Система управління запасами з дефіцитом

Алгоритм реалізації моделі

v задаємо вхідні дані моделі

v записуємо вирази для кількості поставок  і інтервалу часу між поставками ;

v визначаємо функції витрат  і функцію загальних витрат ;

vзастосовуючи оператор диференціювання, знаходимо похідну  від функції  по  q;

v розв’язуючи рівняння  за допомогою функції Mathcad , визначаємо оптимальний розмір партії постачання ;

v визначаємо оптимальну кількість поставок  і інтервал часу між поставками  для значення ;

v визначаємо мінімальне значення функції витрат .

Алгоритм у Mathcad

 

 грош. од.

Коментар. Одержали такі результати: розмір найбільш економічної поставки дорівнює  одиниць і залишився таким же, як і в попередній моделі. Кількість поставок також не змінилася і дорівнює  Інтервал часу між поставками дорівнює доби. Загальні витрати збільшились і дорівнюють 71,9 грош. од. Це сталось у наслідок того, що у витратах на поставку враховується розмір поставки, що збільшує ці витрати.    ▲

Модель 2   

Обсяг витраченого товару за час t дорівнює b(t), обсяг товару, який зберігається на складі в момент t дорівнює різниці між розміром поставки на початку періоду і обсягом витраченого товару за час t: .

Миттєві витрати в момент часу t дорівнюють  а час , за який буде повністю вичерпано запас, є функцією від q і визначається із рівняння  

Якщо врахувати, що кількість партій постачання дорівнює , то загальні витрати за період u(q) дорівнюють

.                 (2.14)

Знаходячи похідну від функції C(q) по  q –  та розв’язуючи рівняння , одержуємо точку , яка є точкою мінімуму функції C(q). Оптимальне значення функції C(q) знаходимо, підставляючи в неї значення , одержуємо  Значення  визначає глобальний мінімум, оскільки функція C(q) є  строго вгнутою функцією.

Оптимальну кількість поставок і оптимальний інтервал часу між поставками  знаходимо за формулами (2.3).

Приклад 2.3. Розглянемо складську систему із наступними параметрами: інтенсивність витрачання запасу і витрати на постачання є лінійними функціями відповідно часу і обсягу партії постачання q:  і  Для параметрів  візьмемо ті ж числові дані, що і в прикладі 2.2:  Q=3650,  T=365, ,

Визначимо, як і раніше, найбільш економічний розмір партії товарів , який мінімізує функцію витрат C(q), а також обчислимо кількість поставок  та інтервал часу між поставками

Розв’язання. Позначаючи довжину періоду, у якому витрачається черговий запас, замість τ через u(q), алгоритм буде мати наступний вигляд.

Алгоритм реалізації моделі

v задаємо початкові значення параметрів моделі:

v записуємо вирази для визначення  інтенсивності витрачання запасу b(t), кількості поставок k(q) і інтервалу часу між поставками  τ(q);

v визначаємо рівень запасу в момент часу t  і момент вичерпання запасу

v визначаємо функції витрат  і функцію загальних витрат ;

v знаходимо похідну від функції  по q:

v визначаємо оптимальний розмір партії постачання , розв’язуючи за допомогою функції root( ,q) рівняння ;

v визначаємо оптимальну кількість поставок  і інтервал часу між поставками  за формулами (2.3), підставляючи в них значення ;

v визначаємо мінімальне значення функції витрат  грош. од.

Алгоритм у Mathcad

 

 

грош. од.

Коментар. Оптимальна стратегія управління запасами у даній моделі передбачає такі значення параметрів системи: розмір найбільш економічної партії поставки дорівнює  одиниць, частота замовлень дорівнює  разів на рік, відповідний інтервал часу між поставками дорівнює доби. Загальні витрати на постачання і зберігання запасу складають  грош. од.  ▲

У попередній моделі ми прийняли припущення, що дефіцит не допускається. Це означало повне задоволення попиту на продукт, що запасається, тобто збіг інтенсивності попиту та інтенсивності витрачання запасу. У даній моделі припустимо, що дефіцит можливий. Це означає, що при відсутності запасу товару попит зберігається з тією ж інтенсивністю b(t), що і раніше, але споживання запасу нема, у наслідок чого накопичується дефіцит.

Очевидно, що якщо дефіцит у системі не приводив би до додаткових витрат, пов’язаних із можливими штрафами або втратою прибутку, то оптимально було б не мати взагалі наявного запасу. З іншого боку, якщо ці витрати досить великі, то взагалі не слід допускати дефіциту. При проміжних значеннях витрат, пов’язаних із дефіцитом, оптимально допустити його у кінці циклу.

Припустимо, що інтенсивність попиту b(t), вартість поповнення запасу , витрати на зберігання запасу  і витрати у наслідок дефіциту  задані у вигляді наступних функцій: , , де t – час, q – обсяг партії поповнення запасу. У загальному випадку вказані функції включають постійні складові і складові, пропорційні часу або обсягу поставки. Зокрема, витрати з урахуванням дефіциту, пропорційні часу відсутності запасу при наявності попиту.

Модель 1.     

Введемо позначення:

Q – загальний обсяг споживання товару протягом часу Т;

q –  обсяг поставки;

 інтенсивність витрачання запасу;

s – максимальний рівень запасу;

– обсяг дефіциту (кількість незадовільнених вимог, зареєстрованих до моменту поставки);

 – інтервал часу, коли в системі є наявний запас;

 – інтервал часу, протягом якого у системі є дефіцит товару;

 – витрати на створення або поставку однієї партії товару, які не залежать від її обсягу, грош. од.;

 – витрати на зберігання одиниці запасу в од. часу, грош. од.;

 – витрати, пов’язані з дефіцитом запасу, грош. од.

Інші параметри моделі мають такий же смисл, як і в попередній моделі.

Графік зміни рівня запасу представлений на рисунку 2.3.

 

 

 

Рис. 2.3. Зміна рівня запасу

Припустимо, що в момент перед поставкою поповнення запасу в системі кожний раз є дефіцит у  незадоволених вимог. Після поставки поповнення в обсязі q одиниць ці  вимог негайно задовольняються і наявний запас у системі складе s одиниць.

Убування графіка нижче осі абсцис в область від’ємних значень характеризує накопичення дефіциту. На рисунку 2.3 видно, що кожний період  розбивається на два часових інтервали, тобто , де – час, протягом якого відбувається споживання запасу, – час, коли запас відсутній і накопичується дефіцит, який буде покритий в момент надходження наступної партії. Із графіка легко встановити, що

В даній моделі у функцію сумарних витрат C (витрат за період T) поряд з витратами  на поповнення запасу і витратами  на зберігання запасу необхідно ввести витрати , пов’язані із дефіцитом. Тоді функція витрат дорівнюватиме

Витрати  за період T, який складається із k циклів, як і раніше, визначаються за формулою

.

Витрати на зберігання середнього запасу за час споживання  дорівнюють

.

Відповідно ці витрати за період T складуть

При розрахунку витрат  будемо вважати, що штраф за дефіцит на кожну одиницю продукту в одиницю часу складає . Оскільки середній рівень дефіциту за період  дорівнює  то витрати за цей період складуть  а за весь період T з урахуванням (2.3) дорівнюватимуть

Тепер загальні витрати за формулою  дорівнюють

                  (2.15)

Неважко помітити, що при q = s формула (2.15) співпадає з раніш одержаною формулою (2.4) в моделі без дефіциту.

Таким чином, задача управління запасами в моделі з дефіцитом зводиться до пошуку такого обсягу партії q і максимального рівня запасу s, при яких функція витрат С(q, s) приймає мінімальне значення.

Іншими словами, необхідно дослідити функцію двох змінних  на екстремум. Прирівнюючи частинні похідні   та  до нуля, після перетворень одержимо систему рівнянь

Розв’язавши цю систему відносно q і s, отримаємо формули найбільш економічного обсягу партії  і максимального рівня запасу  для моделі з дефіцитом.

,       (2.16)

      (2.17)

Величина

                                         (2.18)

називається щільністю збитків через незадоволення попиту та відіграє важливу роль в аналізі систем управління запасами. Відмітимо, що в реальних системах управління запасами  Якщо значення  мале у порівнянні з ,то величина ρ близька до нуля;  коли  значно більше ,то ρ близька до 1.

Недопустимість дефіциту ототожнюється з припущенням, що  або  

Враховуючи (2.16) і (2.17) можна записати

   та .

Тому твердження про те, що щільність збитків у наслідок незадовільненого попиту дорівнює  означає, що впродовж ρ100% часу від повного періоду τ система буде бездефіцитна, а впродовж (1–ρ)100% часу запас буде відсутній. У ймовірнісних термінах це означає, що ймовірність вичерпання запасів дорівнює

Одержувана звідси формула

                                          (2.19)

дозволяє оцінити  за відомою ймовірністю вичерпання запасу

Із формул (2.6) і (2.16) випливає, що оптимальні обсяги партій для моделі з дефіцитом  і моделі без дефіциту  (обчислений за формулою Уілсона), пов’язані співвідношенням

                                               (2.20)

Це означає, що оптимальний обсяг партії в моделі з дефіцитом у  раз більше ніж в моделі без дефіциту.

У цій моделі, як і у попередніх, ми припускали, що поставки здійснюються миттєво в момент подачі замовлення. Якщо припустити, що поставка здійснюється з деякою затримкою  то замовлення на поставку товарів повинно здійснюватись при зниженні запасу до рівня, який би давав можливість задовольняти попит на товари протягом часу  Визначаючи щоденну потребу в товарі (інтенсивність витрати запасу) за формулою (2.1), рівень запасу , при якому робиться замовлення обчислюємо за формулою

.

В принципі точку замовлення у даній моделі визначають таким же чином, як і в розділі 2.1. Але треба по-новому визначити поняття “рівень запасів”. Поняття “наявний запас” вже не годиться, тому що в момент подачі замовлення наявний запас може бути відсутнім, а враховані замовлення можуть бути. Зручно замінити наявний запас різницею наявного запасу і обсягу врахованих вимог, яка називається чистим запасом. Якщо є наявний запас, то врахованих вимог не буде і чистий запас буде додатним. Якщо є враховані вимоги, то не буде наявного запасу, а чистий запас буде від’ємним. При використанні поняття чистого запасу точка замовлення буде дорівнювати

,

де m означає найбільше ціле число, менше або рівне  де u – час поставки,  – тривалість циклу, = b u – обсяг попиту за час поставки (тобто кількість замовлених одиниць товару з моменту подачі замовлення і до моменту поставки),  – обсяг дефіциту. Величина  може приймати від’ємні значення. З іншого боку, це означає, що замовлення подається в момент, коли обсяг врахованих вимог досягає величини . Сума наявного запасу і замовленого товару замінюється тепер сумою наявного запасу мінус обсяг врахованих замовлень при дефіциті товару. Ця сума називається фіктивним рівнем запасів у системі. При використанні фіктивного рівня запасів точка замовлення дорівнює , причому  може приймати також від’ємні значення. 

Приклад 2.4. Визначимо оптимальний розмір партії, максимальний рівень запасу, оптимальну кількість поставок і оптимальний інтервал часу між поставками для моделі з дефіцитом за даними прикладу 2.3. Введемо додаткову умову, що відсутність на складі потрібного товару приносить збиток у розмірі 3,5 грн. на одиницю товару.

Визначимо також: a) на скільки відсотків збільшаться витрати на створення і зберігання запасу в обсязі  що замовляється, відмінного від оптимального розміру ; b) точку замовлення партії товару, коли строк виконання замовлення дорівнює  днів.

Розв’язання. За умовою задачі Q=3650, T=365, , , , .