Ставка наращения и учетная ставка.

Эквивалентные ставки

Как видно из предыдущих разделов, и ставка наращения, и учетная ставка применяются для решения сходных задач. Однако для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной – дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная – в наращении.

 

Ставки Прямая задача Обратная задача

i S = P (1 + n∙i) P = S /(1 + n∙i)

d P = S (1 – n∙d) S = P /(1 – n∙d)

 

Однако дисконтирование по процентной ставке и учетной ставке приводит к различным результатам, даже если i = d. То есть при банковском дисконтировании владелец векселя получит меньшую сумму, чем при использовании математического дисконтирования. Это является следствием того, что учетная ставка отражает фактор времени более жестко.

Так, из формулы (13) следует, что при n >1/ d величина дисконтного множителя и, следовательно, суммы P станет отрицательной. Иначе говоря, при относительно большом сроке векселя учет может привести к нулевой или даже отрицательной сумме P, что лишено смысла. Например, при d = 20% уже пятилетний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Влияние фактора времени усиливается при увеличении величины ставки. Так, при d = 100% отрицательный результат проявится уже при n >1. Такая ситуация не возникает при математическом дисконтировании: при любом сроке современная величина платежа здесь больше нуля. Для иллюстрации сказанного на рис. 8 и в табл. 2 приведены дисконтные множители (ДМ), когда i = d = 20%.

Сравнивая формулы (1) и (13) легко понять, что учетная ставка дает более быстрый рост суммы задолженности, чем такой же величины ставка наращения. Множители наращения (МН) для двух видов ставок при условии, что i = d = 20%, показаны на рис. 9 и в табл. 3.

ДM MH

 

 

 

Рис. 8. Величина дисконтного Рис. 9. Величина множителя

множителя наращения

 

Таблица 2

Дисконтные множители, i = d = 20%

Ставка	n
1/12	1/4	1/2
i d	0,9836 0,9833	0,9524 0,9500	0,9091 0,9000	0,8333 0,8000	0,7143 0,6000	0,3333 ¾

 

Таблица 3

Множители наращения, i = d = 20%

Вид ставки	n
1/12	1/4	1/2
i d	1,0167 1,0169	1,0500 1,0526	1,1000 1,1111	1,2000 1,2500	1,4000 1,6667	¾

 

Выбор конкретного вида ставок заметно влияет на финансовые итоги операций. Однако возможен такой подбор величины ставок, при котором результаты будут равноценными. Для одних и тех же значений i и d из формул (12) и (13) можно записать:

, (20)

откуда i = d /(1 – n∙d) , (21)

d = i /(1 + n∙i) . (22)

 

В дальнейшем различные ставки, которые дают одно и то же значение наращенной суммы (при фиксированном сроке), будем называть эквивалентными ставками. Полученные эквивалентные ставки могут быть применены при сравнении доходности сделок, в которых применяются различные виды ставок. Легко заметить, что с уменьшением n различия между эквивалентными ставками i и d становятся менее ощутимыми (табл. 4).

Таблица 4

Эквивалентные ставки

Ставка %	n
0,2 (72 дн.)	0,5 (180 дн.)
d i	10,02	10,05	11,11	12,50	14,28	20,0

 

Пример 17.

 

Коммерческий дисконтный вексель со сроком погашения 30.06 учитывается за 18 дней до срока по учетной ставке – 10%. Определить эквивалентную ставку простых процентов.

 

Дано: Решение:

 

d = 10%

t = 18 дн.

к = 360 дн.

i -?

Р d = 10% S

 

 

n = 18 дн.; i -?

 

Используя выражение (21) получим: