Определение срока ссуды и величины ставки

 

При практических финансовых вычислениях часто решаются простые задачи:

а) даны ; определить период предоставления ссуды :

; (14)

б) даны ; определить ставки:

. (15)

 

Вычисление средних значений

Предоставляя многочисленные кредиты с различными параметрами, кредитор желает знать средние значения ставок, периодов предоставления кредита. Эти параметры являются статистическими значениями, вычисляемыми по совокупности конкретных финансовых сделок.

Пусть , , совокупность долгов с декурсивными процентами, а среднее время предоставления совокупной ссуды , средняя процентная ставка.

Для вычисления средних значений требуется учесть интересы кредиторов и заёмщиков. Для этих целей составляются финансовые соотношения, имеющие смысл уравнений и называемые финансовыми эквивалентами. В данном случае составляется финансовый эквивалент:

(16)

или

.

Поскольку , то получаем равенство для процентов

, (17)

из которого следует

. (18)

Если ввести взвешенную среднюю арифметическую процентную ставку

, (19)

то среднее время предоставления ссуды составит

. (20)

Формула (20) определяет среднее время предоставления ссуды в виде взвешенной средней арифметической частных периодов.

Если ввести взвешенную среднюю арифметическую процентную ставку

, (21)

то среде время предоставления ссуды составит

. (22)

Пусть теперь , , долги с антисипативными (сразу удерживаемыми) процентами, т.е. сумма к выдаче составляет

.

Пусть клиент хочет получить ссуду на срок под среднюю учетную ставку . В этом случае финансовый эквивалент

(23)

или при условии получим, что

. (24)

Если положить, что среднее значение учетной ставки

, (25)

то среднее значение срока предоставления ссуды

. (26)

Если теперь положить

, (27)

то

. (28)

Сравнивая формулы (17 – 22) с соответствующими формулами (23 – 28), замечаем, что они являются симметричными, т.е. получаются заменой Р на F и r на d.

 

Замена платежей и их консолидация

 

 

При замене параметров платежей или их консолидации (несколько платежей объединяются в один) формируется финансовый эквивалент, включающий суммы, приведенные к одному и тому же моменту времени. Он имеет форму:

Поскольку финансовый эквивалент представляет собой одно равенство с несколькими параметрами, в частности, следует определить либо новую сумму платежей , либо новый срок платежа, то это равенство дисконтированных сумм:

(29)

при применении процентной ставки;

(30)

при применении учётной ставки.

Если в новом соглашении положить , то новый срок определяется как

(31)

при применении процентной ставки;

(32)

при применении учётной ставки.

Для случая более простой ситуации, когда параметры одного платежа заменяются новыми значениями, можно рассуждать так:

а) при отдалении срока платежа наращиваются проценты:

, , (33)

при применении процентной ставки;

б) при сокращении срока платежа, т. е. , надо сумму математически дисконтировать на срок :

. (34)

 

Сложные проценты

 

Наращение сложных процентов

 

Для поощрения долгосрочных вкладов клиентов применяют процедуру капитализации процентов, т. е. присоединение начисленных процентов к базе и в дальнейшем начисление процентов на эту сумму. Такая схема процентов называется схемой сложных процентов.

Наиболее простой вид алгоритма наращения по схеме сложных процентов получим, если в формуле (13) положим :

, . (35)

В общем случае в формуле (35) число положительное вещественное число (целое или дробное). Так, если целое число, то наращенная сумма за годовых периодов при начальной сумме ссуды при процентной ставке . Множитель называется множителем наращения.

Поучаемые проценты

. (36)

Если периодов начисления с капитализацией процентов произвольны, но исчисляется каждый целым числом лет и годовая ставка процентов переменная, то наращенная сумма

, , (37)

.

Замечание.

Отвечая на вопрос «Чему равно , чтобы удвоить первоначальную сумму , т. е. получить ?», получим:

Ø по схеме простых процентов ;

Ø по схеме сложных процентов .

 

Смешанная схема процентов

 

Сравнение процессов наращения по схеме простых процентов со схемой сложных процентов показывает, что на временном интервале до 1 года наращенная сумма по схеме простых процентов оказывается больше. Отсюда вывод: кредитор применяет схему сложных процентов на интервалах более 1 года, а простую – на интервалах до 1 года.

Если нецелое число лет, то представим его в виде суммы целой и дробной частей:

.

Тогда исчисление наращенной суммы по формуле

(38)

называют смешанной схемойсложных процентов.