Модель системи з залежними від часу витратами

Дискретна модель

Введемо позначення:

– імовірність попиту k одиниць продукції протягом періоду;

 –обсяг замовленої у періоді продукції;

 – вартість продажу одиниці товару;

 – вартість продажу продукції, яка не була реалізована до кінця періоду;

 – вартість одиниці закуповуваної продукції;

– збитки, пов’язані із незадоволенням попиту.

Нехай попит є дискретна випадкова величина з розподілом  Якщо на початку періоду було заготовлено запас у q одиниць продукції, то математичне сподівання прибутку за період складе

     (3.37)

де – середній попит продукції за період.

Значення q, яке максимізує середній прибуток, є таке найбільше q, для якого .

Оскільки

                    (3.38)

де  то оптимальним , буде найбільше q, для якого

             (3.39)

Наведемо приклади, які ілюструють усю різноманітність практичних задач, у яких використовується наведена модель.

Приклад 3.11. У великому продовольчому магазині необхідно визначити, скільки хліба потрібно замовляти на день. Вивчення продажу хліба показало, що попит за день можна вважати випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом із середнім 300 і середнім квадратичним відхиленням 50. Один батон продається за 1,2 грош. од. Собівартість товару для магазину складає 0,9 грош. од. за батон. Весь не проданий хліб збувається на наступний день по ціні 0,72 грош. од. за штуку. Треба визначити оптимальний розмір закупівлі хліба, який максимізує середню виручку.

У прийнятих у моделі позначеннях маємо:

Алгоритм реалізації моделі

v задаємо висхідні дані

v обчислюємо імовірність р (критичне відношення );

v для нормованої випадкової величини  з параметрами  визначаємо квантиль  нормованого нормального розподілу, де  – функція, обернена до функції . У Mathcad величина  визначається за оператором . Оптимальна кількість товару  яка потрібна для задоволення попиту на даний період, визначається за формулою

Для визначення  можна застосувати і інший алгоритм,  розв’язуючи рівняння  відносно , де . Розв’язуючи це рівняння за допомогою оператора Mathcad  знаходимо значення  яке співпадає з попереднім значенням.

v записуємо вираз для математичного сподівання прибутку P(q). Функції , які входять у цей вираз, можна обчислювати за операторами Mathcad

;

v визначаємо середню кількість невикористаних автомобілів n і максимальне значення функції прибутку  

Алгоритм у Mathcad

Алгоритм 1

Алгоритм 2

 

Порівняємо середню денну виручку для випадку, коли у день закуповується  батонів, із середньою виручкою, коли у день закуповується  батонів, тобто таку кількість, яка дорівнює середньому попиту .

При  одержуємо

Абсолютна і відносна зміна прибутку

Коментар. Оптимальна політика управління запасами хліба полягає у закупівлі щоденно  батонів по ціні 0,9 грош. од. При продажу батонів по ціні  грош. од. у день і реалізації їх на наступний день по ціні 0,72 грош. од. при середній кількості  непроданих батонів, математичне сподівання прибутку дорівнюватиме  грош. од.

Якщо закуповувати не  а , то математичне сподівання прибутку дорівнюватиме  грош. од.

Таким чином, використовуючи оптимальне значення  одержимо у порівнянні з  щоденний виграш у 0,47 грош. од., тобто біля 0,6 % від усієї виручки. ▲

Приклад 3.12. В умовах попередньої задачі розглянемо тепер випадок, коли при неспроможності задовольнити попит покупців магазин несе збитки, пов’язані із втратою очікуваного прибутку. Ці збитки оцінюються у розмірі  грош. од за одиницю товару.

Як і в попередній задачі визначимо оптимальний обсяг замовлення батонів  і максимальний очікуваний прибуток , який може одержати магазин, замовляючи батони у кількості  штук. Визначимо також величину виручки , якщо замовляти  батонів.

Для розв’язання цієї задачі застосуємо попередній алгоритм.

Алгоритм у Mathcad

   

Коментар. Результати розрахунків показують, що виручка у першому випадку, коли замовляється  батонів, дорівнює  грош. од.  і помітно відрізняється від виручки  грош. од., одержуваної при середній їх кількості  батонів.    ▲

Приклад 3.13. Кондитерська замовляє шоколад у фірми кондитерських виробів, яка обслуговує декілька магазинів. Власник кондитерської повинен вирішити, скільки йому слід замовляти шоколадних фігурок до свята. Замовлення потрібне не пізніше, ніж за 2 місяці до свята. Кожна шоколадна фігурка обходиться магазину у 10 грош. од., а продається за 28 грош. од. Сума, витрачена на нереалізований за свята шоколад, складає платіжний дефіцит. Можна стверджувати, що за тиждень свят магазину напевно вдасться продати не менше 100 фігурок, але не більше 500. Продаж будь-якої кількості між 100 і 500 вважається рівноімовірними подіями, тобто магазин припускає, що обсяг попиту рівномірно розподілений на інтервалі від 100 до 500. Визначимо оптимальний обсяг замовлення шоколаду і прибуток, який може одержати кондитерська.

Якщо вважати обсяг попиту неперервною випадковою величиною, розподіленою за рівномірним законом, то відповідна щільність імовірностей дорівнює

Функція  визначається співвідношенням

Із наведених вище даних  і умова для визначення оптимального  має вигляд

де

Середня кількість нерозпроданих до кінця свят шоколадних фігурок при умові, що до початку свят їх було замовлено q штук , дорівнює

Середній очікуваний прибуток як функція розміру замовлення  визначається наступним співвідношенням

Алгоритм у Mathcad

 

Оптимальний обсяг поставки

або

Коментар. Оскільки  і , то середня кількість нерозпроданих за свята фігурок при умові, що до початку періоду їх було замовлено  штук дорівнює  штуки. Середній прибуток складає  грош. од. і  грош. од.

Результати розрахунків показують, що виручка у першому випадку, коли замовляється  батонів дорівнює  грош. од. і помітно відрізняється від виручки  грош. од., одержуваної при  замовленні  батонів.

Таким чином, якщо розмір замовлення на 29 одиниць перевищує середній обсяг попиту, то це приводить до збільшення прибутку на 114,3 грош. од. Але слід звернути увагу на те, що середня кількість нереалізованих одиниць товару може складати  одиниць. ▲

Приклад 3.14. Одночасно з випуском літаків виготовляються і деякі запасні частини до них. Після того, як збірка літака закінчена, вже важко дістати до нього додаткові запасні частини. Після закінчення збірки літака треба визначити, скільки запасних частин певного типу слід мати у комплекті до нього. Припускається, що попит на запасні частини цього типу невеликий і розподілений за законом Пуассона, а інтенсивність попиту (на основі накопиченого досвіду) складає  одиниць у рік. Розподіл терміну експлуатації літака точно невідомий. Припускається, що він може бути описаний гама-розподілом із середнім  років і середнім квадратичним відхиленням  роки. Кожна запасна частина розглядуваного типу коштує 10000 грош. од., а якщо до моменту виходу із ладу всього літака які-небудь запасні частини залишаються не використаними, то кожна із них коштує всього лише 500 грош. од. Якщо усі запасні частини комплекту витрачені, то для того, щоб дістати ще один запасний блок, необхідно витратити 26000 грош. од.

Щоб визначити, скільки запасних частин повинно бути у комплекті до літака, необхідно спочатку знайти безумовний розподіл величини попиту за час експлуатації літака. Оскільки попит на запасні частини розподілений за законом Пуассона, а термін експлуатації літака має гама-розподіл, то безумовний розподіл величини попиту представляється від’ємним біноміальним розподілом зі щільністю імовірності

Для визначення  використаємо співвідношення

,

які зв’язують  із середнім значенням  і середнім квадратичним відхиленням  для гама-розподілу.

Функція від’ємного біноміального розподілу визначається співвідношенням

Із наведених даних видно, що  і  Максимізація прибутку при  еквівалентна мінімізації середніх витрат. Отже, у цьому випадку застосовується формула аналогічна (3.18).

Таким чином, математичне сподівання функції витрат дорівнює

Якщо q означає кількість запасних частин у комплекті, то оптимальне значення  яке мінімізує середні витрати G(q), дорівнює найбільшому q, для якого виконується умова

Цю умову можна представити у вигляді

Середній попит на запасні частини за час експлуатації літака (6 років) дорівнює  одиниць. Якщо у комплекті до літака є q запасних частин, то середня кількість запасних частин, не використаних до моменту зняття літака з експлуатації, дорівнює

Для знайденого оптимального значення  визначаємо середню кількість невикористаних запасних частин  і мінімальне значення функції витрат

Алгоритм реалізації моделі

v задаємо вхідні дані задачі

v визначаємо параметри від’ємного біноміального розподілу і записуємо вирази для щільності і функції цього розподілу  відповідно;

v визначаємо критичне відношення (значення ймовірності p), яке є умовою для знаходження оптимального значення  

v визначаємо оптимальний обсяг партії поповнення запасу . При обчисленні сум з верхнім індексом рівним  береться число , значення якого достатнє для забезпечення потрібної точності обчислень;

v визначаємо кількість невикористаних запасних частин

v визначаємо мінімальне значення функції витрат

Алгоритм у Mathcad

 

Мінімальне значення витрат

Коментар. Стратегія управління запасами у даній системі полягає у створенні запасу у кількості  комплектів деталей. При цьому середній залишок невикористаних деталей становитиме  комплектів. При такій стратегії математичне сподівання мінімальних витрат буде дорівнювати  тис. грош. од.    ▲

У попередній моделі управління запасамирозглядались постійні, не залежні від часу витрати. Узагальнимо цю модель, ввівши витрати утримання запасів і втрати від дефіциту як функції часу, пропорційні відповідно терміну їх зберігання і часу між моментом надходження незадовільненої вимоги і кінцем періоду , тобто пропорційні часу тривалості дефіциту.

Отже введемо додаткові величини:

витрати, пов’язані із зберіганням одиниці запасів на момент часу , де – ціна запасів; І – коефіцієнт пропорційності, який називається коефіцієнтом витрат збереження запасів (він має розмірність – вартість в одиницю часу на одиницю капіталу, вкладеного у запаси); коефіцієнт пропорційності часу зберігання запасу;

 – втрати від дефіциту на момент часу  (вартісний коефіцієнт питомої нестачі запасу), де – постійна величина,  – втрати пропорційні часу наявності дефіциту.

Розглянемо модель для випадку попиту, розподіленого за законом Пуассона

де – параметр розподілу, який дорівнює середньому значенню попиту на інтервалі часу t.

Припустимо, що середня інтенсивність попиту  постійна, а тривалість періоду Т фіксована і невипадкова. Тоді, якщо на початку періоду на складі є s одиниць запасу, то середній очікуваний доход системи від реалізації товару за основною ціною  і реалізації залишку по ціні  за період T у залежності від попиту дорівнюватиме

(3.41)

Визначивши витрати на зберігання запасу і втрати від дефіциту за період  як

і ,

одержимо сумарні витрати на придбання товару (створення запасу), його зберігання та втрати від дефіциту

(3.42)

Прибуток системи управління запасами за період  буде дорівнювати різниці між доходом та витратами і складе

                             (3.43

Перетворимо цей вираз, обчисливши математичне сподівання попиту  у періоді  та переходячи до функції , одержимо вираз:

                      (3.44)

.

Для знаходження оптимального рівня наявних запасів , який максимізує очікуваний прибуток системи , розглянемо величину  яка у економічних термінах представляє собою приріст прибутку, пов’язаного із зміною рівня наявних запасів від величини  до s. Подальше підвищення цього рівня доцільне до тих пір, поки

Маємо

                             (3.45)

.

Найбільше s, для якого  додатне, буде оптимальним значенням запасу, який повинен бути на складі. Отже оптимальне значення  повинно задовольняти умові

.                               (3.46)

Слід правильно інтерпретувати витрати, пов’язані з дефіцитом запасів. Джерело таких витрат, звичайно, полягає у тому, що якщо, наприклад, розглядати запасні деталі до устаткування, яке використовується у випуску продукції, то  представляє інтенсивність зменшення продуктивності у наслідок простоїв устаткування, пов’язаних з відсутністю запасних деталей протягом періоду.

У деяких випадках час закінчення періоду, який співпадає з моментом повного зносу устаткування, неможливо передбачити точно, тоді його треба описувати певним імовірнісним розподілом.

Для більш докладного аналізу даної системи управління запасами інтерес можуть представляти наступні характеристики:

Ø середня кількість реалізованих одиниць запасу за період Т

;

Ø середній доход від реалізації запасу (гр. одиниць)

Ø середня кількість нереалізованого за час T запасу (залишок запасу на кінець періоду), який дорівнює різниці між рівнем запасу на початку періоду і кількістю реалізованого запасу

;

Ø середній доход від продажу залишку запасу (у гр. одиницях)

Ø середні витрати на створення запасу

Ø середні витрати на зберігання запасу (у гр.. одиницях)

Ø якщо до моменту часу T попит досяг рівня , то середня величина дефіциту за період T складає

Ø середні втрати від дефіциту дорівнюють (у гр. одиницях)

Часто важко обґрунтувати вибір певного розподілу ймовірностей. У цьому випадку краще всього задати n різних значень T_i, приписавши кожному з них імовірність  Тоді якщо на початку періоду на складі було s одиниць запасу, а середній прибуток за період тривалістю  дорівнює то усереднений по всім можливим значенням  прибуток складе

                                    (3.47)

Треба знайти s, яке максимізує вираз  Цим s буде найбільше , для якого вираз

                                   (3.48)

додатний. Кожне  має вигляд (3.37), у якому T замінюється на . У порівнянні з попереднім випадком задача визначення  значно ускладнюється.

Приклад 3.15. Автотранспортна фірма закуповує двигуни до імпортних автобусів. Попит на двигуни випадковий і описується розподілом Пуассона із середнім значенням  одиниць на рік. Закупівельна вартість двигуна дорівнює  тис. доларів. Щорічний прибуток від експлуатації двигуна складає  тис. доларів. Відомо, що через  років зберігання вартість кожного двигуна у наслідок старіння (фізичного чи морального) знижується до  тис. доларів. Витрати, пов’язані із зберіганням одного двигуна протягом часу  є функцією часу і дорівнюють  де – ціна запасного двигуна, І – коефіцієнт вартості витрат на збереження запасів в одиницю часу на одиницю капіталу, вкладеного у запаси, коефіцієнт пропорційності часу зберігання запасу. Втрати, пов’язані із дефіцитом двигуна є функцією часу і дорівнюють , де – постійна величина,  – втрати пропорційні часу наявності дефіциту. Автобус повинен пропрацювати 10 років. Двигуни можуть бути замовлені тільки одночасно із закупівлею автобусів.

Визначимо, скільки запасних двигунів  повинна закупити фірма, щоб очікуваний прибуток від експлуатації автобусів був максимальний.