Обобщающие параметры потоков платежей и прямой метод расчета наращенной и современной стоимости

В большинстве практических случаев анализ потоков платежей предполагает расчет одного или двух обобщающих параметров: наращенной суммы и современной стоимости.

Наращенная сумма – это сумма всех членов потоков платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

Современная стоимость – сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или на некоторый упреждающий момент времени.

Наращенная сумма может представлять собой общую сумму накопленной задолженности к концу срока, итоговый объем инвестиций, накопленный денежный резерв и пр. Современная же стоимость характеризует приведенные к началу срока (началу осуществления проекта) инвестиционные затраты, суммарный капитализированный доход, чистую приведенную прибыль и т.д. Без расчета обобщающих характеристик невозможно разработать план последовательного погашения задолженности, измерить экономическую эффективность проекта, осуществить сравнение условий различных контрактов и решить множество финансовых задач.

Введем обозначения и охарактеризуем основные параметры:

R – суммарный годовой платеж (размер суммы, которая переходит от одного владельца к другому в течение года; либо предполагается возможность такого перехода);

Р – число раз поступлений отдельных платежей в течении года;

Период – временной интервал между двумя соседними платежами;

n – срок потока платежей;

i (j) – ставка, используемая при наращении или дисконтировании отдельных платежей, из которых состоит поток;

m – число раз в году начисления процентов исходя из ставки j в течении года.

Как наращенную, так и современную стоимость потока платежей можно рассчитать прямым счетом. Для этого рассмотрим общую постановку задачи.

Пусть имеется ряд произвольных платежей R_t, выплачиваемых спустя время n_t после некоторого начального момента времени, общий срок выплаты n лет. Необходимо определить наращенную на конец срока сумму S, если проценты начисляются раз в году по сложной процентной ставке i, получим общую схему расчета наращенной суммы потока платежей (рис. 12).

S = S ₁ + S ₂ + S ₃ + … + S_{n – 2} + S_{n – 1} + S_n (R_n), или

S = R ₁(1 + i) ^{n – 1} + R ₂(1 + i) ^{n – 2} + R ₃(1 + i) ^{n – 3} + … + R_{n – 2}(1 + i)² +

+ R_{n – 1}(1 + i) + R_n, или

. (64)

 

 

Рис.12. Общая схема расчета наращенной суммы потока платежей

Пример 44.

Ежегодно в конце года в течение 3х лет на специальный счет поступает 50 д.е. Определим наращенную стоимость, если ежегодно в конце года осуществляется начисление сложных процентов по ставке 10%.

 

Дано: R = 50 д.е. i = 10% n = 3 года	Решение: Согласно (64) получим:
S -?

Графическая иллюстрация

R₁ 50 R₂ 50 R₃ 50

 

1 2 3

S=S₁+S₂+S₃(R₃)

 

S₂ = R₂ ∙ (1 + i)

наращение

 

S₁ = R₁ ∙ (1 + i)²

наращение

 

Современную стоимость (А) такого потока находим как сумму дисконтированных платежей (рис. 13).

 

 

Рис. 13. Общая схема расчета современной стоимости

A = A ₁ + A ₂ + A ₃ +…+ A_{n – 2} + A_{n – 1} + A_n, или

A = R ₁/(1 + i) + R ₂/(1 + i)² + R ₃/(1 + i)³ +…+ R_{n – 2}/(1 + i) ^{n – 2} +

+ R_{n – 1}/(1 + i) ^{n – 1} + R_n /(1 + i) ⁿ, или

. (65)

Современная величина ренты или потока платежей представляет собой ее оценку в виде некоторой величины, приуроченной к некоторому предшествующему моменту времени. Наращенная сумма является также обобщением потока в виде одного числа, но приуроченного к концу срока. Понятно, что между этими величинами должна существовать определенная зависимость. В самом деле, продисконтировав сумму S с помощью дисконтного множителя vⁿ, получим

Соответственно, наращивая сумму А по ставке i, получим

A (1 + i) ⁿ = S. (66)

Пример 45.

По данным предыдущего задания определить современную стоимость потока платежей.

Дано: R = 50 д.е. i = 10% n = 3 года	Решение: Согласно (65) получаем:
А -?

Графическая иллюстрация

А R₁ = 50 R₂ = 50 R₃ = 50

 

0 1 2 3

 

дисконтирование

 

дисконтирование

 

дисконтирование

Проверим условием (66): S = А ∙ (1 + i)³ = 124,33 ∙ (1 + 0,1)³ = 165,5 д.е., что и требовалось доказать.