Составитель: доцент кафедры ММ и и Моргунов Евгений Павлович

Дисциплина «Финансовая математика»

Конспект лекций по дисциплине

Составитель: доцент кафедры ММ и И Моргунов Евгений Павлович

 

Оглавление

 

1. Введение, основные понятия. 4

2. Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам.. 5

2.1. Формула наращения. 5

2.1.1. Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд. 5

2.1.2. Переменные ставки. 6

2.1.3. Начисление процентов при изменении суммы депозита во времени. 7

2.1.4. Реинвестирование по простым ставкам.. 8

2.2. Погашение задолженности частями. 8

2.2.1. Контур финансовой операции. 8

2.2.2. Частичные платежи. 9

2.3. Наращение процентов в потребительском кредите. 11

2.4. Дисконтирование по простым процентным ставкам. Наращение по учетной ставке 12

2.4.1. Математическое дисконтирование. 12

2.4.2. Банковский учет (учет векселей) 13

2.4.3. Наращение по учетной ставке. 13

2.5. Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам.. 14

3. Сложные проценты.. 15

3.1. Начисление сложных годовых процентов. 15

3.1.1. Формула наращения. 15

3.1.2. Начисление процентов в смежных календарных периодах. 16

3.1.3. Переменные ставки. 17

3.1.4. Начисление процентов при дробном числе лет. 17

3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам.. 18

3.3. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки. 19

3.3.1. Номинальная ставка. 19

3.3.2. Эффективная ставка. 20

3.4. Дисконтирование по сложной ставке. 21

3.5. Операции со сложной учетной ставкой. 22

3.5.1. Учет по сложной учетной ставке. 22

3.5.2. Номинальная и эффективная учетные ставки. 23

3.5.3. Наращение по сложной учетной ставке. 24

3.6. Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок. 25

3.7. Определение срока ссуды и размера процентной ставки. 25

3.7.1. Срок ссуды.. 26

3.7.2. Величина процентной ставки. 26

4. Производные процентные расчеты.. 28

4.1. Средние процентные ставки. 28

4.1.1. Простые ставки. 28

4.1.2. Сложные ставки. 28

4.1.3. Усреднение ставок в однородных операциях. 29

4.2. Эквивалентность процентных ставок. 29

4.2.1 Эквивалентность простых процентных ставок. 30

4.2.2. Эквивалентность простых и сложных ставок. 31

4.2.3. Эквивалентность сложных ставок. 32

4.3. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей. 33

4.3.1. Финансовая эквивалентность обязательств. 33

4.3.2. Консолидирование (объединение) задолженности. 34

4.3.3. Определение размера консолидированного платежа. 35

4.3.4. Определение срока консолидированного платежа. 36

4.4. Общая постановка задачи изменения условий контракта. 37

Рекомендуемая литература. 40

 

1. Введение, основные понятия

Предмет финансовой математики – методы количественного анализа финансовых операций. Количественный финансовый анализ применяется в условиях определенности и неопределенности. В первом случае данные для анализа заранее известны и фиксированы.

Основные задачи финансовой математики:

– измерение конечных финансовых результатов операции (сделки, контракта) для каждой из участвующих сторон;

– разработка планов выполнения финансовых операций, в т. ч. планов погашения задолженностей;

– измерение зависимости конечных результатов операции от основных ее параметров;

– определение допустимых критических значений этих параметров и расчет параметров эквивалентного (безубыточного) изменения первоначальных условий операции.

 

Время – важнейший фактор финансовых расчетов. При проведении финансовых операций суммы денег связываются с конкретными моментами или периодами времени. Существует принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени, или, по-другому, принцип изменения ценности денег во времени. Обоснование: возможность инвестирования денег и получения дохода; инфляция; риски в экономике.

Суммирование денег, относящихся к разным периодам времени допустимы в бухгалтерском учете, но недопустимы при принятии решений финансового характера.

Принцип финансовой эквивалентности – равенство (эквивалентность) финансовых обязательств сторон, участвующих в операции.

Процентные деньги (проценты) – абсолютная величина дохода от представления денег в долг в любой форме: выдача ссуды, продажа товара в кредит, учет векселя и т. д.

Процентная ставка – относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени, т. е. отношение дохода (процентных денег) к сумме долга. Она измеряется в виде дроби или в процентах.

Период начисления – временной интервал, к которому привязана процентная ставка (год, полугодие, квартал и т. д.) Чаще всего используется год..

Наращение (рост) – процесс увеличения суммы денег в связи с присоединением процентов.

Дисконтирование – определение процентов при движении во времени в обратном направлении (от будущего к настоящему). В этом случае сумма денег, относящаяся к будущему, уменьшается на величину соответствующего дисконта (скидки).

В финансовом анализе процентная ставка является измерителем доходности (эффективности) любой финансовой операции.

Если при начислении процентов применяют постоянную базу для начисления процентов, то используются простые процентные ставки. Если эта база последовательно изменяется на каждом этапе наращения или дисконтирования, то используют сложные процентные ставки.

Важным является выбор принципа расчета процентных денег. Существует два принципа: от настоящего к будущему и от будущего к настоящему. В первом случае применяют ставки наращения, во втором – дисконтные (учетные) ставки. Проценты, полученные по ставке наращения, называются декурсивными, по учетной ставке – антисипативными [5, с. 11–19].

 

2. Наращение и дисконтирование
по простым процентным ставкам

Формула наращения

Введем обозначения:

I – проценты за весь срок ссуды;

P – первоначальная сумма долга. Другое обозначение – PV (present value);

S – наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока. Другое обозначение – FV (future value);

i – ставка наращения процентов (десятичная дробь) (как правило, годовая ставка);.

n – срок ссуды (как правило, в годах).

 

Проценты, начисленные за весь срок: . Тогда наращенная сумма

 

. (2.1)

 

(2.1) – формула наращения по простым процентам, или формула простых процентов. Множитель – множитель наращения простых процентов.

 

Рис. 2.1

 

Пример 2.1. Определим проценты и сумму накопления долга, если ссуда равна 700 тыс. руб., срок 4 года, проценты простые по ставке 20 % годовых (i = 0,2).

 

тыс. руб.;

тыс. руб.

Увеличим ставку в два раза. Сумма процентов удвоится, однако наращенная сумма увеличится в раза [5, с. 20–21].

 

 

Переменные ставки

Если предусмотрено изменение процентной ставки во времени, то сумма, наращенная на конец срока:

 

, (2.3)

где i_t – ставка простых процентов в периоде t; n_t – продолжительность периода с постоянной ставкой, .

Пример 2.3. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год – 16 %, в каждом последующим полугодии ставка повышается на 1 %. Необходимо найти множитель наращения за 2,5 года.

 

[5, с. 24].

 

 

2.1.3. Начисление процентов при изменении суммы депозита
во времени

В этом случае

 

, (2.4)

 

где Rj – остаток средств на счете в момент j после очередного поступления или списания средств; n_j – срок хранения денег (в годах) до нового изменения остатка средств на счете.

В банковско-сберегательном деле обычно применяют следующий способ. Интервалы между моментами изменений величины остатка на счете выражают в днях, а процентную ставку – в процентах (а не в десятичных дробях). Тогда получим:

 

, (2.5)

 

где К – число дней в году; t_j – срок в днях между последовательными изменениями остатков на счете.

Величину называют процентным числом, аделитель – процентным (постоянным) делителем.

 

Пример 2.4. Движение средств на счет характеризуется следующими данными: 5 февраля 2009 года, поступило 12 млн. руб., 10 июля снято 4 млн. руб., 20 октября поступило 8 млн. руб. Процентная ставка – 18% годовых. Найти сумму на счете на конец года.

 

Процентный делитель .

 

Дата	Движение средств	Остаток, Rj	Срок, tj (дней)	Процентное число
5.02.08				18,60
10.07.08	-4			8,16
20.10.08				11,52
31.12.08	–		–	–
Итого				38,28

 

Сумма процентов за весь срок составит млн. руб. [5, с. 24–25].

 

 

Контур финансовой операции

Пусть выдана ссуда P на срок T. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся два платежа R ₁ и R ₂,а в конце срока выплачивается остаток R ₃.

 

 

Рис. 2.2. Контур финансовой операции

 

Такой график называется контуром операции. На интервалах t ₁, t ₂ и t ₃ задолженность возрастает в силу начисления процентов. Сбалансированная операция обязательно имеет замкнутый контур [5, с. 26–27].

 

 

Частичные платежи

Краткосрочные обязательства иногда погашаются с помощью ряда промежуточных платежей. В этом случае важно решить, какую сумму брать за базу для расчета процентов и каким путем определять остаток задолженности.

Существует два метода. Актуарный метод применяется в основном в операциях сроком более года. Правило торговца – в сделках со сроком не более года. Если иное не оговорено, то в обоих случаях используются обыкновенные проценты с приближенным числом дней (360/360).

 

I. Актуарный метод. Он предполагает последовательное начисления процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница (остаток) идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток служит базой для начисления процентов за следующий период и т. д. Если же частичный платеж меньше суммы начисленных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются, а поступление денег приплюсовывается к следующему платежу.

Для рисунка 2.2 получим следующие расчетные формулы для определения остатка задолженности K_j:

 

(2.8)

 

Поскольку задолженность на конец срока должна быть погашена полностью, то:

 

.

 

Пример 2.6. Имеется обязательство погасить за 1,5 года (с 12.03.07 по 12.09.08) долг в сумме 15 млн. руб. Кредитор согласен получать частичные платежи. Процентная ставка – 20 % годовых. Произведены следующие частичные платежи (в тыс. руб.):

 

12.06.07 – 500 тыс. руб.

12.06.08 – 5000 тыс. руб.

30.06.08 – 8000 тыс. руб.

12.09.08 –? тыс. руб.

 

Решение

 

12.03.07 долг 15000 тыс. руб.

12.06.07 долг с процентами 15750 тыс. руб.

поступление –500 тыс. руб.

 

Поступление меньше начисленных процентов (750), поэтому сумма 500 тыс. руб. присоединяется к следующему поступлению.

 

12.06.08 долг с процентами 18750 тыс. руб.

поступление (500 + 5000) –5500 тыс. руб.

 

остаток долга 13250 тыс. руб.

30.06.08 долг с процентами 13382,5 тыс. руб.

поступление (8000) –8000 тыс. руб.

 

остаток долга 5382,5 тыс. руб.

12.09.08 долг с процентами 5597,8 тыс. руб.

 

Контур операции показан на рис. 2.3.

 

Рис. 2.3

 

 

II. Правило торговца. Если срок ссуды не превышает одного года, то сумма долга с процентами остается неизменной до полного погашения. А частичные платежи накапливаются с начисленными на них до конца срока процентами. Последний взнос должен быть равен разности этих сумм.

Алгоритм записывается следующим образом:

 

, (2.9)

 

где Q – остаток долга на конец срока; S – наращенная сумма долга; K – наращенная сумма платежей; Rj – сумма частичного платежа; n – общий срок ссуды; t_j – интервал времени от момента платежа до конца срока ссуды.

 

 

Рис. 2.4. Графическое изображение операции при двух промежуточных платежах

 

Пример 2.7. Обязательство 1,5 млн. руб., взятое 10.08.07, должно быть погашено 10.06.08. Процентная ставка – 20% годовых. В счет погашения долга 10.12.07 поступило 800 тыс. руб. Найти остаток долга на конец срока.

 

1. Правило торговца

 

млн. руб.

 

2. Актуарный метод

млн. руб. [5, с. 26–29].

 

 

Наращение по учетной ставке

Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. Например, при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга.

 

. (2.13)

 

Множитель наращения: [5, с. 34].

 

 

2.5. Прямые и обратные задачи при начислении процентов
и дисконтировании по простым ставкам

Для процентной ставки прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной – дисконтирование. Для учетной ставки прямая задача – дисконтирование, обратная – наращение.

Рассмотренные два метода наращения и дисконтирования (по ставке наращения i и учетной ставке d) приводят к разным результатам даже тогда, когда i = d [5, с. 34–36].

 

Ставки	Прямая задача	Обратная задача
i
d

 

 

ДМ – дисконтный множитель   Рис. 2.5	МН – множитель наращения   Рис. 2.6

 

Сложные проценты

Формула наращения

В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты. База для их начисления увеличивается с каждым шагом во времени. Процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательные реинвестирования средств, вложенных под простые проценты на один период начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

Если проценты начисляются и капитализируются один раз в году, то в конце первого года проценты составят Pi, а наращенная сумма – P + Pi = P (1 + i). К концу второго года наращенная сумма будет P (1 + i) + P (1 + i) i = P (1 + i)² и т. д. В конце n -го года

 

, (3.1)

 

где n – число лет, i – процентная ставка.

Проценты за этот срок в целом таковы:

 

. (3.2)

 

Часть из них получена за счет начисления процентов на проценты. Она равна:

 

(3.3)

 

Рост по сложным процентам является процессом, соответствующим геометрической прогрессии с первым членом, равным P, и знаменателем (1 + i). Величину называют множителем наращения по сложным процентам. Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как ACT/ACT.

 

Рис. 3.1

 

Пример3.1. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб., через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5 % годовых?

 

По формуле (3.1) получим

 

руб.

 

 

Пример. Остров Манхэттен, на котором расположена центральная часть Нью-Йорка, был продан за 24 доллара. Стоимость земли этого острова через 350 лет оценивалась примерно в 40 миллиардов долларов, т. е. увеличилась в 1,667 ∙ 10⁹ раз. Такой рост достигается при сложной ставке всего 6,3 % годовых.

 

Формула 3.1 может применяться не только для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Она используется и для периодов начисления, отличных от года. В этих случаях i означает ставку за один период начисления (месяц, квартал, полугодие), а n – число таких периодов [5, с. 43–45].

Если проценты на основной долг начисляются по ставке i, а проценты на проценты – по ставке r ≠ i, то

 

. (3.4)

 

Переменные ставки

В этом случае

 

(3.5)

 

где i ₁, i ₂, …, i_k – последовательные значения процентных ставок в периодах n ₁, n ₂, …, n_k.

 

Пример 3.3. Срок ссуды – 5 лет. Договорная базовая процентная ставка – 12 % годовых плюс маржа 0,5 % впервые 2 года и 0,75 % в оставшиеся годы. Найти множитель наращения.

 

[5, с. 46–47].

 

 

Номинальная ставка

При начислении процентов несколько раз в году можно воспользоваться формулой (3.1). В этом случае n означает число периодов начисления, а i – ставка за соответствующий период. Пусть j – годовая ставка, а m – число периодов начисления в году. Каждый раз проценты начисляются по ставке . Ставку j называют номинальной. Формула наращения:

 

, (3.7)

 

где – общее число периодов начисления процентов.

 

Пример 3.6. Изменим одно условие в примере 3.1. Пусть теперь проценты начисляются не один раз в году, а поквартально. В этом случае N = 20. Найти сумму долга.

 

руб.

 

А при ежегодном начислении процентов мы получим

 

руб.

 

Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения (цепной процесс). Например:

 

m
Множитель наращения	6,1917	6,7275	7,04	7,2682	7,385

Пример 3.7. Какова сумма долга через 25 месяцев, если его первоначальная величина500 тыс. руб., проценты сложные, ставка 20 % годовых, начисление поквартальное?

 

По условиям задачи число периодов наращения N = 25: 3 = 8⅓. Применим два метода наращения: общий и смешанный.

1. Общий метод:

 

руб.

 

2. Смешанный метод:

 

руб. [5, с. 49–51].

 

 

Эффективная ставка

Другое название – действительная ставка. Она измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год. Иначе говоря, эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m -разовое начисление процентов по ставке .

Обозначим эффективную ставку через i. По определению множители наращения по двум ставкам (эффективной ставке и номинальной ставке при m -кратном начислении процентов) должны быть равны друг другу:

 

.

Отсюда следует:

 

. (3.8)

 

При m >1 эффективная ставка больше номинальной.

Если в договоре номинальная ставка j при m -кратном начислении процентов заменяется на эффективную ставку i, то финансовые обязательства сторон договора не изменятся. Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении. Поэтому разные по величине номинальные ставки оказываются эквивалентными, если соответствующие им эффективные ставки одинаковы.

 

Пример 3.8. Найти размер эффективной ставки, если номинальная ставка равна 25 % при ежемесячном начислении процентов.

 

.

 

Для участвующих в сделке сторон безразлично, применить ставку 25 % при ежемесячном начислении процентов или годовую (эффективную) ставку 28,0732 %.

 

Введем обозначение j ^{( m )} – размер номинальной ставки и число начислений за год. Эквивалентная замена номинальной ставки имеет место только когда выполняется равенство:

 

.

 

Поскольку m может принимать только целые значения, то удобнее определять значение новой ставки, задавшись величиной m ₂:

 

.

 

Пример 3.9. Определить номинальную ставку j ⁽⁴⁾, которая безубыточно заменяет ставку j ⁽¹²⁾ = 25 % в примере 3.8.

 

.

 

Т. о., сокращение количества начислений потребует увеличения ставки с 25 % до 25,524 %.

 

При подготовке контрактов может возникать необходимость определения j по заданным значениям i и m [5, с. 51–53]:

 

. (3.9)

 

 

Срок ссуды

При наращении по сложной годовой ставке i и по номинальной ставке j на основе формул (3.1) и (3.7) получим:

 

, (3.18)

 

. (3.19)

 

При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d и по номинальной учетной ставке f получим:

 

, (3.20)

 

. (3.21)

 

Пример 3.13. За какой срок в годах сумма, равная 75 млн. руб., достигнет 200 млн. руб. при начислении процентов по сложной ставке 15 % раз в году и поквартально?

 

По формулам (3.18) и (3.19) получим сроки:

 

года; года [5, с. 59–60].

 

 

Величина процентной ставки

При наращении по сложной годовой ставке процентов i и по номинальной ставке j получим:

 

, (3.22)

 

. (3.23)

 

При дисконтировании по сложным учетным ставкам d и f:

 

, (3.24)

 

, (3.25)

 

 

Пример 3.14. Сберегательный сертификат куплен за 100 тыс. руб., выкупная его сумма 160 тыс. руб., срок 2,5 года. Каков уровень доходности в виде годовой ставки сложных процентов?

 

По формуле (3.22) получим

 

.

 

 

Пример 3.15. Срок до погашения векселя равен 2 годам. Дисконт при его учете составил 30 %. Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт?

 

По формуле (3.24) получим

 

[5, с. 60].

 

 

Средние процентные ставки

Если в финансовой операции размер процентной ставки изменяется во времени, то все значения ставки можно обобщить с помощью средней. Замена всех усредняемых значений ставок на среднюю процентную ставку не изменяет результатов наращения или дисконтирования.

 

 

Простые ставки

Пусть за периоды n ₁, n ₂, …, n_k начисляются простые проценты по ставкам i ₁, i ₂, …, i_k. Приравниваем множители наращения

 

.

 

Отсюда получим

 

, (4.1)

 

где – общий срок наращения процентов.

Аналогично определяется средняя учетная ставка:

 

. (4.2)

 

Пример 4.1. Контракт предусматривает переменную по периодам ставку простых процентов: 20, 22 и 25 %. Продолжительность последовательных периодов начисления процентов: 2, 3 и 5 лет. Какой размер ставки приведет к аналогичному наращению исходной суммы?

 

, или 23,1 % [5, с. 66–67].

 

 

Сложные ставки

Из равенства множителей наращения

 

 

следует

 

. (4.3)

 

Т. о., получаем среднюю геометрическую из переменных ставок.

 

Пример 4.2. Для первых двух лет ссуды применяется ставка 15 %, для следующих трех лет она равна 20 %. Найти среднюю ставку.

 

, или 17,974 % [5, с. 67].

 

 

Дисциплина «Финансовая математика»

Конспект лекций по дисциплине

Составитель: доцент кафедры ММ и И Моргунов Евгений Павлович

 

Оглавление

 

1. Введение, основные понятия. 4

2. Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам.. 5

2.1. Формула наращения. 5

2.1.1. Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд. 5

2.1.2. Переменные ставки. 6

2.1.3. Начисление процентов при изменении суммы депозита во времени. 7

2.1.4. Реинвестирование по простым ставкам.. 8

2.2. Погашение задолженности частями. 8

2.2.1. Контур финансовой операции. 8

2.2.2. Частичные платежи. 9

2.3. Наращение процентов в потребительском кредите. 11

2.4. Дисконтирование по простым процентным ставкам. Наращение по учетной ставке 12

2.4.1. Математическое дисконтирование. 12

2.4.2. Банковский учет (учет векселей) 13

2.4.3. Наращение по учетной ставке. 13

2.5. Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам.. 14

3. Сложные проценты.. 15

3.1. Начисление сложных годовых процентов. 15

3.1.1. Формула наращения. 15

3.1.2. Начисление процентов в смежных календарных периодах. 16

3.1.3. Переменные ставки. 17

3.1.4. Начисление процентов при дробном числе лет. 17

3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам.. 18

3.3. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная ставки. 19

3.3.1. Номинальная ставка. 19

3.3.2. Эффективная ставка. 20

3.4. Дисконтирование по сложной ставке. 21

3.5. Операции со сложной учетной ставкой. 22

3.5.1. Учет по сложной учетной ставке. 22

3.5.2. Номинальная и эффективная учетные ставки. 23

3.5.3. Наращение по сложной учетной ставке. 24

3.6. Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок. 25

3.7. Определение срока ссуды и размера процентной ставки. 25

3.7.1. Срок ссуды.. 26

3.7.2. Величина процентной ставки. 26

4. Производные процентные расчеты.. 28

4.1. Средние процентные ставки. 28

4.1.1. Простые ставки. 28

4.1.2. Сложные ставки. 28

4.1.3. Усреднение ставок в однородных операциях. 29

4.2. Эквивалентность процентных ставок. 29

4.2.1 Эквивалентность простых процентных ставок. 30

4.2.2. Эквивалентность простых и сложных ставок. 31

4.2.3. Эквивалентность сложных ставок. 32

4.3. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей. 33

4.3.1. Финансовая эквивалентность обязательств. 33

4.3.2. Консолидирование (объединение) задолженности. 34

4.3.3. Определение размера консолидированного платежа. 35

4.3.4. Определение срока консолидированного платежа. 36

4.4. Общая постановка задачи изменения условий контракта. 37

Рекомендуемая литература. 40

 

1. Введение, основные понятия

Предмет финансовой математики – методы количественного анализа финансовых операций. Количественный финансовый анализ применяется в условиях определенности и неопределенности. В первом случае данные для анализа заранее известны и фиксированы.

Основные задачи финансовой математики:

– измерение конечных финансовых результатов операции (сделки, контракта) для каждой из участвующих сторон;

– разработка планов выполнения финансовых операций, в т. ч. планов погашения задолженностей;

– измерение зависимости конечных результатов операции от основных ее параметров;

– определение допустимых критических значений этих параметров и расчет параметров эквивалентного (безубыточного) изменения первоначальных условий операции.

 

Время – важнейший фактор финансовых расчетов. При проведении финансовых операций суммы денег связываются с конкретными моментами или периодами времени. Существует принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени, или, по-другому, принцип изменения ценности денег во времени. Обоснование: возможность инвестирования денег и получения дохода; инфляция; риски в экономике.

Суммирование денег, относящихся к разным периодам времени допустимы в бухгалтерском учете, но недопустимы при принятии решений финансового характера.

Принцип финансовой эквивалентности – равенство (эквивалентность) финансовых обязательств сторон, участвующих в операции.

Процентные деньги (проценты) – абсолютная величина дохода от представления денег в долг в любой форме: выдача ссуды, продажа товара в кредит, учет векселя и т. д.

Процентная ставка – относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени, т. е. отношение дохода (процентных денег) к сумме долга. Она измеряется в виде дроби или в процентах.

Период начисления – временной интервал, к которому привязана процентная ставка (год, полугодие, квартал и т. д.) Чаще всего используется год..

Наращение (рост) – процесс увеличения суммы денег в связи с присоединением процентов.

Дисконтирование – определение процентов при движении во времени в обратном направлении (от будущего к настоящему). В этом случае сумма денег, относящаяся к будущему, уменьшается на величину соответствующего дисконта (скидки).

В финансовом анализе процентная ставка является измерителем доходности (эффективности) любой финансовой операции.

Если при начислении процентов применяют постоянную базу для начисления процентов, то используются простые процентные ставки. Если эта база последовательно изменяется на каждом этапе наращения или дисконтирования, то используют сложные процентные ставки.

Важным является выбор принципа расчета процентных денег. Существует два принципа: от настоящего к будущему и от будущего к настоящему. В первом случае применяют ставки наращения, во втором – дисконтные (учетные) ставки. Проценты, полученные по ставке наращения, называются декурсивными, по учетной ставке – антисипативными [5, с. 11–19].

 

2. Наращение и дисконтирование
по простым процентным ставкам

Формула наращения

Введем обозначения:

I – проценты за весь срок ссуды;

P – первоначальная сумма долга. Другое обозначение – PV (present value);

S – наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока. Другое обозначение – FV (future value);

i – ставка наращения процентов (десятичная дробь) (как правило, годовая ставка);.

n – срок ссуды (как правило, в годах).

 

Проценты, начисленные за весь срок: . Тогда наращенная сумма

 

. (2.1)

 

(2.1) – формула наращения по простым процентам, или формула простых процентов. Множитель – множитель наращения простых процентов.

 

Рис. 2.1

 

Пример 2.1. Определим проценты и сумму накопления долга, если ссуда равна 700 тыс. руб., срок 4 года, проценты простые по ставке 20 % годовых (i = 0,2).

 

тыс. руб.;

тыс. руб.

Увеличим ставку в два раза. Сумма процентов удвоится, однако наращенная сумма увеличится в раза [5, с. 20–21].