Дисконтирование по сложной ставке

Из формулы (3.1) получим:

 

, (3.10)

 

. (3.11)

 

Величину v называют дисконтным (учетным, дисконтирующим) множителем. При начислении процентов m раз в году получим:

 

; (3.12)

 

. (3.13)

 

Величина P – современная (текущая) стоимость величины S. Разность S – P, когда P определено дисконтированием, называют дисконтом:

 

.

 

Пример 3.10. Сумма в 5 млн. руб. выплачивается через 5 лет. Необходимо определить ее современную величину при условии, что применяется ставка сложных процентов, равная 12 % годовых.

 

Дисконтный множитель равен

 

.

 

Т. о., первоначальная сумма сократилась почти на 44 %. Современная величина равна:

 

тыс. руб. [5, с. 53–54].

 

Рис. 3.4. Зависимость дисконтного множителя от процентной ставки

С увеличением срока платежа величина современной стоимости убывает. Например, при ставке 12 % получим:   n 10 лет 50 лет 100 лет v 0,32197 0,00346 0,000012

 

 

Операции со сложной учетной ставкой

Учет по сложной учетной ставке

В практике учетных операций иногда применяют сложную учетную ставку. В этом случае процесс дисконтирования происходит с замедлением, поскольку на каждом шаге учетная ставка применяется не к первоначальной сумме (как при простой учетной ставке), а к сумме, дисконтированной на предыдущем шаге во времени.

Дисконтирование по сложной учетной ставке выполняется по формуле:

 

, (3.14)

 

где d – сложная годовая учетная ставка.

 

Пример 3.11. Долговое обязательство на сумму 5 млн. руб., срок оплаты которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом по сложной учетной ставке 15 % годовых. Найти размер суммы, полученной за долг, и величину дисконта (в тыс. руб.).

 

тыс. руб.

 

тыс. руб.

 

Если применить простую учетную ставку того же размера, то

 

тыс. руб.

тыс. руб.

 

Т. о., дисконтирование по сложной учетной ставке для должника выгоднее, чем дисконтирование по простой учетной ставке, т. к.

 

– дисконтный множитель для простой учетной ставки, а

– дисконтный множитель для сложной учетной ставки.

 

Согласно первой формуле значение дисконтирующего множителя равномерно уменьшается по мере роста n и достигает нуля при . Согласно второй формуле множитель экспоненциально уменьшается и достигает нуля лишь в пределе при [5, с. 55–56].

 

Рис. 3.5

 

Номинальная и эффективная учетные ставки

Дисконтирование может производиться не один раз в году, а m раз в год, т. е. каждый раз учет производится по ставке . В этом случае

 

, (3.15)

 

где f – номинальная годовая учетная ставка.

 

Эффективная учетная ставка d показывает степень дисконтирования за год. Ее определяют из равенства дисконтных множителей:

 

,

 

откуда

 

.

 

В свою очередь

 

.

 

Эффективная учетная ставка меньше номинальной при m > 1.

 

Пример 3.12. По данным примера 3.11 определим сумму, полученную при поквартальном учете по номинальной учетной ставке 15 %, и эффективную учетную ставку.

 

Имеем f = 0,15; m = 4; n = 5; m ∙ n = 20.

 

тыс. руб.

 

Эффективная учетная ставка составит

 

, или 14,177 % [5, с. 56–57].

 

 

Наращение по сложной учетной ставке

Иногда наращенную сумму получают и с помощью сложной учетной ставки. Из (3.14) и (3.15) следует:

 

, (3.16)

 

. (3.17)

 

Множитель наращения при использовании сложной учетной ставки d равен [5, с. 57]

 

.

3.6. Сравнение интенсивности процессов наращения
и дисконтирования по разным видам процентных ставок

Для решения поставленной задачи достаточно сопоставить соответствующие множители наращения (дисконтирования). Считаем размеры ставок одинаковыми.

Имеют место следующие соотношения для множителей наращения:

 

при ,

 

при n = 1,

 

при n > 1.

 

Видно, что соотношение множителей наращения зависит от сроков наращения процентов.

 

Пример. Множители наращения для разных видов ставок (20 %).

 

Срок (в годах)	is	i	ds	d
0,5	1,10	1,0954	1,1111	1,1180
1,0	1,20	1,2000	1,2500	1,2500
2,0	1,40	1,4400	1,6667	1,5625
10,0	11,00	6,1917	∞	9,3132

 

 

Соотношения для дисконтных множителей следующие:

 

при ,

 

при n = 1,

 

при n > 1 [5, с. 57–58].

 

 

Определение срока ссуды и размера процентной ставки

При разработке условий финансовых операций часто возникает необходимость решения обратных задач – расчета продолжительности ссуды или уровня процентной ставки.

 

 

Срок ссуды

При наращении по сложной годовой ставке i и по номинальной ставке j на основе формул (3.1) и (3.7) получим:

 

, (3.18)

 

. (3.19)

 

При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d и по номинальной учетной ставке f получим:

 

, (3.20)

 

. (3.21)

 

Пример 3.13. За какой срок в годах сумма, равная 75 млн. руб., достигнет 200 млн. руб. при начислении процентов по сложной ставке 15 % раз в году и поквартально?

 

По формулам (3.18) и (3.19) получим сроки:

 

года; года [5, с. 59–60].

 

 

Величина процентной ставки

При наращении по сложной годовой ставке процентов i и по номинальной ставке j получим:

 

, (3.22)

 

. (3.23)

 

При дисконтировании по сложным учетным ставкам d и f:

 

, (3.24)

 

, (3.25)

 

 

Пример 3.14. Сберегательный сертификат куплен за 100 тыс. руб., выкупная его сумма 160 тыс. руб., срок 2,5 года. Каков уровень доходности в виде годовой ставки сложных процентов?

 

По формуле (3.22) получим

 

.

 

 

Пример 3.15. Срок до погашения векселя равен 2 годам. Дисконт при его учете составил 30 %. Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт?

 

По формуле (3.24) получим

 

[5, с. 60].