Эффективный набор портфелей ценных бумаг.

Правила построения границы эффективных портфелей Марковица позволяют находить оптимальный портфель для любого количества ценных бумаг. Однако для определения весов каждого актива необходимо выполнять большой объем вычислений. В самом деле, если портфель объединяет n активов, то для построения границы эффективных портфелей необходимо предварительно вычислить n значений ожидаемых (средних арифметических) доходностей Е(ri) каждого актива, n величин дельта² дисперсий всех доход­ностей и п(п — 1) / 2 выражений ковариаций дельта. активов в портфеле.

 

При увеличении числа активов в портфеле количество необходимых ковариаций становится непомерно большим. Например, если инвестор желает сформировать портфель из 30 акций, ему необходимо вычислить 435 ковариаций, 30 ожидаемых и 30 дисперсий, т.е. около 500 величин. При 100 активов в портфеле необходимое количество исходных данных превысит 5000.

В 1963 г. Уильям Шарп предложил новый метод построения эффективных портфе­лей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальней­шем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная мо­дель. Шарпа.

В основе модели лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий свя­зать две случайные зависимые переменные величины X и Y линейным выражением типа:

Переменной X считается величина какого-то рыночного показателя: темпы валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве такой переменной рассматривал доходность рыночного портфеля rm,вычисленную на основе индекса S&P500. В российских условиях, естественно, можно использовать данные отечественных индексов: РТС или ММВБ.Уравнение модели может иметь, например, следующий вид:

 

где E(rj) - ожидаемая доходность актива;

у, - доходность актива в отсутствии влияния на него рыночных факторов;

Bi- коэффициент бета актива;

Е(r_т) - ожидаемая доходность рыночного портфеля;

£, - независимая случайная ошибка, свидетельствующая о том, что значения Е(ri) и Е(r_т)

 

отклоняются от линейной зависимости 20.16. Она показывает специфический риск акти­ва, который нельзя объяснить действием рыночных сил.

Если уравнение 20.16 применить к широко диверсифицированному портфелю, то значения случайных переменных е,, погасят друг друга и ими можно пренебречь. То есть, модель Шарпа принимает вид:

 

где Е(r_р) - ожидаемая доходность портфеля;

_BР - бета портфеля;

у_р - доходность портфеля в отсутствии влияния рыночных факторов.

В графическом виде данная модель изображена на рис. 20.14. Она демонстрирует за­висимость между доходностью рынка (r_т) и доходностью актива (ri) и представляет собой прямую, которая получила наименование линией характеристики или характеристиче­ской линии.

 

Доходность рынка здесь - независимая переменная. Наклон линии характеристики определяется коэффициентом бета, а пересечение с осью ординат - значением показателяyi. Бета определяется по формуле:

 

 

yi- находится по формуле

 

 

где ri - средняя доходность i-го актива за предыдущие периоды времени; rm - средняя доходность рынка за предыдущие периоды времени.

 

На данном рисунке бета положительна, поэтому наклон линии характеристики соответст­венно положительный: при увеличении доходности рынка доходность актива повышается, а при понижении - падает. Однако, как уже было изображено на рис. 20.5, наклон рынка теоретически

может быть любым. А если построить график модели для самого рыночного портфеля относительно рыночного портфеля, то значение у него равно нулю, а беты, соот­ветственно, +1

 

Набор эффективных портфелей

Одно из главных достоинств модели Шарпа состоит в том, что она позволяет значительно сократить объёмы вычислений при определении оптимального портфеля, давая при этом результаты, близко совпадающие с получаемыми по модели Марковица. Это достигается на основе ряда преобразовании. Ковариация i-го и j -го активов на основе уравнения Шарапа равна:

 

 

Для определения риска портфеля подставим формулу 20.19 в формулу, предложен­ную Марковитцем:

Экономичность модели Шарпа можно проиллюстрировать на таком примере: при форми­ровании портфеля из 30 активов для определения границы эффективных портфелей по­требуется 3 • 30 + 2 = 92 исходных данных по модели Шарпа и 495 (то есть, в 5 раз больше) по модели Марковица. Однако при использовании формулы 20.20 следует помнить, что экономия в вычислениях происходит за счет уменьшения точности оценки.