Внутригодовые процентные начисления

 

Вновь вернемся к формуле (13) и запишем её в виде

, (39)

где число процентов начислений в году; годовая ставка, где указывает число начислений в год, или номинальная процентная ставка. Тогда обозначив через общее число начислений за лет, получим формулу наращения за лет сложных процентов при начислениях в год:

. (40)

 

Эффективная годовая процентная ставка

 

Так как возможны разные схемы начисления сложных процентов, то знание номинальной процентной ставки не позволяет их сравнивать.

 

Определение. Ставка, обеспечивающая переход от текущей суммы к наращенной при однократном начислении процентов, называется эффективной и обозначается .

Применение эффективной ставки должно обеспечивать равносильность схем наращения:

~ .

Замечание. Чем выше эффективная ставка, тем выше расходы заёмщика по обслуживанию полученной ссуды.

 

Примеры расчета эффективной ставки:

1) в рамках одного года верно равенство

,

из которого получаем

. (41)

В частности,

.

Обратный переход к номинальной ставке выполняется по формуле:

. (42)

Определение. Две номинальные ставки называются эквивалентными, если они дают оду и ту же эффективную ставку.

 

В контрактах со смешанным способом начисления процентов по известным значениям и находят эффективную процентную ставку

. (43)

В США используются номинальные ставки, а в Европе сначала находят эффективную ставку и далее вычисляют наращенную сумму

.

 

Дисконтирование по сложной процентной ставке

 

При решении задачи нахождения по заданному доходу текущей величины при заданной доходности и в общем случае при кратном начислении применяют формулу:

. (44)

В этом случае дисконт составляет

. (45)

При смешанной схеме применяют формулу математического дисконтирования

. (46)

 

Сложная учётная ставка

 

В момент заключения финансовой сделки начисляются проценты (антисипативные проценты) на долговое обязательство со сроком погашения лет.

Пусть оно досрочно учитывается с дисконтом по сложной учетной ставке . Так за год до срока погашения процент составит

,

а продавцу долгового обязательства будет причитаться сумма .

При учёте долгового обязательства за два года до погашения процент составит

,

продавцу будет причитаться сумма

.

Таким образом, сумма продавцу за лет до срока погашения долгового обязательства составит

, (47)

а дисконт равен

. (48)

Таким образом, в момент оформления долгового обязательства на сумму будут учтены проценты в сумме (48) и продавец долгового обязательства получит сумму (47).

Если нецелое число лет, то можно применить смешанную схему учёта:

. (49)

При дисконтировании раз в год по номинальной учётной ставке

. (50)

Если количество дисконтирования в году увеличивается, то

. (51)

Если заданы , то срок до погашения долгового обязательства можно вычислить по формуле

. (52)

 

Эффективная учётная ставка

 

Так как возможны разные схемы дисконтирования сложных процентов, то знание номинальной учетной ставки не позволяет их сравнивать.

Определение. Учётнаяставка, обеспечивающая переход от суммы к текущей сумме при однократном дисконтировании процентов, называется эффективной и обозначается .

Применение эффективной ставки должно обеспечивать равносильность схем наращения:

~ .

Замечание. Чем выше учётная ставка, тем выше расходы заёмщика по обслуживанию полученной ссуды.

Из финансового эквивалента

(53)

находим размер эффективной учётной ставки

. (54)

Обратный переход выполняется по формуле

. (55)

В контрактах со смешанным способом дисконтирования процентов по известным значениям и находят эффективную учётную ставку

. (56)

 

Наращение сложными процентами по учётной ставке

 

 

В общем случае формула наращения сложными процентами по учётной ставке имеет вид:

. (57)

Сравнение наращений по процентной ставке с наращениями по учётной ставке даёт ответ: наращение по учётной ставке происходит более значительно.

Если в обязательстве применялись плавающие учётные ставки, то

, (58)

где , а средняя учётная ставка

. (59)