Глава 4. Доходность и риск портфеля

ЦЕННЫХ БУМАГ

 

Ожидаемая доходность актива

И портфеля ценных бумаг

Задача 4.1.

Данные о доходности актива за прошедшие 10 лет представлены в таблице:

 

Годы
Доходность (%)					-5	-3

 

Определить ожидаемую доходность актива.

Решение.

На основе прошлых данных статистики ожидаемая доходность актива определяется как среднеарифметическая доходность ():

 

 

Задача 4.2.

Данные о доходности актива за прошедшие 9 лет представлены в таблице:

 

Годы
Доходность (%)			-1

 

Определить ожидаемую доходность актива.

Ответ.

=4,56%.

 

Задача 4.3.

Данные о доходности актива за прошедшие 9 месяцев представлены в таблице:

 

Годы
Доходность (%)		-2	-1

 

Определить ожидаемую доходность в расчете на месяц.

Ответ.

= 4,78%.

 

Задача 4.4.

Инвестор полагает, что в будущем году можно ожидать следующего вероятностного распределения доходности актива.

 

Доходность (%)	Вероятность (%)
-10
-5

 

Определить ожидаемую доходность актива.

Решение.

Ожидаемая доходность актива определяется как среднеарифметическая взвешенная доходность. Весами выступают вероятности каждого возможного исхода.

.

 

Риск актива

Задача 4.17.

Доходность актива за 8 лет представлена в таблице:

 

Годы
Доходность (%)					-10	-5

Определить риск актива, представленный показателями выборочной дисперсии и стандартного отклонения доходности.

Решение.

Выборочная дисперсия доходности актива определяется по формуле:

 

(4.1)

 

где: r₁ — доходность актива в i- м периоде;

_

r — средняя доходность актива;

 

n - число периодов наблюдения.

Средняя доходность определяется по формуле:

Средняя доходность актива за 8 лет составила:

 

Выборочная дисперсия доходности актива равна:

σ ² =(10-8)² +(14-8)² +(18-8)² +(16-8)² +(-10-8)² +(-5-8)² +(б-8)²+(15-8)²/8 = 93,75.

 

Стандартное отклонение доходности определяется как корень квадратный из дисперсии:

Выборочное стандартное отклонение доходности равно:

= 9,68%

Задача 4.18.

На основе данных задачи 4.17 определить, какую доходность инвестор может получить по активу через год с вероятностью

а) 68,3%,

б) 95,4%,

в) 99,7%?

Распределение доходности актива предполагается нормальным.

Решение.

Как было определено в задаче 4.17, ожидаемая доходность актива равна 8%, стандартное отклонение 9,68%.

а) С вероятностью 68,3% можно ожидать, что доходность актива через год
будет располагаться в интервале одного стандартного отклонения от ожидаемой доходности, т.е. 8 ±9,68 или:

от 8-9,68 = -1,68% до 8 + 9,68 = 17,68%.

б) С вероятностью 95,4% можно ожидать, что доходность актива через год
будет располагаться в интервале двух стандартных отклонений от ожидаемой
доходности, т.е. 8 ± 2∙ 9,68 или:

от 8-2∙9,68 = -11,36% до 8 + 2∙9,68 = 27,36%.

в) С вероятностью 99,7% можно ожидать, что доходность актива через год
будет располагаться в интервале трех стандартных отклонений от ожидаемой
доходности, т.е. 8 + 3∙9,68 или:

от 8-3∙9,68 = -21,04% до 8 + 3∙9,68 = 37,04%.

Задача 4.19.

На основе данных задачи 4.17 определить исправленную дисперсию и

стандартное отклонение доходности актива.

Решение.

Исправленная дисперсия доходности актива определяется по формуле:

 

(4.2)

 

 

Исправленная дисперсия доходности актива равна:

σ ²=(10-8)²+(14-8)² + (18-8)²+(16-8)²+(-10-8)² +

+ (-5-8)² + (б-8)²+(15-8)²/(8-1) = 107,14.

Исправленное стандартное отклонение доходности составляет:

=10,35.

Задача 4.20.

Доходность актива за 10 дней представлена в таблице:

 

 

Дни
Доходность (%)	0,1	0,5	1,2	-0,4	-0,2	-0,01	0,3	0,6	-0,05	1,3

 

Определить риск актива, представленный показателями выборочной

дисперсии и стандартного отклонения доходности.

Решение.

Средняя доходность актива в расчете на день равна:

 

 

Выборочная дисперсия доходности актива в расчете на один день согласно формуле (4.1) составляет:

 

Стандартное отклонение доходности за один день равно:

 

= 0,541%.

 

Риск портфеля ценных бумаг

 

Задача 4.43.

Доходность двух активов за 8 периодов представлена в таблице:

 

Периоды
Доходность актива X					-5	-3
Доходность актива Y					-2	-7	-2

 

Определить коэффициент выборочной ковариации доходностей активов.

Решение.

Коэффициент выборочной ковариации определяется по формуле:

 

 

(4.9)

где: r_xi, r_yi -доходности активов Х и Y в i-м периоде;

 

-средняя доходность актива X;

- средняя доходность актива Y;

п - число периодов наблюдения.

 

 

Определяем среднюю доходность активов:

 

 

 

 

Ковариация доходностей равна:

Задача 4.44.

На основе данных задачи 4.43 определить коэффициент корреляции доход­ностей

активов X и Y.

Решение.

Коэффициент корреляции определяется по формуле:

 

(4.10)

где: corr_xv — коэффициент корреляции переменных X и Y;

- стандартное отклонение переменой X;

- стандартное отклонение переменой Y.

Определяем дисперсии доходностей активов согласно формуле (4.1):

 

 

 

 

Стандартные отклонения доходностей равны:

Коэффициент корреляции составляет:

.