Предмет «Финансовой математики», основные задачи курса. Время как фактор в фин. расчетах.

Предмет «Финансовой математики», основные задачи курса. Время как фактор в фин. расчетах.

Фин. вычисления возникли с появлением товарно-денежных отношений, но отдельная отрасль знания оформились в ХIХв. под названием комерч. вычисления или комерч. арифметика. Быстрый эк. рост стран в ХIХв. во многом был обусловлен распространением комерч. знаний в частности в России к концу ХIХв. появились комерч. училища, торг. чек, кассы, курсы. Актуальность и важность комерч. образования ни у кого не вызывало сомнений, поскольку основу комерч. наук сост. комерч. арифметика обуславливающ. каждый торг. акт, каждый фин. операц. В послереволюционный период комерч. ариф. в РФ не получила должного развития, поскольку многие вопросы связаны с фин. и фин. вычислениями попросту игнорировались. В странах с ориентацией на рыночн. эк. комерч. ариф. развилась в самостоятельное направление науки- в фин. матем., кот сформир-сь на стыке фин. науки и матем. Фин. матем- раздел комерч. анализа фин. операций предметом кот. яв-ся изучение функц-ных завис. м/у параметрами комерч. сделок и фин-банковских операц. и разраб. на их основе методов решения фин. задач опред. класса; объектом изуч. ФМ яв-ся финн операция в кот необходимость использования ФМ вычисл. возник всякий раз, когда в усл. сделки прямо или косвенно присутствуют временные параметры даты, сроки выплат, периодичность поступ. ден. ср-в, отсрочка платежей и т.д. При этом фактор вр. зачастую играет >важную роль, чем стоимостные хар-ки фин. операц., поскольку именно он опред. конечный фин. результат.

К основным задачам курса ФМ относят:1) исчисление будущей суммы д.с. нах-ся во вкладах, займах или цен-х бумаг путем начисления %; 2) учет векселей; 3) опред. парам. сделки исходя из заданных усл; 4) опред эквивалентности параметров сделки; 5) анализ последствий изменения усл. фин. операц; 6) исчисления обобщающие операц. финн. потоков; 7) опред параметров фин. ренты; 8) разраб. планов вып. фин. операций; 9) расчет показат. доходности фин. операц и др.

Понятие фактора времени. В экономических расчетах часто необходимо сравнивать или вычислять алгебраическую сумму расходов (доходов) в различные временные периоды. Для этого практика использует прием приведения экономических величин (расходов, доходов, прибыли) из разных временных отрезков к произвольно выбранному моменту или интервалу времени. Возможно приведение к началу либо к концу рассматриваемого периода или к сегодняшнему (текущему) моменту с учетом так называемого фактора времени. Учет этого фактора дает возможность не только привести разновременные затраты и результаты производственно-хозяйственной, предпринимательской или финансовой деятельности к сопоставимому виду, но и оценивать их динамику в неизменных условиях базового периода, а также вычислять затраты (стоимость), используя время-стоимостные зависимости.

Фактор - причина, движущая сила совершающегося процесса или одно из его условий. Все процессы и явления, в том числе и социально-экономические, совершаются (протекают) во времени и в пространстве. Экономическая теория отмечает, что любой способ производства немыслим без таких факторов производства, как средства и предметы труда, а также рабочая сила. О времени при этом почему-то не всегда упоминается, по-видимому считая его наличие само собой разумеющимся.

Основные понятия и обозначения. Проценты, виды процентных ставок.

В фин. вычислениях учет фактора вр. осущ. с помощью метода наращения и дисконтирования, в основу кот. положена техника %-х вычислений. – представляя деньги в долг чем расчит. получить некот. вознагражд.. Доход от предоставления ден. в люб его форме наз-ся %-ми деньгами или % и обычно означ. «J». Единицей измерения % в России яв-ся «руб». Рез-тат сделки можно охарактеризовать либо абсолютными, либо относительными показат. Данный показат. J яв-ся абсолютн. вел. = приращению ден. ср-в инвестора в рез-те проведения фин. операц. Следует напомнить, что абсолютн. показат. чаще всего не подходят для сравнения и оценки в виду их несопоставимости в пространстве и во вр. Суммы ден. данных в займы наз-ся основной суммы, или капиталом, или современной стоимостью. Будем обозначать ее через «Р», суммы % и основных денег возвращенной суммы и обознач. через «S». т.е. S=P+J.

Классификация %-х ставок.

В ФМ встречается большое разнообразие ставок. Понять их существенное отличие - одна из основных задач курса. Выделим несколько основных признаков, по кот. различаются %ставки:

-если для начисления % применяется постоянная база начисления в виде первонач. суммы Р, то % наз-ся простыми; - если же база постоянна меняется и за нее принимается суммы получ. на предыдущем этапе, то говорят о сложн. %, кот. еще назыв. % на%.

По принципу расчета различ. 2 вида %ст: 1) ставки наращения. Применяются при расчете от наст. к буд., их еще наз-ют обычными или декурсивными. При декурсивном способе % начисляются в конце каждого интервала начисления. Декурсивная % еще наз-ся ссудным %. 2) дисконтные, авансовые или учетные ставки. Применяются при расчете от буд. к наст. Их наз-ют антисипативными. При учетной ставке % начисляются в начале кажд. интервала начисления.

По пост. знач. % ст. в течении действия фин. операц. различают фиксир-е и плавающие. Фиксированная %ставка устан-ся на весь срок погашения кредита. Кредитование по фиксир. ставке осущ. на довольно короткий срок. Плавающая % ставка меняется регулярно в течении всего срока кредита. Традиционной яв-ся изменение базовой % ставки ежеквартально, 1 раз в полугодие, раз в год.

 

Наращение по простым процентам.

Рассмотрим процесс наращения по ставке прост. %. При исп-ии простых ставок %, %ты опред исходя из первонач. суммы долга. Схема прост. % предпол. неизменность базы с кот происходит начисление %. Пусть Р – начальная сумма долга. Срок ссуды и измеряется в годах i- ставка прост. % за 1 год. Последним наращение итоговой суммы по годам: 1 год: S1=p+p*i=p(1+i); 2 год:S2=(p+pi)+pi=p+2pi; 3 год: S3=(p+2pi)+pi=p+3pi; n год:Sn=(p+npi)=p(1+ni).

Т.О. получ. ф-лу для нахождения итоговой суммы: S=p+J=p(1+ni)(2i) и ф-лу для вычисления => размер ожид. дохода зависит от 3х факторов: - от величины инвестир. суммы р; - от уровня %ст;

-от срока финн. операц.

Приращение капит: J=pni – пропор-но сроку ссуды и ставки %. Т.е. доход инвестора растет линейно с ростом n. Ф-ла 2.1 наз-ся ф-лой наращения по прост. % или кратко: ф-лой прост. %, а kn=(1+ni)- множителем наращения прост % или аккумулир. множит. Он не зависит от величины начальной суммы и пок-ет во сколько раз вырос первоначальный капит. т.е. показывает буд. ст-ть 1-ой ден. ед-цы влож. сроком на n- временного преиода. При начислении в конце кажд. из них %го дохода по ставке i. При наращении прост. %, %ые деньги J1,J2..Jn- растут в арифмет-ой прогрессии. Примечание 1: Особенностью прост. % яв-ся то, что частота процессов наращения в теч. года не вселяет на рез-ты. Т.е. нет никакой разницы начислять 30% годовых 1 раз в год или 2 раза по 15%, что современно не годится для сложн. %. Примечание 2: На практике % ст. i может зависеть от величины исходного капит. р с увел. исх. капит. р – увел. и %ст. i. Примечание 3: Следует заметить, что задачи подробные(2.1) на практике встречаются редко, поскольку к прост. % прибегают в случаях: - выдачи кратк-х ссуд, т.е. ссуд, срок кот. либо равен году, либо меньше него однократным начислением %; - когда % прис-ся к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору; - при обслуж. сберегат. вкладов с ежемес. выплатой %.

Простые проценты: переменные процентные ставки и суммы депозита.

Ставка %-ов не яв-ся застывшей на вечные времена величиной. Поэтому в финансовых операциях в силу тех или иных причин предусматривается дискретная изменяющаяся во времени % ставки.

Например: Наличие инфляции вынуждает собственника денег периодически варьировать %-ой ставкой. В таких случая наращения суммы опред-ет испол-я след. формулы: S=P(1+n1*i1+n2*i2+…+nk*ik); где k-кол-во периодов начисляется; nk-прод-ть катово периода; ik-ставка %-ов в k-ом периоде.

Банковский учет

Банковский учет - второй вид дисконтирования, при котором, исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный времени, удерживая дисконт.

Метод банковского учета получил свое название от одноименной финансовой операции, в ходе которой коммерческий банк выкупает у владельца простой или переводный вексель по цене ни» нала до истечения означенного на этом документе срока его nor Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете называется дисконтированной величиной векселя. Разница между номиналом и выкупной ценой образует прибыль банка от этой операции и называется дисконт (D = S -Р). Подобным образом государство продает большинство своих ценных бумаг.

Для определения размера выкупной цены применяется дисконтирование по методу банковского. При этом используется годовая учетная ставка d.

 

Облигации

Облигация является одним из видов ценных бу­маг с фиксированным доходом. Доход от облигаций обычно ниже, чем от других видов ценных бумаг, в то же время он более надежен, так как в меньшей степени связан с ситуацией на рынке. Доход от облигации обычно складывается из двух частей: выплат процентов по купонам и разницы между ценой покупки и ценой продажи. Поэтому различают купонную, текущую и полную доходность облигации. Купонная доходность (купонная ставка) q определена при выпуске об­лигации, поэтому нет смысла ее рассчитывать. Текущий доход — понятие более широкое, чем купонной доход. Он включает в себя выплаты по купонам, а также доход в виде дисконта, если бескупонное долговое обязательство является краткосрочна (выпущено на срок менее года). В первом случае текущая доходность рассчитывается как отношение поступлений по купонам к цене приобретения облигаций. Во втором случае текущая доходность есть отношение дохода (дисконта) по краткосрочному обязательству к номиналу, с учетом срока финансовой операции. Полная доходность учитывает как купонную, так и текущую доход­ность. Полный доход есть доход за весь срок владения, полученный как в виде купонных процентов, так и в результате перепродажи ценной бумаги. Используем следующие обозначения: Р -рыночная цена облигации, п - время (в годах), N-номинал (выпускная цена облигации), q- купонная ставка, i - процентная ставка, f - полная доходность. (годовые ставки) Облигации выпускают с разным номиналом, поэтому для облигаций принято рассчитывать курс K= P/N • 100 (величина безразмерная).Рассмотрим формулы расчета курса и доходности облигации в зави­симости от ее вида:

39. Облигации без погашения с периодической выплатой купонных процентов Доход от такой облигации получают только в виде купонных процен­тов, поэтому она может рассматриваться как разновидность вечной ренты. После ее приобретения полная доходность равна текущей, которая, в свою очередь, равна купонной. Теоретическая цена такой облигации P=q*N/i Курс облигации K=q/i*100 (1) Если выплата купонных денег происходит m раз в год, то K=100*q/m*1/[(1+i)^1/m -1]Если курс облигации К известен, то текущая (и полная) доходность (в процентах): f=q/K*100 Замечание. Доходность можно найти, заменив в уравнении (1) став­ку i на доходность f, и выразив f. Так поступают во всех случаях. Если выплата купонных денег происходит т раз в году, то f=(1+q/m*100/K)^m -1

40. Бескупонная облигация с погашением по номиналу Доход от такой облигации получают как разницу между номиналом N при погашении и ценой Р. Курс такой облигации всегда меньше 100. Так как текущих выплат нет, то текущая доходность равна нулю.

Если облигация покупается за т лет до погашения, то теоретическая цена облигации (справедливая цена)

P=N/(1+i)^m Следовательно, курс облигации равен К =100 /(1+i)^m При известном курсе полная доходность находится по формуле f=(100/K)^1/m -1

41. Облигация с выплатой купонных процентов и номинала при погашении Проценты по такой облигации начисляются с капитализацией по сложной ставке q и выплачиваются в конце срока одновременно с пога­шением. Так как текущих выплат нет, то текущая доходность равна нулю. Пусть срок действия облигации п лет, и покупается она за т лет до пога­шения. Теоретическая цена такой облигации P=N*(1+q)ⁿ/(1+i)^m При этом курс облигации составит K=(1+q)ⁿ/(1+i)^m *100 Полная доходность облигации определяется по формуле f=(100/K)^1/m *(1+q)^n/m -1

42. Облигация с периодической выплатой процентов и погашением номинала в конце срока Это самый общий тип облигаций. Суммарный доход от облигаций данного типа складывается из регулярных купонных выплат, роста курса, что дает доход при продаже облигации, или от погашения облигации -здесь доход может определиться разницей ставок процента при выпуске облигации или в момент его погашения. Купонные выплаты формируют текущую доходность. Если облигация куплена за т лет до погашения, то теоретическая цена такой облигации P=N*(1+i)^-m+q*N*a_m;i где a_m;i =1-(1+i)^-m/i Курс облигации равен: K=100*((1+i)^-m+q*a_m;i ) Замечание. Найти полную доходность f такой облигации при известном курсе аналитически невозможно. Приближенное решение может быть найдено с использованием численных методов. В программе Excel сущест­вует функция ДОХОД, позволяющая находить доходность такого вида об­лигаций.

 

43. Вечные акции Доход от такой акции получают только в виде дивидендов, продажа акции не предусмотрена. Поэтому теоретическую цену акции Р опреде­ляют как дисконтированную к настоящему моменту вечную ренту буду­щих дивидендов по ставке i. Если допустить, что дивиденды постоянны и равны dv, и выплачиваются раз в году без ограничения срока, то dv/i современная величина этой ренты и цена акции. Если выплаты дивидендов происходят р раз в году, то P=dv/(1+i)^1/p – 1. Банковские депозитные сертификаты оцениваются исходя из текущей стоимости будущих денежных поступлений. За время действия сертифика­та может произойти изменение текущей процентной ставки, поэтому рас­чет его текущей стоимости осуществляется по принципу «от стоимости на конец срока действия». Фьючерсы и опционы - производные ценные бумаги, которые отно­сятся к срочным контрактам. Под срочным контрактом понимают договор на поставку с оговоренной датой определенного актива (материальные ценности, товары, валюта, ценные бумаги).Фьючерс - контракт на будущее, смысл которого состоит в реализа­ции следующей схемы: продавец контракта берет на себя обязательство продать, а покупатель - купить актив в определенный срок в будущем по цене, фиксируемой в момент сделки. Опционотличается от фьючерса тем, что один из контрагентов имеет оплаченное им другому контрагенту право отказаться от выполнения сдел­ки: продажи или покупки актива. Поэтому опционы бывают двух видов: колл-опционы (право купить) и пут-опционы (право продать). Опционы делят на два класса - европейского и американского типов. Американские могут исполняться в любой момент времени до даты истечения срока их действия, а европейские — только на дату окончания контракт

 

Предмет «Финансовой математики», основные задачи курса. Время как фактор в фин. расчетах.

Фин. вычисления возникли с появлением товарно-денежных отношений, но отдельная отрасль знания оформились в ХIХв. под названием комерч. вычисления или комерч. арифметика. Быстрый эк. рост стран в ХIХв. во многом был обусловлен распространением комерч. знаний в частности в России к концу ХIХв. появились комерч. училища, торг. чек, кассы, курсы. Актуальность и важность комерч. образования ни у кого не вызывало сомнений, поскольку основу комерч. наук сост. комерч. арифметика обуславливающ. каждый торг. акт, каждый фин. операц. В послереволюционный период комерч. ариф. в РФ не получила должного развития, поскольку многие вопросы связаны с фин. и фин. вычислениями попросту игнорировались. В странах с ориентацией на рыночн. эк. комерч. ариф. развилась в самостоятельное направление науки- в фин. матем., кот сформир-сь на стыке фин. науки и матем. Фин. матем- раздел комерч. анализа фин. операций предметом кот. яв-ся изучение функц-ных завис. м/у параметрами комерч. сделок и фин-банковских операц. и разраб. на их основе методов решения фин. задач опред. класса; объектом изуч. ФМ яв-ся финн операция в кот необходимость использования ФМ вычисл. возник всякий раз, когда в усл. сделки прямо или косвенно присутствуют временные параметры даты, сроки выплат, периодичность поступ. ден. ср-в, отсрочка платежей и т.д. При этом фактор вр. зачастую играет >важную роль, чем стоимостные хар-ки фин. операц., поскольку именно он опред. конечный фин. результат.

К основным задачам курса ФМ относят:1) исчисление будущей суммы д.с. нах-ся во вкладах, займах или цен-х бумаг путем начисления %; 2) учет векселей; 3) опред. парам. сделки исходя из заданных усл; 4) опред эквивалентности параметров сделки; 5) анализ последствий изменения усл. фин. операц; 6) исчисления обобщающие операц. финн. потоков; 7) опред параметров фин. ренты; 8) разраб. планов вып. фин. операций; 9) расчет показат. доходности фин. операц и др.

Понятие фактора времени. В экономических расчетах часто необходимо сравнивать или вычислять алгебраическую сумму расходов (доходов) в различные временные периоды. Для этого практика использует прием приведения экономических величин (расходов, доходов, прибыли) из разных временных отрезков к произвольно выбранному моменту или интервалу времени. Возможно приведение к началу либо к концу рассматриваемого периода или к сегодняшнему (текущему) моменту с учетом так называемого фактора времени. Учет этого фактора дает возможность не только привести разновременные затраты и результаты производственно-хозяйственной, предпринимательской или финансовой деятельности к сопоставимому виду, но и оценивать их динамику в неизменных условиях базового периода, а также вычислять затраты (стоимость), используя время-стоимостные зависимости.

Фактор - причина, движущая сила совершающегося процесса или одно из его условий. Все процессы и явления, в том числе и социально-экономические, совершаются (протекают) во времени и в пространстве. Экономическая теория отмечает, что любой способ производства немыслим без таких факторов производства, как средства и предметы труда, а также рабочая сила. О времени при этом почему-то не всегда упоминается, по-видимому считая его наличие само собой разумеющимся.

Основные понятия и обозначения. Проценты, виды процентных ставок.

В фин. вычислениях учет фактора вр. осущ. с помощью метода наращения и дисконтирования, в основу кот. положена техника %-х вычислений. – представляя деньги в долг чем расчит. получить некот. вознагражд.. Доход от предоставления ден. в люб его форме наз-ся %-ми деньгами или % и обычно означ. «J». Единицей измерения % в России яв-ся «руб». Рез-тат сделки можно охарактеризовать либо абсолютными, либо относительными показат. Данный показат. J яв-ся абсолютн. вел. = приращению ден. ср-в инвестора в рез-те проведения фин. операц. Следует напомнить, что абсолютн. показат. чаще всего не подходят для сравнения и оценки в виду их несопоставимости в пространстве и во вр. Суммы ден. данных в займы наз-ся основной суммы, или капиталом, или современной стоимостью. Будем обозначать ее через «Р», суммы % и основных денег возвращенной суммы и обознач. через «S». т.е. S=P+J.

Классификация %-х ставок.

В ФМ встречается большое разнообразие ставок. Понять их существенное отличие - одна из основных задач курса. Выделим несколько основных признаков, по кот. различаются %ставки:

-если для начисления % применяется постоянная база начисления в виде первонач. суммы Р, то % наз-ся простыми; - если же база постоянна меняется и за нее принимается суммы получ. на предыдущем этапе, то говорят о сложн. %, кот. еще назыв. % на%.

По принципу расчета различ. 2 вида %ст: 1) ставки наращения. Применяются при расчете от наст. к буд., их еще наз-ют обычными или декурсивными. При декурсивном способе % начисляются в конце каждого интервала начисления. Декурсивная % еще наз-ся ссудным %. 2) дисконтные, авансовые или учетные ставки. Применяются при расчете от буд. к наст. Их наз-ют антисипативными. При учетной ставке % начисляются в начале кажд. интервала начисления.

По пост. знач. % ст. в течении действия фин. операц. различают фиксир-е и плавающие. Фиксированная %ставка устан-ся на весь срок погашения кредита. Кредитование по фиксир. ставке осущ. на довольно короткий срок. Плавающая % ставка меняется регулярно в течении всего срока кредита. Традиционной яв-ся изменение базовой % ставки ежеквартально, 1 раз в полугодие, раз в год.