Модель із обліком невиконаних замовлень

Нехай Т – інтервал часу між двома послідовними перевірками, у кожній із яких фіктивний рівень запасів поповнюється до величини  Необхідно визначити оптимальні значення

Введемо позначення:

період роботи системи управління запасами (інтервал часу між двома послідовними перевірками);

 час поставки замовлення;

фіктивний рівень запасів (обсяг наявних запасів плюс обсяг ще невиконаних замовлень)

щільність імовірності попиту обсягу х за час

інтенсивність попиту;

середній попит за час поставки;

вартість подачі замовлення на поповнення запасу;

вартість перевірки рівня запасів;

вартість одиниці запасів;

коефіцієнт витрат зберігання запасів;

витрати зберігання запасу;

витрати, пов’язані із обліком невиконаних замовлень.

У середні річні витрати потрібно включити: a) вартість перевірки; б) витрати, пов’язані із подачею замовлень на поповнення; в) витрати зберігання; г) витрати, пов’язані із обліком невиконаних замовлень.

Перевірки проводяться один раз за період Т, і тому середня вартість перевірки складає  а середні витрати, пов’язані із подачею замовлення, дорівнюють  Оскільки кожна перевірка обов’язково супроводжується замовленням на поповнення запасів, то у цьому випадку вартість перевірки і витрати на замовлення можна об’єднати. Якщо позначити через  суму  то середні витрати на перевірку і подачу замовлень складуть

За означенням -моделей, зразу ж після подачі замовлення фіктивний рівень запасів у системі дорівнює  Тому до моменту поставки математичне сподівання чистого запасу складає  де середній попит за час поставки. Оскільки середня інтенсивність попиту постійна, то середній рівень чистого запасу лінійно убуває у часі і до моменту чергової поставки дорівнює  Отже, середній інтегральний обсяг запасів або середнє число одиниць товарів за один період наближено визначається величиною

так що середні річні витрати зберігання складають

                          (5.1)

Для того, щоб підрахувати середні річні витрати на облік замовлень, необхідно визначити середню кількість врахованих замовлень за рік. Для цього обчислимо середню кількість таких замовлень за один період і усереднимо їх по Т. Розглянемо спочатку випадок постійного часу поставки. Товари, які заказані в момент часу  надійдуть на склад в момент  де час поставки, а наступне поповнення запасів відбудеться в момент  Одночасно із подачею замовлення в момент часу  фіктивний рівень запасів у системі стає рівним  Підрахуємо середню кількість замовлень, врахованих на інтервалі від  до  Замовлення реєструється тільки у тому випадку, коли попит за час  перевищить рівень  Звідси середня кількість врахованих за період замовлень дорівнює

                             (5.2)

Припустимо тепер, що час поставки  випадкова величина із щільністю розподілу  і нехай область можливих значень часу поставки обмежена знизу і зверху величинами  і . Тоді якщо  і  означають часи поставок для замовлень, поданих відповідно в моменти часу  то середня кількість врахованих за період замовлень складе

      (5.3)

де

  (5.4)

Якщо покласти  рівній  при постійному часі поставки , а для випадкового часу поставки визначити функцію  співвідношенням (5.4), то середня кількість врахованих за період замовлень буде визначатись виразом (5.3). За рік враховується в середньому  замовлень:

                       (5.5)

Отже середні річні витрати по обліку замовлень складуть

                                (5.6)

Усі доданки сумарних річних витрат тепер визначені. Загальні середні річні витрати даються наступним виразом:

        (5.7)

Значення  яке мінімізує функцію  при фіксованому Т, задовольняє рівнянню

                       (5.8)

у якому

                                 (5.9)

Таким чином,  яке є оптимальним значенням  є розв’язком  рівняння:

                                     (5.10)

Рівняння (5.10) при умові  для усіх  має єдиний розв’язок. Зауважимо, що при  рівняння (5.10) не має розв’язку. Виконання цієї умови означало б, що черга зареєстрованих замовлень зростає надто швидко. Тому, якщо справедливі прийняті спочатку припущення, то вказана вище нерівність виконуватись не може.