Определение доходности и риска при формировании портфеля ценных бумаг.

Портфель - это набор финансовых активов, которыми располагает инвестор.

Ожидаемая доходность портфеля определяется как средневзвешенная ожидаемая до­ходность входящих в него бумаг, то есть:

где E(r p) - ожидаемая доходность портфеля за определенный период1;

E(r 1), E(r 2); E(r n) - ожидаемая доходность соответственно первой, второй и п-й бумаги; она рассчитывается как средняя арифметическая доходности бумаги за предыдущие пе­риоды времени;

Ɵ₁\Ɵ2\Ɵ_п - удельный вес в портфеле первой, второй и п- й бумаги.

Компактно формула (18.1) записывается следующим образом:

 

Удельный вес актива в портфеле определяется как отношение её стоимости к стоимости всего портфеля:При этом сумма всех удельных весов, входящих в портфель активов равна единице.

 

где Ɵi- удельный вес i-го актива; Рi- стоимость i-го актива; Рр- стоимость портфеля.

Ожидаемый риск портфеля

Марковиц. оп­ределил риск при помощи хорошо известной статистической величины - вариации как меры возможных отклонений от ожидаемого (среднего) значения.

Использование вариации для измерения риска

Вариация, или дисперсия, случайной величины служит мерой разброса её значений вокруг среднего значения. Для доходности (как случайной величины) вариация, оценивающая «степень отклонения» возможных конкретных значений от средней или ожидаемой до­ходности, служит мерой риска, связанного с данной доходностью. Формула для определе­ния вариации доходности актива записывается следующим образом:

вариация учитывает не только размер отклонений возможных значений доходности от среднего, но и вероятность такого отклонения.дисперсия указывает меру неопределенности в ожиданиях инвестора, который оценивает будущую доходность как среднюю по всем возможным значениям.

Стандартное отклонение. Поскольку вариация имеет размерность квадрата измеряе­мой величины, ее принято преобразовывать в стандартное отклонение, т.е. извлекать квадратный корень. Тогда риск (о) получает ту же размерность, что и доходность:

Риск тем больше, чем больше вариация (var) или стандартное отклонение(σ).

Ковариация и корреляция.

Ковариация демонстрирует степень зависимости двух случайных величин.

Ковариация может принимать положительные, отрицательные значения и равняться нулю.

18.5 где covxy - ковариация доходности активов X и Y.

Связь между ковариацией и корреляцией.

 

где сorrxу - коэффициент корреляции переменных X и Y; σ_х - стандартное отклонение переменной X;

σ_y- стандартное отклонение переменной Y.

Риск портфеля двух активов с некоррелируемыми доходностями. В случае отсутствия корреляции между доходностями активов формула принимает вид:

 

18.12

Отсюда очевидно, что портфель активов с некоррелируемыми доходностями способен снизить риск.

 

Как известно, можно получит портфель с минимальным риском при отсутствии корреля­ции доходностей двух активов. Для этого следует продифференцировать уравнение 18.12 поƟxи приравнять его к нулю при том, что Ɵ _у = 1 –Ɵx:

Выводы для портфеля из двух активов.

• если портфель состоит из активов с корреляцией +1, то возможно лишь усреднить, но не уменьшить совокупный риск;

• если портфель состоит из активов с корреляцией меньше +1, его риск уменьшается по мере уменьшения корреляции доходностей активов, при этом сохраняется неизменный уровня ожидаемой доходности портфеля;

• если портфель состоит из активов с корреляцией -1, можно сформировать портфель без риска;

• при формировании портфеля следует подбирать активы с минимально возможной кор­реляцией.

Риск портфеля из нескольких активов. Теперь выясним, как определяется риск портфеля, состоящего из нескольких активов. Он рассчитывается по формуле:

 

18.13

 

где σ²р - риск портфеля;

Ɵi - удельный вес i-roактива в портфеле;

Ɵj- удельный вес j-roактива в портфеле;

covij- ковариация доходностей i-roи j-roактивов.

 

Знак двойной суммы означает, что, раскрывая формулу 18.13, сначала следует взять значение i=1 и умножить на него все значения j от 1 до п. Затем повторить данную операцию, но уже для i=2, и т.д. В итоге получим п ² слагаемых:

Доминирующий портфель.

Портфель (актив) имеющий более высокий уровень доходности при том же уровне риска или более низкий риск при той же ожидаемой доходности, чем остальные портфели (ак­тивы), называется доминирующим.

70. Показатели эффективности управления портфелем ценных бумаг.

Трудно получить однозначный вывод, если сравнивать портфели лишь только на основе их абсолютных значений. Например, доходность одного портфеля составила 60%, а вто­рого 70%. На первый взгляд, вывод однозначен: управление второго менеджера оказа­лось более предпочтительным. Но так ли это, если знать, что второй менеджер шёл на риски, в два раза превышающие риски первого менеджера? Ответ может быть только от­рицательным. Поэтому для оценки эффективности управления портфелем используются относительные показатели, учитывающие не только доходность, но и риск портфеля.

С 1960-е годов для акций наиболее распространенными в этой области были три показа­теля, или индекса: индекс Трейнора, индекс Шарпа и индекс Дженсена. Для облига­ций предусмотрены особые индексы. Сначала рассмотрим индекс для облигаций

Индекс для облигаций. В качестве меры риска в нем учитывается относительная дюрация:

Коэффициент эффективности портфеля облигаций (rp-rf)/(Dp/Dm)

где D_p/'D_m- отношение дюрации портфеля облигаций к дюрации рыночного портфеля облигаций.

Для акций набор индексов более разнообразен.

Индекс Трейнора представляет меру полученной избыточной доход­ности на единицу риска. При этом избыточный доход определяется как разность между доходностью портфеля и безрисковой ставкой доходности за рассматриваемый период. Мерой риска в данном индексе является «бета» портфеля:

 

 

где r_p- доходность портфеля за рассматриваемый период; rf- ставка без риска за данный период.

Индекс Шарпа, как и индекс Трейнора, является мерой соотношения до­ходность/риск. В числители этого индекса находятся те же величины, что и в индексе Трейнора. В качестве же меры риска используется стандартное отклонение:

Индексы Шарпа и Трейнора приводят к получению примерно одинаковых рейтингов, ес­ли инвестор имеет дело с хорошо диверсифицированными портфелями. В противном случае индексы могут существенно друг от друга отличаться. Индекс Шарпа при измере­нии риска учитывает стандартное отклонение. В связи с этим его следует использовать при оценке портфеля с малой диверсификацией. Индекс Трейнора лучше использовать при оценке широко диверсифицированного портфеля.

При определении эффективности управления портфелем, инвестор должен произве­сти два сопоставления: найти наилучший портфель среди данного множества, сравнить активный портфель с результатами рынка

Индекс Дженсена (JensenIndex). При построении индекса Дженсена используется модель опреде­ления цен фиксированных активов (САРМ). С её помощью определяется, получил ли ин­вестиционный менеджер более высокие или низкие по сравнению с выбранным рыноч­ным индексом результаты. «Эмпирическим» аналогом САРМ является уравнение:

 

где е - случайная ошибка модели.

 

На словах это выражение толкуется так:

Избыточная доходность = «Бета» * Избыточная доходность относительно индекса рынка + Случайная ошибка.

Если полученная менеджером избыточная доходность не превосходит ту, которая полу­чается по данной формуле, то это значит, что «добавленной стоимости» получено не бы­ло. И вот здесь, чтобы определить степень отклонения полученного результата от эта­лонного, описываемого «бетой», Дженсен ввел в уравнение дополнительный фактор. Ко­эффициент «альфа» служит мерой эффективности управления портфелем данным ме­неджером.

Используя заданные в форме временных рядов данные по доходности портфеля и рыночного индекса, получим систему уравнений регрессии:

 

 

Здесь свободный член «альфа» (а_р) выражает часть доходности, которая была полу­чена исключительно за счёт действий инвестиционного менеджера, то есть:

Избыточная доходность = Доходность от действий менеджера + «Бета» * Избыточная до­ходность относительно индекса рынка + Случайная ошибка.

Менеджер пассивной стратегии не стремится получить доходность выше рыночной; тем самым он ориентируется на результаты, которые находятся на ожидаемой линии SML. Если при этом фактическая альфа не равна нулю, то менеджер недостаточно точно спрогнозировал будущую рыночную конъюнктуру.

Как известно, CARM является моделью одного временного периода с одним значе­нием гfи Е(r_т). Если же рассматривать продолжительный период Т, состоящий из не­скольких отрезков времени ti, то для каждого периода будет меняться и конъюнктура. То есть для каждого временного периода пассивный менеджер должен строить свою линию SML с собственными значениями rfи E(r_m).

На базе значений rfи E(r_m) для каждого отрезка времени ti можно рассчитать ожи­даемую SML для периода Т, на основе средних значений за период Т.

 

Тем самым а_р, полученная как отклонение реальной доходности портфеля от его предпо­лагаемой доходности, отразит способность пассивного менеджера предвидеть будущую конъюнктуру.

Для активного менеджера положительная альфа в рамках периода t (в рамках одно­го периода при неизменной конъюнктуре) свидетельствует о его способности обнару­жить недооцененные ценные бумаги. Для длительного периода Т (множество периодов t) положительная альфа может быть как результатом адекватного выбора активов, так и времени сделок с ними.

Для облигаций коэффициент альфа определяется на основе линии SML для обли­гаций с использованием относительной дюрации в качестве значения беты.

Как и индекс Тейнора, индекс Дженсена строится на предположении о полной диверси­фикации портфеля, при которой с портфелем связан только систематический риск. Ста­тическая оценка коэффициента «альфа» довольно чувствительная к изменению «бета» портфеля. Чтобы избавиться от этой зависимости, коэффициент «альфа» можно разде­лить на ожидаемую доходность портфеля, что позволит отразить систематический риск.

 

[1] выписка предоставляется только при наличии операций по счету, а также по просьбе клиента (но это уже может быть платная услуга), в обязательном порядке выписка формируется по состоянию на 1 января, и остаток сверяется с данными бухгалтерского учета клиента.