до величины е^r*n. Например, если на 1000 руб. 7% годовых будут начисляться непрерывно 3 года, то в конце инвестиционного периода инвестор получит сумму: 1000*e^3*0,07= 1000*1,2337= 1233,7 руб.

 

Простой процент

Задача 1.1.

Банк начисляет простой процент. Процентная ставка равна 10%. Вкладчик размещает на счете 1000 руб. Определить, какая сумма будет получена по счету через 5 лет?

Решение.

Простой процент – это начисление процента только на первоначально инвестированную сумму. При начислении простого процента получаемая сумма рассчитывается по формуле:

(1.1)

Где – инвестируемая сумма;

- сумма, получаемая через n лет;

n – число лет, которое сумма находится на счете;

r - ставка процента.

Согласно формуле (1.1) по счету будет получена сумма:

Задача 1.2.

Банк начисляет простой процент. Процентная ставка равна 10%. Вкладчик размещает на счете 2000 руб. Определить, какая сумма будет получена по счету через 3 года?

Решение.

Задача 1.3.

Вкладчик размещает на счете 2000 руб. на три года. Банк начисляет простой процент. Процентная ставка за первый год равна 8%, второй – 9%, третий – 10%. Определить, какая сумма будет получена по счету через 3 года?

Решение.

При начислении за каждый год разного процента формула (1.1) принимает вид:

где - процент, начисляемый за i – й год.

 

Задача 1.9.

Вкладчик размещает в банке 1000 руб. под 10% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов на счете в конце каждого года. Какая сумма денег получится на счете через 5 лет?

Решение.

(1.3)

где P – инвестируемая сумма;

- сумма, получаемая через n лет;

n – число лет, которое сумма находится на счете;

r – ставка процента.

Согласно формуле (1.3) по счету будет получена сумма:

Задача 1.10.

Вкладчик размещает в банке 2000 руб. под 9% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов на счете в конце каждого года. Какая сумма денег получится на счете через 3 года?

Решение.

Задача 1.11.

Вкладчик размещает на счете в банке сумму P. Банк в конце года начисляет процент r. Докажите, что через три года сумма на счете инвестора составит величину

Решение.

В конце первого года сумма на счете вырастет до величины:

В конце второго года он возрастет до:

В конце третьего года она составит:

 

 

Задача 1.13.

Вкладчик размещает в банке 1000 руб. под 9,5% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов на счете через каждые полгода. Какая сумма денег получится на счете через 3 года?

Решение.

В случае начисления сложного процента в рамках года формула (1.3) принимает вид:

где m – периодичность начисления процентов в течение года.

Согласно формуле (1.5) по счету будет получена сумма:

Задача 1.14.

Вкладчик размещает в банке 2000 руб. под 8% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов на счете ежеквартально. Какая сумма денег получится на счете 3 года?

Решение.

Задача 1.15.

В начале года вкладчик размещает в банке 2000 руб. под 8% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов в конце каждого года. В течение года по счету начисляется простой процент. Какая сумма денег получится на счете через 3 года и 90 дней? База 365 дней.

Решение.

По счету вкладчик за три года будет начислен сложные процент, за 90 дней простой процент. Общая сумма по счету в конце периода составит:

 

Дисконтированная стоимость

Задача 1.38.

Инвестор открывает в банке депозит на одни год под 10% годовых и хотел бы в конце периода получить по депозиту 10 тыс. руб. Какую сумму ему следует разместить сегодня на счете?

Решение.

Ответ можно получить, выразив из формулы (1.3) величину P:

(1.16)

где - сумма, которую хотел бы иметь на счете вкладчик через n лет;

r – процент, начисляемый банком;

P – сумма денег, которую надо разместить на депозите.

n – период времени, в течение которого сумма лежит на счете.

Формула (1.16) называется формулой дисконтированной или приведенной стоимости. Согласно (1.16) при n =1 инвестору сегодня следует разместить на депозите:

Задача 1.39.

Инвестор открывает в банке депозит на два года под 10% годовых и хотел бы в конце периода получить по депозиту 10 тыс. руб. Какую сумму ему следует разместить сегодня на счете?

Решение.

Задача 1.43.

Инвестор открывает в банке депозит под 10% годовых (простой процент) на сумму 10 тыс. руб. и хотел бы получить по счету 10,5 тыс. руб. На сколько дней следует открыть депозит? База 360 дней.

Решение.

Из формулы (1.2) получаем:

Депозит следует открыть на:

Задача 1.44.

В начале года инвестор открывает в банке депозит на сумму 10 тыс. руб. и хотел бы получить по счету 11881 руб. Банк начисляет 9% годовых, капитализация процентов осуществляется в конце каждого года. На какой период времени следует открыть депозит?

Решение.

Период времени, на который следует открыть депозит, получим из формулы (1.3):

Перепишем ее следующим образом:

(1.18)

Возьмем натуральный логарифм от обеих частей равенства (1.18):

Согласно свойству логарифма вынесем степень за знак логарифма:

(1.19)

Из (1.19) получаем:

Депозит следует открыть на:

Задача 1.45.

В начале года инвестор открывает в банке депозит на сумму 1 млн. руб. и хотел бы получить по счету 1092025 руб. Банк начисляет 9% годовых, капитализация процентов осуществляется через каждые полгода. На какой период следует открыть депозит?

Решение.

Период времени, на который следует открыть депозит, получим из формулы (1.5):

Проведя преобразования аналогично как в задаче 1.44, получаем:

(1.20)

Депозит следует открыть на:

Доходность

Задача 1.65.

Вкладчик инвестировал 10000 руб. и получил через 5 лет 50000 руб. Чему равна доходность инвестиций в расчете на пять лет?

Решение.

Доходность за период определяется по формуле:

(1.35)

где r – доходность за период;

P – первоначально инвестированные средства;

- сумма, полученная через n лет.

Согласно (1.35) доходность за пять лет равна:

или 400%

Задача 1.66.

Вкладчик инвестировал 10000 руб. и получил через 5 лет 50000 руб. Чему равна доходность инвестиций в расчете на год?

Решение.

Доходность в расчете на год определяется по формуле:

(1.36)

где r – где доходность в расчете на год.

Согласно (1.36) доходность в расчете на год равна:

или 37,97% годовых.

Задача 1.67.

Вкладчик инвестировал 10000 руб. и получил через 3 года 9500 руб. Чему равна доходность инвестиций в расчете на год?

Решение.

Согласно (1.36) доходность в расчете на год равна:

или -1,695% годовых, т.е. инвестор получил убыток.

Задача 1.68.

Вкладчик инвестировал 10000 руб. и получил через 1,5 года 9500 руб. Чему равна доходность инвестиций в расчете на год?

Решение.

или -3,36% годовых.

Задача 1.69.

Вкладчик инвестировал 10000 руб. и получил через 5 лет 50000 руб. Процент по инвестициям начислялся ежеквартально. Определить доходность его операции в расчете на год.

Решение.

Если капитализация процентов осуществляется в m раз в год, то формула (1.36) принимает вид:

или 33,52% годовых.

Задача 1.70.

Вкладчик инвестировал 10000 руб. и получил через 5 лет 50000 руб. По инвестициям начислялся непрерывно начисляемый процент. Определить доходность его операции в расчете на год.

Решение.

Если капитализация процентов осуществляется непрерывно, то формула (1.37) принимает вид:

(1.38)

Согласно (1.38) доходность в расчете на год равна:

или 32,19% годовых.

Задача 1.71.

Вкладчик инвестировал 10000 руб. и получил через три месяца 10800 руб. По инвестициям начислялся непрерывно начисляемый процент. Определить доходность его операции в расчете на год на основе непрерывно начисляемого процента.

Решение.

Период времени в три месяца составляет 3/12 = 0,25 года.

Согласно (1.38) доходность в расчете на год равна:

или 30,78% годовых.

Задача 1.72.

Вкладчик разместил на счете в банке 10000 руб. и получил через 180 дней 10540 руб. По счету начислялся простой процент. Определить доходность его операции в расчете на год на основе простого процента. Финансовый год равен 365 дням.

Решение.

Доходность определяется по формуле:

(1.39)

Она равна:

или 10,95% годовых.

 

Задача 1.73.

Размер инвестиции - 115000$.

Доходы от инвестиций в первом году: 32000$; во втором году: 41000$; в третьем году: 43750$; в четвертом году: 38250$. Размер барьерной ставки - 9,2%, n = 4.

Пересчитаем денежные потоки в вид текущих стоимостей:

PV1 = 32000 / (1 + 0,092) = 29304,03$ PV3 = 43750 / (1 + 0,092)3 = 33597,75$ PV2 = 41000 / (1 + 0,092)2 = 34382,59$ PV4 = 38250 / (1 + 0,092)4 = 26899,29$

NPV = (29304,03 + 34382,59 + 33597,75 + 26899,29) - 115000 = 9183,66$

Ответ: чистая текущая стоимость равна 9183,66$

Срок окупаемости инвестиций

Задача 1.74.

Размер инвестиции - 115000$.

Доходы от инвестиций в первом году: 32000$; во втором году: 41000$; в третьем году: 43750$; в четвертом году: 38250$.

Определим период по истечении которого инвестиция окупается.
Сумма доходов за 1 и 2 года: 32000 + 41000 = 73000$, что меньше размера инвестиции равного 115000$.

Сумма доходов за 1, 2 и 3 года: 73000 + 43750 = 116750 больше 115000, это значит, что возмещение первоначальных расходов произойдет раньше 3 лет.

Если предположить что приток денежных средств поступает равномерно в течении всего периода (по умолчанию предполагается что денежные средства поступают в конце периода), то можно вычислить остаток от третьего года.

Остаток = (1 - (116750 - 115000)/43750) = 0,96 года

Ответ: период окупаемости равен 3 годам (точнее 2,96 года).

Окупаемость не учитывает временной стоимости денег. Этот показатель позволяет вам узнать, пренебрегая влиянием дисконтирования, сколько потребуется времени, чтобы ваши инвестиции принесли столько денежных средств, сколько вам пришлось потратить.

1.9. Внутренняя норма доходности (прибыли, внутренний коэффициент окупаемости, Internal Rate of Return - IRR)

IRR = r, при котором NPV = f(r) = 0,

Ее значение находят из следующего уравнения:

 

 

CFt - приток денежных средств в период t; It - сумма инвестиций (затраты) в t-ом периоде; n - суммарное число периодов (интервалов, шагов) t = 0, 1, 2,..., n.

Задача 1.75.

Размер инвестиции - 115000$.

Доходы от инвестиций в первом году: 32000$; во втором году: 41000$; в третьем году: 43750$; в четвертом году: 38250$.

Решим задачу без использования специальных программ. Используем метод последовательного приближения. Подбираем барьерные ставки так, чтобы найти минимальные значения NPV по модулю, и затем проводим аппроксимацию. Стандартный метод - не устраняется проблема множественного определения IRR и существует возможность неправильного расчета (при знакопеременных денежных потоках). Для устранения проблемы обычно строится график NPV(r)).

Рассчитаем для барьерной ставки равной ra=10,0%

Пересчитаем денежные потоки в вид текущих стоимостей:

PV1 = 32000 / (1 + 0,1) = 29090,91$ PV3 = 43750 / (1 + 0,1)3 = 32870,02$

PV2 = 41000 / (1 + 0,1)2 = 33884,30$ PV4 = 38250 / (1 + 0,1)4 = 26125,27$

NPV(10,0%) = (29090,91 + 33884,30 + 32870,02 + 26125,27) - 115000 =

= 121970,49 - 115000 = 6970,49$

Рассчитаем для барьерной ставки равной rb=15,0%

Пересчитаем денежные потоки в вид текущих стоимостей:

PV1 = 32000 / (1 + 0,15) = 27826,09$ PV3 = 43750 / (1 + 0,15)^3 = 28766,34$

PV2 = 41000 / (1 + 0,15)^2 = 31001,89$ PV4 = 38250 / (1 + 0,15)^4 = 21869,56$

NPV(15,0%) = (27826,09 + 31001,89 + 28766,34 + 21869,56) - 115000 =

= 109463,88 - 115000 = -5536,11$

Делаем предположение, что на участке от точки а до точки б функция NPV(r) прямолинейна, и используем формулу для аппроксимации на участке прямой:

IRR = ra + (rb - ra)*NPVa/(NPVa - NPVb) = 10 + (15 - 10)*6970,49 / (6970,49 - (- 5536,11)) = 12,7867%

 

2.

3. Рис. 1 Определение IRR методом подбора

Формула справедлива, если выполняются условия ra < IRR < rb и NPVa > 0 > NPVb. Ответ: внутренний коэффициент окупаемости равен 12,7867%.

Индекс рентабельности (PI)

Дисконтированный индекс доходности (ТС-индекс, PV-index, Present value index, Discounted Profitability Index, DPI)(иногда называемый отношением дохода к издержкам (benefit cost ratio), выраженным в текущих стоимостях).

Формула для расчета дисконтированного индекса доходности:

DPI >= 1,0

CFt - приток денежных средств в период t; It - сумма инвестиций (затраты) в t-ом периоде; r - барьерная ставка (ставка дисконтирования); n - суммарное число периодов (интервалов, шагов) t = 0, 1, 2,..., n.

Задача 1.76.

Размер инвестиции - 115000$. Доходы от инвестиций в первом году: 32000$; во втором году: $41000; в третьем году: $43750; в четвертом году: $38250.Размер барьерной ставки - 9,2%.

Пересчитаем денежные потоки в вид текущих стоимостей:

PV1 = 32000 / (1 + 0,092) = $29304,03 PV3 = 43750 / (1 + 0,092)3 = $33597,75

PV2 = 41000 / (1 + 0,092)2 = $34382,59 PV4 = 38250 / (1 + 0,092)4 = $26899,29

DPI = (29304,03 + 34382,59 + 33597,75 + 26899,29) / 115000 = 1,07985

Ответ: дисконтированный индекс доходности равен 1,079
2. ОБЛИГАЦИИ И ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ

Определение цены облигации

Задача 2.1.

Облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 12%.

Решение.

Принцип расчета цены облигации основан на дисконтировании будущих доходов, которые будут выплачены по ней. Технику определения курсовой стоимости можно представить в три действия:

1) определяем поток доходов, который ожидается по бумаге;

2) находим дисконтированную стоимость величины каждого платежа по бумаге; дисконтирование осуществляем под процентную ставку, соответствующую доходности до погашения облигации[1];

3) суммируем дисконтированные стоимости; полученная сумма и является ценой облигации.

В задаче поток доходов по облигации представлен выплатой купонов и ем номинала. По купону в конце каждого года выплачивается сумма:

1000 руб.∙0,1 = 100руб.

В конце третьего года также погашается номинальная стоимость бумаги. Таким образом,

облигация принесет следующий поток доходов:

Год
Сумма (руб.)

Дисконтированные стоимости платежей для каждого года соответственно равны:

Год
Дисконтированная стоимость (руб.)

 

Цена облигации равна:

89,29+ 79,72+ 782,96 = 951,97руб.

 

Задача 2.2.

Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8%.

Решение.

В соответствии с алгоритмом определения стоимости облигации, представленном в задаче 2.1, формула расчета цены облигации имеет вид:

(2.1)

где Р — цена облигации; С — купон в рублях; N — номинал;

n — число лет до погашения облигации;

r — доходность до погашения облигации.

Согласно формуле (2.1) цена облигации равна:

 

Задача 2.9.

Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год. До погашения облигации 2 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8%.

Решение.

Когда купон выплачивается m раз в год, формула (2.1) принимает вид:

(2.2)

 

Согласно (2.2) цена облигации равна:

 

 

Примечание.

Данную задачу можно решить, используя формулу (2,1), только в этом случае периоды времени выплаты купонов следует учитывать не в купонных периодах, а, как и раньше, в годах. Первый купон выплачивается через полгода, поэтому для него время выплаты равно 0,5 года, второй купон выплачивается через год, для него время выплаты равно 1 год и т.д. Ставка дисконтирования учитывается в этом случае как эффективный процент на основе заданной доходности до погашения, т.е. она равна:

(1+0,08/2)² - 1= 0,0816.

Согласно формуле (2.1) цена облигации составляет:

 

руб.

 

Задача 2.37.

Номинал облигации 1000 руб., купон 10%. Облигация стоит 953 руб. Определить текущую доходность облигации.

Решение.

Текущая доходность облигации определяется по формуле:

( 2.9)

где r_T — текущая доходность; С — купон облигации; Р — цена облигации.

Согласно (2.9) текущая доходность облигации равна:

 

[2] или 10,49% годовых.

 

Задача 2.40.

Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 3 года. Облигация стоит 850 руб. Определить доходность до погашения облигации.

Решение.

Доходность до погашения бескупонной облигации определяется по формуле:

 

(2.10)

 

Согласно (2.10) доходность облигации составляет:

 

или 5,57% годовых.

 

Задача 2.43.

Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 4 года и 120 дней. Облигация стоит 640 руб. Определить доходность до погашения облигации. База 365 дней.

 

Решение.

или 10,86% годовых.

 

Задана 2.45.

Номинал бескупонной облигации 1000 руб. Облигация погашается через три года. Инвестор купил облигацию по 850 руб. и продал через 120 дней по 873 руб. Определить доходность операции инвестора в расчете на год на основе: 1) простого процента; 2) эффективного процента. База 365 дней.

Решение.

1) или 8,23% годовых.

2) или 8,46% годовых.

 

 

Задана 2.47.

Номинал облигации 1000 руб., купон 7%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет. Облигация стоит 890 руб. Определить ориентировочнодоходность до погашения облигации.

Решение.

Доходность до погашения купонной облигации можно ориентировочно определить из формулы:

(2.11)

где

r –- доходность до погашения;

N –- номинал облигации;

С –- купон;

Р — цена облигации;

n — число лет до погашения.

Согласно (2.11) доходность равна:

 

или 9,74% годовых.

 

Задача 2.48.

Номинал облигации 1000 руб., купон 8%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 6 лет, Облигация стоит 1053 руб. Определить ее доходность до погашения.

Решение.

или 6,93% годовых.

Задача 2.49.

Номинал облигации 1000 руб., купон 9%, выплачивается два раза в год. До погашения облигации 4 года. Облигация стоит 1040 руб. Определить ее доходность до погашения.

Решение.

или 7,84% годовых.

 

Замечание.

Для облигации, по которой купон выплачивается m раз в год, формула ориентировочной доходности примет следующий вид:

 

(2.12)

 

Однако в этом случае r является доходностью в расчете на один купонный

период. Так, если m = 2, то получится доходность за полгода. Чтобы перевести полученную доходность в расчете на год, ее следует умножить на величину т. Таким образом, для расчета ориентировочной доходности по облигациям с выплатой купонов m раз в год, можно сразу пользоваться формулой (2.11).

 

 

Задача 2.61.

Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет.

тор полагает, что за этот период он сможет реинвестировать купоны под годовых. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по ой бумаге, если продержит ее до погашения.

Решение.

Через пять лет инвестору выплатят номинал облигации. Сумма купонных платежей и процентов от их реинвестирования представляет собой будущую стоимость аннуитета. Поэтому она составит:

 

Общая сумма средств, которые получит инвестор за пять лет, равна:

 

1000+ 635,29 = 1635,29руб.

 

Задача 2.62.

Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон 8%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 4 года. Инвестор полагает, что за этот период он сможет реинвестировать купоны под 6%годовых. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до погашения.

Решение.

Сумма купонных платежей и процентов от их реинвестирования за четыре года равна:

 

 

С учетом выплаты номинала общая сумма средств по облигации через четыре года составит:

1000+ 349,97 = 1349,97руб.

Задача 2.63.

Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон 8%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации шесть лет. Инвестор полагает, что в течение ближайших двух лет он сможет реинвестировать купоны под 10%, а в оставшиеся четыре года под 12%. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до погашения.

Решение.

Сумма купонов и процентов от их реинвестирования за первые два года (по первым двум купонам) составит:

(То есть через год инвестор получит первый купон и реинвестирует его на год под 10%, еще через год получит следующий купон. В сумме это дает 168 руб.) Полученная сумма инвестируется под 12% на оставшиеся четыре года:

 

168∙1,12⁴=264,35 руб.

 

Сумма купонных платежей и процентов от их реинвестирования под 12% в

течение четырех последних лет составит:

 

 

Общая сумма, которую инвестор получит по облигации, равна:

 

1000+ 264,35+ 382,35 = 1646,7 руб.

 

Дюрация

Задача 2.81.

Выведите формулу дюрации Маколея на основе определения дюрации как эластичности цены облигации по процентной ставке.

Решение.

Согласно определению дюрации как эластичности цены облигации по процентной ставке можно записать:

или

,

или

, (2.25)

где

D — дюрация Маколея;

Р — цена облигации;

dP — небольшое изменение цены облигации;

r — доходность до погашения облигации;

dr — небольшое изменение доходности до погашения.

 

В формуле (2.25) стоит знак минус, чтобы сделать показатель дюрации положительной величиной, так как цена облигации и процентная ставка изменяются в противоположных направлениях.

В уравнении (2.25) отношение это производная цены облигации по процентной ставке. На основе формулы цены облигации с выплатой купонов один раз в год (2.1) она равна: