Наращение по сложным процентам. Основная формула. Множитель наращения.

В фин-ой практике значительная часть расчетов ведется с исп-ем схемы сложных %-ов. Примене-ние схемы сложных %-ов целесообразна в тех случаях когда: - %-ты не выплачиваются по мере их начисления, а присоед-ся к первонач-ой суммы долга. При соед-ии начисл-х %-ов к суммы долга кот служит базой для их начисления наз-ся капитализацией %-та; - срок ссуды более года.

Если %-е деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоед-ся к первонач-ой сумме долга, то долг Т.О. увел-ся на невыплаченную суммы %-ов и последующ. начисления %-ов происходит на увел-е суммы долга: S=P+I=P+npi=P(1+i)- за один период начисления; S=(P+I)(1+i)=P(1+i)(1+i)=P(1+i)² – за два периода начисления. Отсюда за n периодов начисления: S=P(1+i)ⁿ =P*k_н –ф-ла сложных %ов. Где S- наращенная сумма долга; P- первонач-я сумма долга; i-ставка %-ов при люб. начисл; n- кол-во периодов нач-я; k_н –коэф-т наращения.

9. Сложные проценты: наращение при дробном числе лет. Распределение процентов по периодов. Достаточно часто фин. стандарты заключаются на период отличающейся на период от целого числа лет. В случае когда срок фин. операции выражен дробным числом лет, начисление %-ов можно произ-ть с исп-ем двух методов: 1) общий метод закл-ся в прямом расчете по формуле сложн. %-ов. S=P(1+i)ⁿ; где n=a+b; n- период сделки; a- целое число лет; b- дробная часть года. 2) смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления исп-ть формулу сложных %-ов, а для дробной части года формулу простых %-ов. S=P(1+i)^a(1+b_i)/ Наращенная сумма будет больше при исп-ии смешанной схемы.

10. Сложные проценты: переменные процентные ставки. Сравнение силы роста простых и сложных процентов. Необходимо отметить, что основная форма сложных %-ов пред-ет производную сложную ставку на протяжении всего срока начислении %-ов. Однако предост-ет долгосрочную ссуду изменяется во времени, но заранее зафик-ую для каждого периода. В случае исп-я переменных ставок формула наращения имеет след. вид: S=P(1+i1)ⁿ/(1+i2)ⁿ²…(1+i_k)^nk=P*П_k=1(1+i_k)^nk; k-послед-ое по времени значение ставок; n_k- длит-ть периодов в течении кот-х исп-ся соответствие данные.

Пусть временная база для начисления одна и та же, уровень процентных ставок совпадает, тогда:

1) для срока меньше года простые проценты больше сложных

2) для срока больше года

3) для срока 1 год множители наращения равны друг другу

Используя коэффициент наращения по простым и сложным процентам можно определить время, необходимое для увеличения первоначальной суммы в n раз. Для этого необходимо, что бы коэффициенты наращения были равны величине n:

1) для простых процентов

2) для сложных процентов

 

Формулы для удвоения капитала имеют вид:

а)

 

б)

11. Номинальная процентная ставка. Эффективная ставка процентов. Понятие эквивалентности процентных ставок. Период начисления прост. %-ов не всегда равен году однако в условиях фин. операций указ-ся не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка(i). Номинальная ставка- годовая ставка %-ов исходя из кот-й опред-ся величина ставки %-ов в каждом периоде начисления, при начислении сложных %ов несколько раз в год. Это ставка, во первых не отражает реальную эффек-ть сделки; во вторых не может быть использована для сопоставлений. Если начисления будут производится раз в год, а срок долга лет, то общее кол-во периодов начисления зависит от фин. операций N=n*m. Отсюда фор-лу сложных %-ов можно записать в след-ем виде: S=P(1+j/m)^N=P(1+j/n) ^{m n}; j-номин ставка %. На ряду с номинальной ставкой сущ-ет эффек-я ставка измеряющая тот реальный относ-ый доход, кот. получен в целом за год с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка пок-ет какая годовая ставка сложных %-ов дает тот же рез-тат что и n-разовая наращения в год по ставке j/m(1+i)=(1+j/m)^m=>1+i=(1+j/m)^m; i_эф=(1+j/m)ⁿ-1. Из формулы следует что эффек-я ставка зависит, от кол-ва внутригодовой отчислений. Расчет эффек-ой ставки яв-ся мощным иност-ом фин-го анализа поскольку её значение позволяет срав-ть м/у собой фин. операции имеющая различ-е условия: чем выше эффек-я ставка фин. операции тем она выгодней для кредитора.Для обеспечения расчетов можно польз-ся таблицами коэф-ов наращения сложных %-ов, но внимательно следить за периодом длины начисления %-ов и %ой ставки в этот период. Если периодом начисления яв-ся квартал, то в расчетах должна исп-ся номин-я ставка.

Различные финансовые схемы можно считать эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату.Эквивалентная процентная ставка - это ставка, которая для рас­сматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный ре­зультат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка.Классическим примером эквивалентности являются номинальная и эффективная ставка процентов:

i_эф=(1+j/m)^m -1; j=m((1+i_эф)^1/m -1).

Если две номинальные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку процентов, то они называются эквивалентными.В принципе соотношение эквивалентности можно найти для любой пары процентных ставок - простых и сложных, дискретных и непрерыв­ных. В основе всегда лежит одно правило: чтобы найти эквивалентные ставки, нужно приравнять соответствующие множители наращения. Замечание: В данный главе для отличия простой и сложной ставок простую ставку будем обозначать с индексом s.

Укажем некоторые соотношения между ставками: а) между простой ставкой i_s и сложной ставкой i: i_s=(1+i)ⁿ-1/n; i=ⁿ√1+n*i_s -1;

б) между ставкой простого процента i, и простого дисконта d_s: i_s=d_s/1-n*d_s; d_s=i_s/1+n*i_s.

в) эквивалентность простых и сложных ставок: Ее можно найти для любой пары, где одна ставка простая (i_s или d_s), другая-сложная (i или j_m).

Например, отношение эквивалентности между i _s и j_m имеет вид: i_s=(1+j/m)^{m n} -1/n; i_m=m(^{m n}√1+n*i_s -1;

эквивалентность между d_s и i:

d_s=1-(1+i)^-n/n; i=ⁿ√1/1-n*d_s -1;

г) эквивалентность сложных ставок: Например, эквивалентность между i и d: i=d/1-d; d=i/1+i.

12. Дисконтирование по сложной ставке. Дисконтирование по сложной ставке процентов — процесс, обратный во времени процессу наращения (компаундинга) по сложной ставке процентов. Если при наращении изменение первоначальной суммы Р происходит дискретно, скачками, в конце очередного периода начисления процентов, то процесс дисконтирования будущей суммы S также происходит скачкообразно, в обратном направлении, со скачком в конце очередного периода дисконтирования. В конце первого периода дисконтирования величина текущей стоимости суммы S равна S/(1+ i_T), в конце второго периода - s/(1 + i_T)² и т. д. После п циклов дисконтирования текущая стоимость суммы S равна (ср. с (1.2.1)):

(1.2.12)

где v = 1/(1 + i_T) — дисконтный множитель за период Т.

При начислении процентов т раз в году дисконтный множитель за период равен: v = l/(l + i^{m)/m). По аналогии с процессом наращения вводится годовой дисконтный множитель v, что, позволяет записать выражение для текущей стоимости в следующем виде (ср. с (1.2.2), (1.2.3), (1.2.7)):

(1.2.13)

Дисконтирование при непрерывном начислении процентов также описывается формулой (1.2.13), где время изменяется непрерывно, в отличие от дискретного начисления процентов т раз в год, когда время изменяется дискретно, с шагом 1/т. Очевидно, непрерывная кривая (1.2.13) является огибающей для закона дискретного дисконтирования суммы S при любом числе периодов дисконтирования в году исходя из одинаковой эффективной годовой процентной ставки.

Чтобы единым образом описать приведение суммы к определенному моменту времени, введем, как и в разделе 1.1, множитель приведения, который равен множителю наращения при приведении к будущему моменту времени и дисконтному множителю при приведении к предшествующему (настоящему) моменту времени. Удобно совместить начало шкалы времени с моментом времени, когда задана сумма. Тогда наращению соответствует положительная часть оси времени, а дисконтированию — отрицательная. Множитель приведения для непрерывной процентной ставки можно записать с учетом (1.2.13) в виде

(1.2.13,а)

где s(t) — множитель наращения; v(|t|) — дисконтный множитель.

Зависимость этого множителя от времени, определяемая формулой (1.2.13,а), приведена на рис. 1.2.3 для годовой нормы доходности 30%.