Кафедра математических и естественных наук

Кафедра математических и естественных наук

 

 

 

Клюжев Н.А., Ганго С.Е.

 

 

Основы финансовых вычислений

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Для всех специальностей

Псков

 

 

Оглавление

 

 

1.	Время как фактор стоимости…………………………………….
2.	Операции наращения и дисконтирования………………………
3.	Простые проценты………………………………………………..
3.1	Годовая процентная ставка и годовая учётная ставка……………………..
3.2.	Алгоритм схемы простых процентов……………………………………….
3.3.	Расчёт процентов при изменяющейся сумме вклада на счёте…………….
3.4.	Наращение по схеме простых процентов при переменной ставке………..
3.5.	Наращение с капитализацией (реинвестированием) процентов………….
3.6.	Факторный учёт векселя………………………………………………………….
3.7.	Определение срока ссуды и величины ставки………………………………….
3.8.	Вычисление средних значений………………………………………………………
3.9.	Замена платежей и их консолидация…………………………………………….
4.	Сложные проценты……………………………………………….
4.1.	Наращение сложных процентов………………………………………………….
4.2.	Смешанная схема процентов……………………………………………………..
4.3.	Внутригодовые процентные начисления……………………………………….
4.4.	Эффективная годовая процентная ставка…………………………………….
4.5.	Дисконтирование по сложной процентной ставке…………………………..
4.6.	Сложная учётная ставка………………………………………………………….
4.7.	Эффективная учётная ставка……………………………………………………
4.8.	Наращение сложными процентами по учётной ставке…………………….
4.9.	Замена платежей и сроков их выплат………………………………………….
5.	Эквивалентность простых и сложных ставок
6.	Денежные потоки…………………………………………………………
6.1.	Виды денежных потоков и задачи их анализа…………………………………
6.2.	Аннуитет (финансовая рента)……………………………………………………
6.3.	Оценка аннуитета…………………………………………………………………..
6.3.1.	Прямая задача: наращенный денежный поток……………………………….
6.3.2.	Обратная задача: дисконтированный денежный поток……………………
6.3.3.	Бессрочный аннуитет (вечная рента)…………………………………………..

 

ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

(конспект лекций)

 

Государственные образовательные стандарты для специалистов в области экономики в обязательном порядке содержат тему, посвященную основам финансовых вычислений. В данном конспекте этой темы изложены основные расчетные схемы: простые и сложные проценты, замену платежей и их сроков, денежные потоки.

 

Время как фактор стоимости

 

Переход в России к рыночной экономике позволил:

Ø упразднить ряд ограничений, например, на нормирование на предприятии оборотных средств, что служило основным регулятором величины его финансовых ресурсов;

Ø изменить порядок исчисления финансовых результатов деятельности предприятия и распределения прибыли, что ведет к появлению свободных денежных средств;

Ø производить переоценку роли финансовых роли финансовых ресурсов, что равносильно требованию грамотно ими управлять по видам, начислению, по времени и т.п.;

Ø использовать принципиально новые виды финансовых ресурсов, в управлении которыми решающее значение имеет временной фактор;

Ø применять новые варианты инвестирования капитала, в частности. в коммерческие банки, участвовать в рисковых предприятиях, приобретать ценные бумаги, недвижимость и т. п.

 

Итак, деньги приобрели временную ценность и причины этому в существовании временного обесценивания денежной наличности, возможность обращения денежных средств, инфляция, случайность величины доходов, оказание дополнительных услуг и т. п.

Возникла проблема: как с позиций текущего момента определить истинную цену будущих доходов?

Решение подобного рода проблем найдено в применении принципа неравноценности денег, относящихся к различным моментам времени, т. е. неправомерно суммировать денежные величины, относящиеся к различным моментам времени.

 

Простые проценты

Расчёт процентов при изменяющейся сумме вклада на счёте

 

На рис. 3 показан график изменения суммы вклада на счёте, где сумма вклада, хранящаяся неизменной в течение интервала времени .

Если проценты за период не капитализируются, т. е. не присоединяются к сумме вклада, то согласно формуле (3) проценты за этот период равны

. (7)

Суммируя по всем периодам, получаем общую сумму процентов по вкладу:

. (8)

Полученный результат можно очевидным образом обобщить на произвольное число периодов срока хранения вклада на счёте.

Замечание.

Рассмотренный пример показывает, что в схеме простых процентов начисление процентов производится по периодам, в течение которых исходная сумма денежных средств не изменяется.

 

Факторный учёт векселя

 

Рассмотрим диаграмму, которая наглядно показывает составляющие схему учёта банком векселя (рис. 4) Заёмщик решил взять кредит на сумму на срок по процентной ставке . Им был выписан вексель на сумму к моменту погашению. Эта сумма была вычислена по схеме простых процентов:

.

По истечении некоторого времени владелец векселя принял решение учесть в банке (продать банку и получить наличными или положить на счёт для дальнейшего использования). Время до момента погашения векселя равно выбирается им в соответствии с выполнением неравенства (6):

,

 

 

где учётная ставка, которую предложил банк владельцу векселя. На момент учёта векселя наращенная стоимость

.

Однако, банк, оказывая услугу по учёту векселя, желает получить комиссионные и проценты , которые в сумме составляют дисконт (скидку) с суммы . По этому на руки владелец векселя получит сумму

.

При этом . Комиссионные за услугу составят

.

Вычисление средних значений

Предоставляя многочисленные кредиты с различными параметрами, кредитор желает знать средние значения ставок, периодов предоставления кредита. Эти параметры являются статистическими значениями, вычисляемыми по совокупности конкретных финансовых сделок.

Пусть , , совокупность долгов с декурсивными процентами, а среднее время предоставления совокупной ссуды , средняя процентная ставка.

Для вычисления средних значений требуется учесть интересы кредиторов и заёмщиков. Для этих целей составляются финансовые соотношения, имеющие смысл уравнений и называемые финансовыми эквивалентами. В данном случае составляется финансовый эквивалент:

(16)

или

.

Поскольку , то получаем равенство для процентов

, (17)

из которого следует

. (18)

Если ввести взвешенную среднюю арифметическую процентную ставку

, (19)

то среднее время предоставления ссуды составит

. (20)

Формула (20) определяет среднее время предоставления ссуды в виде взвешенной средней арифметической частных периодов.

Если ввести взвешенную среднюю арифметическую процентную ставку

, (21)

то среде время предоставления ссуды составит

. (22)

Пусть теперь , , долги с антисипативными (сразу удерживаемыми) процентами, т.е. сумма к выдаче составляет

.

Пусть клиент хочет получить ссуду на срок под среднюю учетную ставку . В этом случае финансовый эквивалент

(23)

или при условии получим, что

. (24)

Если положить, что среднее значение учетной ставки

, (25)

то среднее значение срока предоставления ссуды

. (26)

Если теперь положить

, (27)

то

. (28)

Сравнивая формулы (17 – 22) с соответствующими формулами (23 – 28), замечаем, что они являются симметричными, т.е. получаются заменой Р на F и r на d.

 

Сложные проценты

 

Наращение сложных процентов

 

Для поощрения долгосрочных вкладов клиентов применяют процедуру капитализации процентов, т. е. присоединение начисленных процентов к базе и в дальнейшем начисление процентов на эту сумму. Такая схема процентов называется схемой сложных процентов.

Наиболее простой вид алгоритма наращения по схеме сложных процентов получим, если в формуле (13) положим :

, . (35)

В общем случае в формуле (35) число положительное вещественное число (целое или дробное). Так, если целое число, то наращенная сумма за годовых периодов при начальной сумме ссуды при процентной ставке . Множитель называется множителем наращения.

Поучаемые проценты

. (36)

Если периодов начисления с капитализацией процентов произвольны, но исчисляется каждый целым числом лет и годовая ставка процентов переменная, то наращенная сумма

, , (37)

.

Замечание.

Отвечая на вопрос «Чему равно , чтобы удвоить первоначальную сумму , т. е. получить ?», получим:

Ø по схеме простых процентов ;

Ø по схеме сложных процентов .

 

Смешанная схема процентов

 

Сравнение процессов наращения по схеме простых процентов со схемой сложных процентов показывает, что на временном интервале до 1 года наращенная сумма по схеме простых процентов оказывается больше. Отсюда вывод: кредитор применяет схему сложных процентов на интервалах более 1 года, а простую – на интервалах до 1 года.

Если нецелое число лет, то представим его в виде суммы целой и дробной частей:

.

Тогда исчисление наращенной суммы по формуле

(38)

называют смешанной схемойсложных процентов.

 

 

Сложная учётная ставка

 

В момент заключения финансовой сделки начисляются проценты (антисипативные проценты) на долговое обязательство со сроком погашения лет.

Пусть оно досрочно учитывается с дисконтом по сложной учетной ставке . Так за год до срока погашения процент составит

,

а продавцу долгового обязательства будет причитаться сумма .

При учёте долгового обязательства за два года до погашения процент составит

,

продавцу будет причитаться сумма

.

Таким образом, сумма продавцу за лет до срока погашения долгового обязательства составит

, (47)

а дисконт равен

. (48)

Таким образом, в момент оформления долгового обязательства на сумму будут учтены проценты в сумме (48) и продавец долгового обязательства получит сумму (47).

Если нецелое число лет, то можно применить смешанную схему учёта:

. (49)

При дисконтировании раз в год по номинальной учётной ставке

. (50)

Если количество дисконтирования в году увеличивается, то

. (51)

Если заданы , то срок до погашения долгового обязательства можно вычислить по формуле

. (52)

 

Эффективная учётная ставка

 

Так как возможны разные схемы дисконтирования сложных процентов, то знание номинальной учетной ставки не позволяет их сравнивать.

Определение. Учётнаяставка, обеспечивающая переход от суммы к текущей сумме при однократном дисконтировании процентов, называется эффективной и обозначается .

Применение эффективной ставки должно обеспечивать равносильность схем наращения:

~ .

Замечание. Чем выше учётная ставка, тем выше расходы заёмщика по обслуживанию полученной ссуды.

Из финансового эквивалента

(53)

находим размер эффективной учётной ставки

. (54)

Обратный переход выполняется по формуле

. (55)

В контрактах со смешанным способом дисконтирования процентов по известным значениям и находят эффективную учётную ставку

. (56)

 

Денежные потоки

 

Оценка аннуитета

 

Кафедра математических и естественных наук

 

 

 

Клюжев Н.А., Ганго С.Е.