Раздел 1. Простые и сложные проценты

1.1. Время как фактор в финансовых расчетах.

Виды процентных ставок

 

В практике финансовых расчетов суммы денег вне зависимости от их назначения или происхождения, так или иначе, но обязательно связываются конкретными моментами времени.

 

Необходимость учета временного фактора вытекает из сущности финансирования и кредитования и выражается в принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Вполне понятно, что 1000 руб., полученные через 5 лет, неравноценны этой же сумме, поступившей сегодня. Отмеченная неравноценность двух одинаковых по абсолютной величине сумм связана, прежде всего, с тем, что имеющиеся сегодня деньги теоретически могут быть инвестированы и принести доход в будущем.

 

Под процентными деньгами или, кратко процентами, понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме.

 

При заключении финансового или кредитного соглашения стороны договариваются о величине процентной ставки. Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени, т.е. отношение дохода (процентов) к сумме долга за единицу времени.

 

Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления.

 

Проценты могут выплачиваться по мере их начисления или присоединяться к основной сумме долга. Процесс увеличения суммы денег называется наращением, или ростом этой суммы.

 

Процентная ставка применяется и в более широком смысле – как измеритель степени доходности (эффективность) любой финансовой операции.

 

Видов процентных ставок достаточно много, так как и различных видов сделок тоже множество и они могут классифицироваться по базе начислений, по принципу расчета, по размеру и т.д. Эти виды ставок будут рассмотрены в дальнейшем.

 

1.2. Простые проценты

 

В случае если проценты за полученную ссуду определяются исходя из первоначальной суммы долга, проценты называются простыми. Каждый раз при начислении таких процентов в качестве базы берется одна и та же сумма. Начисленные за соответствующие периоды проценты выплачиваются кредитору или присоединяются к сумме долга. Для записи формулы наращения по простым процентам введем обозначения:

 

I – проценты за весь срок займа;

Р – первоначальная сумма долга (вклада);

i – ставка процента (десятичная дробь);

n – число периодов начисления (срок вклада);

S – наращенная (накопленная) сумма.

 

Рис. 1. Схема начисления процентов

Начисленные проценты за один период времени равны P·i и за n периодов – P·n·i. Процесс изменения суммы долга с начисленными процентами описывается арифметической прогрессией P, P + P·i, P + 2P·i и т. д. Сумма, образовавшаяся к концу срока (обозначим ее как S) состоит из двух элементов – первоначальной суммы долга и процентов:

 

S = P + I = P + P·n·i = P(1 + n·i). (1)

 

Величину S называют наращенной суммой платежа (долга), формулу (1) – формулой наращения по простым процентам, а множитель (1 + n·i) – множителем наращения. График роста по простым процентам представлен на рис. 2.

 

 

Формула (1) связывает функциональной зависимостью четыре величины: S, P, n, i. Решив ее относительно n и i, соответственно получим:

 

n=(S–P)/P·i,	(2)
i=(S–P)/P·n.	(3)

 

 

Рассмотрим примеры решения задач.

 

Пример 1.

Кредит в размере 100 тыс. руб. выдан на 2 года под 10% годовых. Определим подлежащую возврату сумму, если простой процент начисляется за каждый год, а долг гасится единовременным платежом.

Дано: Решение:

Р = 100 т.р. Представим задачу графически:

n = 2 г.

S =?

i = 10 %

S -?

 

P= 100 т.р.

S=?

наращение

 

	i = 10%; n = 2 г.

 

0 1 2

 

Используя формулу (1) получим: S = P (1 + in) =

100 (1 + 0,1 х 2) = 120 т.р.

Пример 2.

Кредит в размере 100 т.р. выдан под 10% годовых. Возвращаемая сумма равна 120 тыс. руб. Определить срок вклада.

Дано: Решение:

Р = 100 т.р. Представим задачу графически:

i = 10 %

S = 120 т.р.

n -?

 

S= 120 т.р.

P= 100 т.р.

наращение

 

 

0 n

 

Используя формулу (2) получим: (года)

 

Пример 3.

Кредит в 100 т.р. выдан на 2 года. Определить процентную ставку, если возвращаемая сумма составила 120 тыс. руб.

Дано: Решение:

 

P = 100 т.р. Представим задачу графически:

S = 120 т.р.

n = 2 г.

 

i -?

 

 

S= 120 т.р.

P= 100 т.р.

наращение

 

 

 

0 1 2

 

Используя формулу (3) получим: или 10%

 

Пример 4.

 

Кредит выдан на 2 года под 10 % годовых. Определить первоначальную сумму кредита, если возвращаемая сумма равна 120 тыс. руб.

Дано: Решение:

 

S = 120 т.р. Представим задачу графически:

i = 10 %

n = 2 г.

Р -?

 

S= 120т.р.

P=?

наращение

 

0 1 2

 

 

Эта задача является обратной по отношению к задаче из примера 1 (по заданной накопленной сумме найти первоначальную). Из выражения (1) следует:

 

S = P (1 + in) и P = S / (1 + in)

тыс. руб.

 

 

ПЕРЕМЕННЫЕ СТАВКИ

В коммерческих сделках иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. В этом случае наращенная сумма определяется следующим образом:

S = P (1 + n 1 ·i 1 + n 2 ·i 2 + … + nm·im) = P (1 + ),

(4)

где i_k – ставка простых процентов для периода ;

n_k – продолжительность периода.

 

Графическая схема наращения по переменным ставкам приведена на рис. 3.

 

 

Пример 5.

Соглашение промышленного предприятия с банком предусматривает выдачу кредита в 10 млн. руб. на 5 лет по базовой процентной ставке в 10%. За второй и третий годы ставка последовательно увеличивается на 2%; за четвертый год – на 5%, но относительно к базовой, а за пятый год ставка увеличивается каждый квартал на 1% по отношению к ставке за четвертый год. Определить возвращаемую сумму.

 

Дано: Решение:

 

Р = 10 млн.р. Определяем величину процентных

n = 5 лет ставок:

i_m – изменяю-

щаяся ставка

S -?

 

i₁ = 10%; i₂ = 10 + 2 = 12%; i₃ = 12 + 2 = 14%; i₄ = 10 + 5 = 15%; i₅ = 15 + 1 = 16%; i₆ = 16 + 1 = 17%; i₇ = 17 + 1 = 18%; i₈ = 18 + 1 = = 19%,

 

тогда, согласно формуле (4) получим:

 

S = 10(1+1 · 0,1+1 · 0,12+1 · 0,14+1 · 0,15+1/4 · 0,16+1/4 · 0,17+1/4 · 0,18+

+1/4 · 0,19) = 10 · 1,685 = 16,85 (млн. руб.)

 

 

	P = 10млн. руб.		S =?

наращение

 

i5 i6 i7

n = 5

 

 

 

Реинвестирование

В практике инвестирования средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах общего заданного срока, т.е. реинвестированию полученных на каждом этапе наращения средств. Рассмотрим этот процесс подробнее (для упрощения примем, что процентные ставки и величина периода наращения не меняются). Графическая иллюстрация процесса реинвестирования приведена на рис.

Обозначим первоначальную сумму депозита (вклада и т.п.) через «Р₁ », процентную ставку через «i » и срок через «n ».

- для первого периода наращения получим (рис.)

 

S₁ = P₁ + I₁ = P₁ + P₁ · i = P₁ · (1 + i)

 

- для второго периода наращения (рис.) наращенная за первый период сумма S₁ принимается равной первоначальной сумме депозита за второй период, т.е. S₁ = Р₂, тогда наращенная сумма за второй период определяется как:

 

S₂ = S₁ + I₂ = P₁ · (1 + i) + S₁ · i

 

или

 

S₂ = P₁ · (1 + i) + [ P₁ · (1 + i)] · i = P₁ · (1 + i)²

 

Эта сумма принимается за первоначальную сумму на третьем периоде наращения и т.д.

 

- для n -ого периода получаем аналогично

 

S_n = P₁ · (1 + i) ⁿ (5)

 

Возвращаясь к принятым обозначениям это выражение можно переписать:

 

S = P · (1 + i * n) ^m, где m – количество реинвестиций.

 

В общем случае наращения сумма будет рассматриваться:

S = P · (1+ i₁ · n₁) · (1+ i₂ · n₂) · (1+ i₃ · n₃) · … · P · (1+ i_m · n_m), (6)

где m – количество реинвестиций

 

Рассмотрим пример:

 

 

S₁ = P₁ + I₁ = P₁ + P₁ · i = P₁ · (1 + i) = P₂

 

 

 

а) после первого периода наращения

 

P2 = S1

S₂ = P₃ = P₁ · (1 + i)²

 

 

 

 

б) после второго периода наращения

 

n

Sn-1 = Pn

S_n = P₁ · (1 + i)ⁿ

 

		In = Sn-1 · i = Pn · i
	n-1

 

в) после n-го периода наращения

 

Рис. 4 Процесс реинвестирования

 

 

Рис. 5 Схема реинвестирования средств

Пример 6.

 

Сумма 100 тыс. руб. вложена на один квартал с ежемесячным реинвестированием. Рассчитать накопленную сумму, если месячная ставка соответственно 10%, 15%, 20%.

 

Дано: Решение:

 

Р = 100 тыс. руб. Представим задачу в графической форме:

n – один квартал

m – 3

i₁ = 10%

i₂ = 15%

i₃ = 20%

 

S -?

 

	P = 100 т.р.		S =?

 

 

0 1 м 2 м 3 м

1 кв

 

S = 100 · (1 + 1 · 0,1)(1 + 1 · 0,15)(1 + 1 · 0,2) = 100 · 1,1 · 1,15 · 1,2 =

= 100 · 1,518 = 151,8 тыс. руб.