Вычисление наращенных сумм на основе простых процентных ставок

По условиям кредитного контракта начисленные проценты могут выплачиваться кредитору или по мере их начисления в каждом периоде, или совместно с основной суммой долга по истечении срока контракта.

В последнем случае сумма, получаемая кредитором называется наращенной суммой.

Наращенная сумма с использованием простых процентов рассчитывается:

S = P + I = P + P*n*i = P* (1+n*i), (4)

где (1+n*i) – множитель наращения простых процентов.

При использовании простых процентов, когда срок финансовой сделки не равен целому числу лет, периоды начисления процентов выражают дробным числом как отношение числа дней функционирования сделки к числу дней в году:

n = ,

где t – число дней функционирования сделки (число дней, на которое предоставили кредит);

К – временная база (число дней в году).

В этом случае формула (4) примет вид:

S = P + I = P*(1+ ). (5)

В ряде стран для удобства вычислений год делится на 12 месяцев, по 30 дней в каждом, т.е. продолжительность года (К) принимается равной 360 дням. Это так называемая германская практика. Проценты, рассчитанные с временной базой К = 360 дней, называются обыкновенными или коммерческими (обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды).

Существует французская практика, когда продолжительность года принимается равной 360 дням, а продолжительность месяцев в днях соответствует календарному исчислению. Такой метод начисления процентов называют обыкновенными процентами с точным числом дней ссуды.

В ряде стран используется также английская практика, учитывающая продолжительность года в 365 дней, а продолжительность месяцев – в днях, также соответствующих календарному исчислению (точные проценты с точным числом дней ссуды).

В этой связи различают три метода процентных расчетов, которые зависят от выбранного периода начисления.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды («англий­ская практика»). При этом методе определяется фактическое число дней (t) между двумя датами (датой получения и погашения кредита), продолжительность года принимается равной К= 365 (366) дней. В этом случае применяется обозначение 365/365.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды («фран­цузская практика»); величина t рассчитывается, как и в преды­дущем случае. В этом случае применяется обозначение 365/360.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды («германская практика»); величина t определяется коли­чеством месяцев по 30 дней в каждом начиная с момента выдачи ссуды и до момента ее погашения и точным числом дней ссуды в неполном месяце; продолжительность года К = 360 дней. В этом случае применяется обозначение 360/360.

При точном и приближенном методах начисления процентов день выдачи и день погашения ссуды принимаются за 1 день.

Задача 3.

Банк выдал районной администрации ссуду в размере 4.0 млн. руб. сроком на 2 года по ставке простых процентов, равной 11% годовых. Определите проценты и сумму накопленного долга (наращенную сумму).

Задача 4.

Банк выдал кредит 18 января в размере 500,0 тыс. руб. Срок возврата кредита – 3 марта; процентная ставка – 12,0% годовых; год не високосный. Определите сумму долга, подлежащую возврату. Рассчитайте ее тремя методами.

 

Между величинами процентного дохода, рассчитанными с ис­пользованием различной временной базы (I₃₆₀ и I₃₆₅), при рав­ном числе дней ссуды (t) существуют следующие соотношения:

и . (6)

Данные соотношения характеризуют зависимость величины процентного дохода от выбранной временной базы. По данным предыдущего примера

I₃₆₀ = 507,33 - 500 = 7,33 тыс. руб.; I₃₆₅ = 7,23 тыс. руб.;

и

Эти соотношения также могут быть использованы при определении эквивалентных процентных ставок, т.е. ставок, приносящих одинаковые процентные доходы при различных временных базах, но равных первоначальных капиталах:

i₃₆₀ = 0,9863*i₃₆₅;

i₃₆₅ = 1.01388*i₃₆₀.

{ Выдана ссуда в размере 500,0 тыс. руб. на 15 дней по ставке 12% годовых, при К = 360 дней. Определите наращенную сумму и процентный доход, а также величину процентной ставки, обеспечивающей такой же процентный доход при временной базе К = 365 дней.

S = 500*(1+15/360*0,12)=502,5 тыс. руб.

I = 2,5 тыс. руб.

i₃₆₅ = 1,01388*0,12 = 0,1216656

Проверим это вычисление:

S = 500*(1+15/365*0,1216656) = 502,5 тыс. руб.}

При заключении кредитного соглашения может быть установлена постоянная на весь период процентная ставка или изменяющаяся (переменная) процентная ставка.

При установлении переменной процентной ставки, т.е. дис­кретно изменяющейся во времени ставки, наращенная сумма определяется по формуле:

S = P*(1+n₁*i₁+ n₂*i₂+…+ n_t*i_t) = P*(1+ ),

где i_t – ставка простых процентов в периоде t;

n_t – продолжительность начисления ставки i_t;

m – число периодов начисления процентов.

Наряду с рассмотренным методом процентных начислений иногда прибегают к начислению процентов на уже наращенные в предыдущем периоде суммы, когда происходит многоразовое наращение, именуемое реинвестированием или капитализацией процентного дохода.

В этом случае итоговая наращенная сумма определяется по формуле:

S = P *(1+ n₁*i₁)*(1+ n₂*i₂)*…*(1+ n_t*i_t),

n₁, n₂,…, n_t – продолжительность периодов наращения;

i₁,i₂,…,i_t – процентные ставки, по которым производится реинвестирование.

{ Задача 1. Банк предлагает вкладчикам следующие условия по срочному годовому депозиту: в первое полугодие процентная став­ка 12,0% годовых, каждый следующий квартал ставка возрастает на 0,5%. Проценты начисляются только на первоначально внесенную сумму вклада. Определите наращенную за год сумму, если вкладчик поместил в банк на этих условиях 400,0 тыс. руб.

Задача 2.

Клиент поместил в банк 500,0 тыс. руб. Какова будет наращенная за 3 месяца сумма вклада, если за первый месяц на­числяются проценты в размере 15% годовых, а каждый последующий месяц процентная ставка возрастает на 1,5% с одновременной ка­питализацией процентного дохода?