Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд

Выразим срок n в виде дроби:

 

, (2.2)

 

где t – число дней ссуды, K – число дней в году, или временная база начисления процентов.

Применяют две временные базы: K = 360 дней (12 месяцев по 30 дней) и K = 365 (366) дней. Если К = 360, то получают обыкновенные (коммерческие) проценты. Если К = 365 (366), то – точные проценты.

Число дней ссуды также измеряют приближенно либо точно. При приближенном способе длительность каждого месяца принимается равной 30 дням. При точном способе подсчитывается число дней между датой выдачи и датой погашения. При этом дата выдачи и дата погашения считаются за один день.

 

На практике используется три варианта:

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды.

Обозначение в документе: 365/365 либо ACT/ACT.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды.

Метод иногда называется банковским. Обозначается: 365/360 либо ACT/360. Этот метод дает несколько больший результат, чем применение точных процентов.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Применяется, когда не требуется большой точности. Обозначение: 360/360.

 

Пример 2.2. Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20 января 2008 года до 8 октября 2008 года включительно под 18 % годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов.

Применим все три метода.

1. 365/365.

 

руб.

 

2. 365/360.

 

руб.

 

3. 360/360.

 

руб.

 

Если общий срок ссуды захватывает 2 смежных календарных года и есть необходимость в делении суммы процентов между ними, то

 

,

 

где n ₁ и n ₂ – части срока ссуды, приходящиеся на каждый календарный год [5, с. 21–23].

 

 

Переменные ставки

Если предусмотрено изменение процентной ставки во времени, то сумма, наращенная на конец срока:

 

, (2.3)

где i_t – ставка простых процентов в периоде t; n_t – продолжительность периода с постоянной ставкой, .

Пример 2.3. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год – 16 %, в каждом последующим полугодии ставка повышается на 1 %. Необходимо найти множитель наращения за 2,5 года.

 

[5, с. 24].

 

 

2.1.3. Начисление процентов при изменении суммы депозита
во времени

В этом случае

 

, (2.4)

 

где Rj – остаток средств на счете в момент j после очередного поступления или списания средств; n_j – срок хранения денег (в годах) до нового изменения остатка средств на счете.

В банковско-сберегательном деле обычно применяют следующий способ. Интервалы между моментами изменений величины остатка на счете выражают в днях, а процентную ставку – в процентах (а не в десятичных дробях). Тогда получим:

 

, (2.5)

 

где К – число дней в году; t_j – срок в днях между последовательными изменениями остатков на счете.

Величину называют процентным числом, аделитель – процентным (постоянным) делителем.

 

Пример 2.4. Движение средств на счет характеризуется следующими данными: 5 февраля 2009 года, поступило 12 млн. руб., 10 июля снято 4 млн. руб., 20 октября поступило 8 млн. руб. Процентная ставка – 18% годовых. Найти сумму на счете на конец года.

 

Процентный делитель .

 

Дата	Движение средств	Остаток, Rj	Срок, tj (дней)	Процентное число
5.02.08				18,60
10.07.08	-4			8,16
20.10.08				11,52
31.12.08	–		–	–
Итого				38,28

 

Сумма процентов за весь срок составит млн. руб. [5, с. 24–25].

 

 

Реинвестирование по простым ставкам

Иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока. Фактически это означает реинвестирование средств, полученных на каждом этапе наращения, с помощью постоянной или переменной ставок. Наращенная сумма для всего срока составит:

 

, (2.6)

 

где i_t – размер ставок, по которым производится реинвестирование.

Если промежуточные строки n_t и ставки i_t не изменяются, то получим

 

, (2.7)

 

где m – число повторений реинвестирования.

 

Пример 2.5. 100 млн. руб. положены 1 января на месячный депозит под 20 % годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется 3 раза?

 

1. Начислим точные проценты (365/365):

 

млн. руб.

 

2. Обыкновенные проценты (360/360):

 

млн. руб. [5, с. 25–26].

 

 

Погашение задолженности частями

Контур финансовой операции

Пусть выдана ссуда P на срок T. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся два платежа R ₁ и R ₂,а в конце срока выплачивается остаток R ₃.

 

 

Рис. 2.2. Контур финансовой операции

 

Такой график называется контуром операции. На интервалах t ₁, t ₂ и t ₃ задолженность возрастает в силу начисления процентов. Сбалансированная операция обязательно имеет замкнутый контур [5, с. 26–27].

 

 

Частичные платежи

Краткосрочные обязательства иногда погашаются с помощью ряда промежуточных платежей. В этом случае важно решить, какую сумму брать за базу для расчета процентов и каким путем определять остаток задолженности.

Существует два метода. Актуарный метод применяется в основном в операциях сроком более года. Правило торговца – в сделках со сроком не более года. Если иное не оговорено, то в обоих случаях используются обыкновенные проценты с приближенным числом дней (360/360).

 

I. Актуарный метод. Он предполагает последовательное начисления процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница (остаток) идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток служит базой для начисления процентов за следующий период и т. д. Если же частичный платеж меньше суммы начисленных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются, а поступление денег приплюсовывается к следующему платежу.

Для рисунка 2.2 получим следующие расчетные формулы для определения остатка задолженности K_j:

 

(2.8)

 

Поскольку задолженность на конец срока должна быть погашена полностью, то:

 

.

 

Пример 2.6. Имеется обязательство погасить за 1,5 года (с 12.03.07 по 12.09.08) долг в сумме 15 млн. руб. Кредитор согласен получать частичные платежи. Процентная ставка – 20 % годовых. Произведены следующие частичные платежи (в тыс. руб.):

 

12.06.07 – 500 тыс. руб.

12.06.08 – 5000 тыс. руб.

30.06.08 – 8000 тыс. руб.

12.09.08 –? тыс. руб.

 

Решение

 

12.03.07 долг 15000 тыс. руб.

12.06.07 долг с процентами 15750 тыс. руб.

поступление –500 тыс. руб.

 

Поступление меньше начисленных процентов (750), поэтому сумма 500 тыс. руб. присоединяется к следующему поступлению.

 

12.06.08 долг с процентами 18750 тыс. руб.

поступление (500 + 5000) –5500 тыс. руб.

 

остаток долга 13250 тыс. руб.

30.06.08 долг с процентами 13382,5 тыс. руб.

поступление (8000) –8000 тыс. руб.

 

остаток долга 5382,5 тыс. руб.

12.09.08 долг с процентами 5597,8 тыс. руб.

 

Контур операции показан на рис. 2.3.

 

Рис. 2.3

 

 

II. Правило торговца. Если срок ссуды не превышает одного года, то сумма долга с процентами остается неизменной до полного погашения. А частичные платежи накапливаются с начисленными на них до конца срока процентами. Последний взнос должен быть равен разности этих сумм.

Алгоритм записывается следующим образом:

 

, (2.9)

 

где Q – остаток долга на конец срока; S – наращенная сумма долга; K – наращенная сумма платежей; Rj – сумма частичного платежа; n – общий срок ссуды; t_j – интервал времени от момента платежа до конца срока ссуды.

 

 

Рис. 2.4. Графическое изображение операции при двух промежуточных платежах

 

Пример 2.7. Обязательство 1,5 млн. руб., взятое 10.08.07, должно быть погашено 10.06.08. Процентная ставка – 20% годовых. В счет погашения долга 10.12.07 поступило 800 тыс. руб. Найти остаток долга на конец срока.

 

1. Правило торговца

 

млн. руб.

 

2. Актуарный метод

млн. руб. [5, с. 26–29].