Алгоритм схемы простых процентов

 

А) алгоритм с применение годовой процентной ставки .

В формулу

подставим

получим

.

Решив последнее равенство относительно , получим формулу наращения по схеме простых процентов с применением годовой ставки процентов:

. (1)

Разрешив формулу (1) относительно , получим формулу математического дисконтирования по схеме простых процентов:

. (2)

Проценты равны

. (3)

Замечание.

Формулу (3) можно записать в виде

,

где дивизор, процентное число.

 

В) алгоритм с применением годовой учетной ставки .

 

В формулу

подставим

и получим равенство

,

которое разрешим относительно и получим формулу наращения по схеме простых процентов с применением учетной ставки:

. (4)

Разрешив равенство (4) относительно , получим формулу дисконтирования по схеме простых процентов с применением процентной учетной ставки:

. (5)

В формулах (4) и (5) должно быть , что накладывает ограничение на период кредитования при заданном значении учетной ставки , а именно:

. (6)

т. е. учётная ставка более жёстко отражает фактор времени.

Замечание.

1. Условимся в дальнейших формулах вместо писать просто . Например, формулу (1) теперь запишем в виде:

.

2. Расчеты по формуле (5) называют банковским дисконтированием (банковским учётом), поскольку они применяются банками при операции учёта векселей. Вексель – письменное безусловное обязательство векселедателя (заёмщика) уплатить в установленный срок определённую сумму предъявителю векселя или лицу, указанному в векселе.

 

Расчёт процентов при изменяющейся сумме вклада на счёте

 

На рис. 3 показан график изменения суммы вклада на счёте, где сумма вклада, хранящаяся неизменной в течение интервала времени .

Если проценты за период не капитализируются, т. е. не присоединяются к сумме вклада, то согласно формуле (3) проценты за этот период равны

. (7)

Суммируя по всем периодам, получаем общую сумму процентов по вкладу:

. (8)

Полученный результат можно очевидным образом обобщить на произвольное число периодов срока хранения вклада на счёте.

Замечание.

Рассмотренный пример показывает, что в схеме простых процентов начисление процентов производится по периодам, в течение которых исходная сумма денежных средств не изменяется.

 

Наращение по схеме простых процентов при переменной ставке

Наличие инфляции заставляет варьировать процентную ставку . В соглашениях оговаривают плавающую процентную ставку

,

где база (норма) процента, маржа (margin) равная примерно . Пусть процентная ставка на интервале времени . Тогда наращенная сумма равна

. (9)

Если общий срок предоставления ссуды равен , то взвешенная средняя процентная ставка

, (10)

наращенная сумма

. (11)

 

Наращение с капитализацией (реинвестированием) процентов

 

Пусть срок ссуды разбит на периодов длительностью , , и процентной ставкой в периоде .

В первом периоде наращенная сумма процентов составила

и эти проценты были присоединены к основной сумме . Таким образом, в следующем периоде наращение производится на сумму

.

Это в конце второго периода даст сумму процентов

,

а наращенная сумма за два периода будет равна

.

Обобщая на все периодов, получим формулу наращения

. (12)

Важным является частный случай, когда все интервалы времени равны, т. е. , и равны процентные ставки: . Тогда формула (12) принимает вид:

. (13)

Замечание.

Формула (13) приводит нас к схеме сложных процентов.

 

Факторный учёт векселя

 

Рассмотрим диаграмму, которая наглядно показывает составляющие схему учёта банком векселя (рис. 4) Заёмщик решил взять кредит на сумму на срок по процентной ставке . Им был выписан вексель на сумму к моменту погашению. Эта сумма была вычислена по схеме простых процентов:

.

По истечении некоторого времени владелец векселя принял решение учесть в банке (продать банку и получить наличными или положить на счёт для дальнейшего использования). Время до момента погашения векселя равно выбирается им в соответствии с выполнением неравенства (6):

,

 

 

где учётная ставка, которую предложил банк владельцу векселя. На момент учёта векселя наращенная стоимость

.

Однако, банк, оказывая услугу по учёту векселя, желает получить комиссионные и проценты , которые в сумме составляют дисконт (скидку) с суммы . По этому на руки владелец векселя получит сумму

.

При этом . Комиссионные за услугу составят

.