Производные процентные расчеты

Средние процентные ставки

Если в финансовой операции размер процентной ставки изменяется во времени, то все значения ставки можно обобщить с помощью средней. Замена всех усредняемых значений ставок на среднюю процентную ставку не изменяет результатов наращения или дисконтирования.

 

 

Простые ставки

Пусть за периоды n ₁, n ₂, …, n_k начисляются простые проценты по ставкам i ₁, i ₂, …, i_k. Приравниваем множители наращения

 

.

 

Отсюда получим

 

, (4.1)

 

где – общий срок наращения процентов.

Аналогично определяется средняя учетная ставка:

 

. (4.2)

 

Пример 4.1. Контракт предусматривает переменную по периодам ставку простых процентов: 20, 22 и 25 %. Продолжительность последовательных периодов начисления процентов: 2, 3 и 5 лет. Какой размер ставки приведет к аналогичному наращению исходной суммы?

 

, или 23,1 % [5, с. 66–67].

 

 

Сложные ставки

Из равенства множителей наращения

 

 

следует

 

. (4.3)

 

Т. о., получаем среднюю геометрическую из переменных ставок.

 

Пример 4.2. Для первых двух лет ссуды применяется ставка 15 %, для следующих трех лет она равна 20 %. Найти среднюю ставку.

 

, или 17,974 % [5, с. 67].

 

 

Усреднение ставок в однородных операциях

Если применяются простые ставки и сроки этих операций одинаковые (n), то из равенства

 

 

следует

 

. (4.4)

 

Для усреднения сложных ставок для однородных ссудных операций при одинаковых сроках этих операций (n)

 

. (4.5)

 

Формулы (4.4) и (4.5) получены для частных случаев, когда сроки ссуд одинаковы [5, с. 67–68].

 

 

Эквивалентность процентных ставок

В принципе соотношения эквивалентности можно найти для любой пары ставок различного вида – простых и сложных. Формулы эквивалентности во всех случаях получают исходя из равенства множителей наращения, взятых попарно.

В качестве примера определим соотношение эквивалентности между простой и сложной ставками. Приравняем множители наращения:

 

,

 

где i_s и i – ставки простых и сложных процентов.

Приведенное равенство предполагает, что начальные и наращенные суммы при применении двух видов ставок идентичны (см. рис. 4.1).

Решая приведенное выше равенство, получим соотношения эквивалентности [5, с. 68–69]:

 

, (4.6)

 

. (4.7)

 

Рис. 4.1

 

 

Эквивалентность простых процентных ставок

При выводе соотношений между ставкой процента и учетной ставкой, следует иметь в виду, что при применении этих ставок используется временная база K = 360 или K = 365 дней. Если временн ы е базы одинаковые, то из равенства соответствующих множителей наращения следует:

 

, (4.8)

 

, (4.9)

 

где n – срок в годах, i_s – ставка простых процентов, d_s – простая учетная ставка.

 

Пример 4.3. Вексель учтен за год до даты его погашения по учетной ставке 15 %. Какова доходность учетной операции в виде процентной ставки?

 

По формуле (4.8) находим

 

, или 17,647 %.

 

Иначе говоря, операция учета по учетной ставке 15 % за год дает тот же доход, что и наращение по ставке 17,647 %.

 

Отношения между ставками i_s и d_s существенно зависят от срока операции. Например, для d = 10 % получим следующие размеры эквивалентных ставок:

n (в годах)	0,1	0,5
is (%%)	10,1	10,5	11,1	12,5		∞

 

Пусть срок ссуды измеряется в днях, тогда, подставив в (4.8) и (4.9) (t – срок ссуды в днях, K – временная база), получим:

 

а) временные базы одинаковы и равны 360 дням:

 

, (4.10)

 

. (4.11)

 

б) если при начислении процентов принята база K = 365, а для учетной ставки K = 360, то

, (4.12)

 

. (4.13)

 

Пример 4.4. Необходимо найти величину учетной ставки, эквивалентной годовой процентной ставке 40 % (K = 365) при условии, что срок учета равен 255 дням.

 

Находим по формуле (4.13)

 

, или 30,835 % [5, с. 69–70].

 

 

Эквивалентность простых и сложных ставок

Рассмотрим соотношения эквивалентности простых ставок i_s и d_s, с одной стороны, и сложных ставок i и j – с другой стороны. Сложную учетную ставку рассматривать не будем. Попарно приравняв друг к другу соответствующие множители наращивания, получим искомое соотношения.

 

Эквивалентность i_s и i: см. формулы (4.6) и (4.7).

 

Эквивалентность i_s и j:

 

, (4.14)

 

, (4.15)

 

Эквивалентность d_s и i:

 

, (4.16)

 

, (4.17)

 

Эквивалентность d_s и j:

 

, (4.18)

 

. (4.19)

 

Пример 4.5. Какой сложной годовой ставкой можно заменить в контракте простую ставку 18 % (K = 365), не изменяя финансовых последствий? Срок операции 580 дней.

 

По (4.7) получим эквивалентную сложную ставку:

 

, или 17,153 % [5, с. 71].