Учет по простым и сложным процентам

1. Основные понятия, которые используются в процентных вычислениях.

P – первоначальная сумма долга - приведенная стоимость денежного потока;

Á – сумма процентов, начисленных за все периоды использования займа, ссуды;

i – процентная ставка;

n – число периодов начисления процентов;

S – наращенная сумма долга, будущая стоимость инвестиции.

Простые проценты используются, как правило. Для займов, выданных на срок не более года.

В случае простых процентов сумма начисленных процентов за весь срок займа определяется:

, i – в виде десятичной дроби.

Наращенная сумма долга – будущая стоимость денежного потока (future value):

.

Если срок выдачи ссуды меньше 1 года, то n берется в виде отношения числа дней, на которые предоставляется ссуда к числу дней в году.

В одних случаях число дней месяца берется равным 30, а в году 360; в других случаях – фактическое число дней месяца, а в году – 365 (366).

В первом случае считается, что расчеты проводятся по простым коммерческим процентам. Во втором считается, что расчеты проводятся по точным процентам.

Возможен обратный расчет: на основании наращенной суммы долга, срока ссуды, процентной ставки, определение первоначальной суммы долга, т.е. приведенной стоимости денежного потока:

.

Разница между наращенной суммой долга и первоначальной суммой долга называется дисконтом.

D = S - P

Особенностью обладают операции, исполняемые с векселями, совершаемые банками. Банк покупает у владельца вексель до наступления срока платежа по цене, меньше той суммы, которая должна быть выплачена в конце срока. При этом банк берет риск на получение денег на себя.

При учете векселей в банке, проценты начисляются не на первоначальную сумму долга, а на сумму, подлежащую к уплате в конце срока.

Расчет суммы, которая выплачивается владельцу векселя, производится по формуле:

;

P – сумма, которая выплачивается владельцу векселя;

; ,

где d – учетная ставка; S – сумма, которая должна быть уплачена по векселю.

Доход банка: S-P.

Между процентной и учетной ставкой имеет место следующее соотношение:

; ;

; Þ ; ;Þ

Можно выразить учетную ставку через процентную:

; ; Þ .

Таким образом, получаются различные по величине процентные и учетные ставки, которые дают одну и ту же дисконтируемую величину платежа при фиксированном сроке ссуды. Такие ставки называются эквивалентными, они могут быть использованы при сравнении доходности сделок.

При долгосрочных финансовых операциях, как правило, используются расчеты по сложным процентам. В этом случае. Исходная база начисления процентов в каждом периоде увеличивается на сумму присоединившихся процентов.

период	Á	S
1 год	Pi	P + Pi = P(1+i)
2 год	(P + Pi)i	P(1+i) + P(1+i)i = P(1+i)^2
3 год	P(1 + i)i	P(1+i)^2+ P(1+i)^2i = P(1+i)^3
…	…	…
n год		P(1+i)^n

При сделках, сроком более года, наращенная сумма по сложным процентам будет больше, чем по простым.

Если ссуда выдана на год, то наращенная сумма будет одинаковой, как при простых процентах, так и при сложных.

При сроке до 1 года, наращенная сумма при простых процентах будет больше, чем при сложных процентах.

Возможно установить ставки сложных процентов, эквивалентные ставкам простых процентов и наоборот, при условии, что первоначальная сумма и наращенная сумма равны (Sпр=Sсл. и Pпр=Рсл.).

; ; .

Если ссуда выдана на срок более года, то эквивалентная ставка по сложным процентам будет меньше ставки по простым процентам.

При заключении сделок в условиях договора указывается не только срок, на который выдается ссуда, но и период наращивания процентов, который может быть равен году, половине года, кварталу.

В случае, когда период наращивания процентов менее года, наращенная сумма (будущая стоимость денежного потока) рассчитывается:

,

где j – годовая процентная ставка;

m – число наращивания процентов в году;

n – срок, на который выдана ссуда.

При увеличении числа раз наращивания процентов в году при ссуде, выданной на срок более года, наращенная сумма увеличивается.

Возможен расчет наращенной суммы при непрерывном наращивании, т.е. m ® ¥

, е» 2,7182.

Можно рассчитать процентную ставку при условии наращивания процентов 1 раз в год, эквивалентную процентной ставке при условии наращивания процентов m раз в год, где S и Р равны

; .

И наоборот, процентную ставку j при условии наращивания процентов m раз в год, эквивалентную процентной ставке i при условии наращивания процентов 1 раз в год:

; .

Процентная ставка i, рассчитанная на основании ставки j, эквивалентной ей, называется эффективной.

Расчет процентной ставки i при условии наращивания 1 раз в год, эквивалентной процентной ставке j при условии непрерывного наращивания

S = P(1+i)ⁿ, ; S_i = S_j; P_i = P_j;

; , Þ .

Расчет процентной ставки j при условии непрерывного наращивания, эквивалентной процентной ставке i при условии наращивания 1 раз в год.

.

В практике финансовых вычислений часто встречаются случаи, когда приходится рассчитывать наращенную сумму за период, состоящий не из целого числа лет, а дробного (например, за 40, 30, 26 месяцев).

В случае использования сложных процентов, расчет наращенной суммы производится по формуле:

,

где m – число раз наращивания процентов в году;

l – число полных лет; a - дробная часть года.

В практике также используется комбинированный метод расчета наращенной суммы: за целое число ряда лет при расчете используются сложные проценты, а за дробную часть года – простые

.

Комбинированный способ дает большую величину наращенной суммы по сравнению с использованием только сложных процентов при прочих равных условиях.

Как и при использовании простых процентов, в случае применения сложных процентов можно рассчитать первоначальную сумму долга на основе наращенной суммы.

Д енежную сумму, которую необходимо инвестировать сегодня, чтобы через определенное время получить данную будущую стоимость, называют приведенной стоимостью (present value).

S = P(1+i)ⁿ; Þ ;

- дисконтный множитель; Þ P = SVⁿ.

В случае, когда наращивание процентов происходит m раз в год, первоначальная сумма долга (современная величина платежа - приведенная стоимость денежного потока) рассчитывается по формуле

.

Современная величина платежа характеризует сумму, которую мы можем положить в банк при процентной ставке i, соответственно, через n лет получив величину S.

Процентную ставку j, используемую для определения приведенной стоимости инвестиций, называют ставкой дисконтирования. Если ставка дисконтирования определяется при непрерывном начислении процентов, то приведенная стоимость рассчитывается:

В банковском коммерческом учете при использовании сложных учетных ставок d, для расчета значения современной величины платежа используется формула

.

Если проценты начисляются m раз в течении года, то используется формула:

,

где f – учетная ставка в годовом исчислении.

Расчет величины дисконта производится по формуле

.

При условии инфляции, расчет реальной величины наращенной суммы производится по формуле

,

где k – темп прироста инфляции, величина (1+k)ⁿ – рост инфляции за n лет

§ При i = k, реальная величина наращенной суммы будет равна первоначальной сумме;

§ При i < k - реальная величина наращенной суммы будет меньше первоначальной суммы;

§ При i > k - реальная величина наращенной суммы будет больше первоначальной суммы на величину

.

Потоки платежей

Как правило, разного рода финансовые операции предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений. Потоки платежей очень часто встречаются на практике: заработная плата, плата за квартиру, взносы в банк на депозит и т.д. Совокупность ряда распределенных во времени платежей принято называть потоком платежей или денежным потоком.

Поток платежей, все составные части которого положительные величины, а промежутки между платежами одинаковые, называют финансовой рентой или просто рентой.

Временной интервал между двумя последовательными выплатами называют периодом ренты. Срок от начала первого периода до конца последнего периода называется сроком ренты.

Различают два типа рент:

· безусловные ренты – это ренты с фиксированным периодом, т.е. даты первой и последней выплат определены до начала ренты;

· условные ренты – ренты, в которых дата первой и последней выплат зависят от определенных условий, некоторого события, например, пенсия.

По количеству выплат на протяжении года ренты делятся на годовые (выплаты раз в году) и m-срочные (m – количество выплат в году). При анализе производственных инвестиционных процессов иногда применяются ренты с периодами, превышающими год. Перечисленные виды рент называются дискретными. В финансовой деятельности встречаются и такие потоки платежей, которые производятся так часто, что их практически можно рассматривать как непрерывные.

По моменту выплат платежей в пределах периода ренты подразделяются:

· обыкновенные – платежи осуществляются в конце периода;

· пренумерандо - платежи осуществляются в начале периода.

Е сли денежный поток представляет собой обыкновенную ренту, по которой m раз в год в течении T лет выплачивается одна и та же денежная сумма А, то приведенная стоимость такой ренты (аннуитета) может быть найдена следующим образом:

.

Обыкновенную ренту называют бессрочной (перпетуитет – perpetuity), если поток рентных платежей не ограничен во времени. Приведенная стоимость такой ренты может быть найдена следующим образом: