Срок ссуды и формулы удвоения

Различия в процессах наращения исходной суммы по простым и сложным процентам наиболее четко проявляются в периодах, приводящих к удвоению, утроению и т.д. или конкретному росту исходной суммы депозита, кредита.

Представим множители наращения:

- для простых процентов (1 + n∙l) = N раз

Отсюда, (29)

- для сложных процентов (1 + l)ⁿ = N раз

Отсюда, (30)

Проследим изменения периода удвоения исходной суммы депозита.

По простым процентам из (28) (31)

По сложным процентам из (29) (32)

Исходные ставки и результаты расчетов представим в таблице 6

 

Таблица 6

Процентная ставка	Число лет «n» для удвоения исходной суммы
Простые проценты	Сложные проценты	Во ск. раз «N» по простым больше «N» по сложным
	16,7 8,3 5,0 3,3 2,5	17,7 11,9 6,12 3,0 2,64 2,06	1,4124 1,4033 1,3562 1,3158 1,25 1,21

 

По результатам табл. 6 можно сделать следующие выводы:

1. Удвоение суммы вклада по сложным процентам происходит быстрее, чем по простым.

2. При увеличении процентной ставки разрыв во времени периода удвоения сокращается.

 

 

Номинальная и эффективная ставки

НОМИНАЛЬНАЯ СТАВКА

В современных условиях проценты капитализируются обычно не один, а несколько раз в году – по полугодиям, поквартально, помесячно, ежедневно или непрерывно.

В этом случае можно воспользоваться основной формулой наращения по сложным процентам, считая, что n – это число периодов наращения, а под ставкой i следует понимать ставку наращения за один период.

Например, при поквартальном начислении процентов по квартальной сложной ставке процентов – 8% в течение 5 лет число периодов начисления n составит 5 X 4 = 20. Тогда множитель наращения (1 + i) ⁿ равен (1 + 0,08)²⁰ = 4,6609. На практике, как правило, в контракте или договоре фиксируется не ставка за период, а годовая ставка, одновременно указывается и число периодов начисления.

Пусть годовая ставка равна j, а число периодов начисления процентов в году – m. Таким образом, каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной ставкой. При этом формула наращения выглядит следующим образом:

, (33)

где N – общее количество периодов начисления (N = n∙m).

Из этой формулы видно, что чем чаще начисляются проценты, тем больше накопленная сумма, т.е. тем быстрее идет процесс наращения.

Возьмем для примера ставку процентов 12% годовых, денежную сумму в 1 д.е. и относительно года m = 1, 2,4 (ежеквартально), 12 (ежемесячно), тогда FV, согласно (1.9) составит соответственно:

 

Капитализация (число раз в году начисления процентов)	Наращенная за год стоимость суммы в 1 д.е.
	1,1200 1,1236 1,1255 1,1268

Пример 21.

Клиент внес в банк депозит 10 млн. руб. В заключенном договоре указывается, что банк производит поквартальное начисление и капитализацию процентов. Срок депозита три года. Номинальная процентная ставка 60%.

Дано: Решение:

Р = 10 млн.руб. Находим общее количество периодов наращения:

m = 4 n ∙ m = 3 ∙ 4 = 12

n = 3 Определяем наращенную стоимость:

j = 60%

S -?

Представим, что в рассматриваемой ситуации проценты начисляются и капитализируются ежемесячно, а не ежеквартально, т.е. N = 12 ∙ 3 = 36

Определяем наращенную стоимость:

Результаты показывают, что ежемесячное начисление процентов за три года и их капитализация по сравнению с ежеквартальным дает дополнительный пророст депозита:

∆S = 57,918 – 53,502 = 4,416 млн.руб.

или около 44% исходной суммы (4,4: 10).

ЭФФЕКТИВНАЯ СТАВКА

Введем теперь новое понятие – эффективную (действительную) ставку процента, под которой понимают ту реальную прибыль, которую получают от одной денежной единицы в год. Иначе говоря, эффективная ставка (т.е. такая ставка, по которой проценты начисляются один раз в год) эквивалентна (дает такое же наращение) номинальной ставке при начислении процентов m раз в год. Или эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m -разовое начисление процентов по ставке j.

Обозначим эффективную ставку через i. По определению множители наращения по двум видам ставок (эффективной и номинальной при m -разовом начислении) должны быть равны друг другу:

(1 + i) ⁿ = (1 + j/m) ^m∙n,

откуда

i = (1 + j/m) ^m – 1 (34)

и . (35)

Как видим, эффективная ставка при m > 1 больше номинальной, при m = 1 – i = j.

Замена в договоре номинальной ставки j при m -разовом начислении процентов на эффективную ставку i не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон.

 

Пример 22.

Банк начисляет проценты по номинальной ставке 40% годовых. Тогда эффективная годовая ставка при ежемесячном начислении и капитализации процентов. Другой банк предлагает ставку 48,16% годовых при начислении процентов один раз в год. Имеются ли преимущества в финансовом отношении у рассматриваемых вариантов сделки?

Чтобы ответить на этот вопрос, находим наращенную стоимость при ежемесячном начислении и капитализации процентов (33):

Определяем наращенную стоимость при ежегодном начислении и капитализации процентов:

S = 20 (1 + 0,4816)² = 43,9 тыс. руб.

Можно сделать вывод, что номинальная ставка 40% годовых при ежемесячном начислении и капитализации процентов и эффективная ставка 48,6% годовых при ежегодном начислении и капитализации процентов обеспечивают финансовую эквивалентность сделки или одинаковые финансовые последствия.

 

 

Пример 23.

По вкладу А проценты начисляются один раз в год исходя из 10,2% годовых. По вкладу Б обслуживание осуществляется по полугодиям исходя из 10% годовых. Сравним доходности размещения средств.

Дано: Решение:

A: i = 10,2% годовых => i_Б = (1 + j/m)^m – 1 = (1 + 0,05)² = 0,1025

m = 1 i_Б = 10,25% годовых

Б: j = 10% годовых i_Б > i_A

m = 2

j: m = 5%

(ставка за процентный период)