Моделі управління запасами в одному періоді

Неперервна модель

У цьому випадку математичне сподівання втрат дорівнює

. (3.18)

За формулою диференціювання інтеграла по параметру, знаходимо

де .

Прирівнюючи знайдену похідну до нуля, встановлюємо, що мінімум G(s) досягається при такому значенні  при якому

                       (3.19)

Покладемо  Тоді умова (3.12) запишеться у вигляді

                                            (3.20)

Дискретна модель

Припустимо, що попит на товар на інтервалі часу  є випадковим і заданий рядом розподілу ймовірностей , де імовірність попиту на k одиниць товару. Витрати на зберігання одиниці товару в одиницю часу дорівнюють , нестача одиниці товару призводить до збитків у розмірі .

Розглянемо наступний приклад. Станція технічного обслуговування автомобілів має склад деталей. Деякі дорогокоштуючі деталі завжди повинні знаходитись на складі і видаватись за вимогою клієнтів, оскільки не можна допустити затримки у ремонті автомобілів. Який запас s цих деталей повинна мати станція технічного обслуговування на складі, щоб мати мінімум витрат, пов’язаних із зберіганням і незадоволеним попитом (втрата клієнта або термінова закупівля деталей за завищеними цінами тощо).

Позначимо через  проміжок часу між послідовними моментами поповнення запасу. У випадку коли запас менше ніж попит , інтервал  буде складатись із двох підінтервалів  і , де  – час, коли запас є,  – коли запас відсутній. Припускаючи, що зміна запасу може відбуватись лінійно, будемо мати два випадки:

1. При  середній запас на проміжку часу  дорівнює

2. При  середній запас на проміжку  і середня нестача запасу на проміжку   рівні

Математичне сподівання сумарних витрат дорівнює

 (3.21)

Мінімум функції G(s) досягається у точці , для якої виконуються нерівності

                                         (3.22)

де

,

Функція Р(s) за означенням дорівнює  Як легко помітити,  означає, що  і  відповідають оптимуму, а  означає, що оптимуму відповідають  і . Порівняння  і L(s) зразу дає  і

Приклад 3.5. Деталі, які зберігаються на складі, витрачаються рівномірно протягом дня. Витрати на зберігання однієї деталі на складі складають грн., а штраф за дефіцит деталі обходиться у  грн. для спрощення обчислень покладемо  Розподіл імовірностей попиту на деталі  заданий у таблиці

Визначимо необхідний оптимальний щоденний запас деталей на складі s, щоб можливі витрати на зберігання запасу і збитки від дефіциту були б мінімальні.

Алгоритм реалізації моделі

v задаємо величини  і розподіл імовірностей попиту

v визначаємо щільність збитків , функцію розподілу попиту Р(k) і його середнє значення m;

v записуємо вирази для цільової функції G(s) і функції L(s);

v визначаємо оптимальне значення обсягу запасу  використовуючи співвідношення (3.10). Для цього використовується оператор Mathcad  який дає значення , якщо задана умова виконується і  0  у протилежному випадку;

v визначаємо мінімальне значення цільової функції  

Алгоритм у Mathcad

    

Визначення значення яке дає мінімум функції G(s)

Коментар. У даній моделі оптимальна політика управління запасами полягає у створенні щоденного запасу деталей на складі у кількості  деталі при середньому значенні попиту  деталі. Мінімальні втрати дорівнюють  грн. ▲

Приклад 3.6. Розглянемо попередню модель при витратах , але попит розподілений за експоненціальним законом із щільністю розподілу ймовірностей  де  параметр розподілу, який дорівнює , m – середнє значення попиту. Для заданого розподілу ймовірностей середній попит m = 1,7, отже  

Визначимо оптимальний рівень запасів  і мінімальне значення математичного сподівання витрат

Обчислення проводимо за наступним алгоритмом:

v задаємо значення показників витрат  і визначаємо величину ;

v задаємо параметр експоненціального розподілу  і записуємо відповідні вирази для щільності розподілу ймовірностей  і функції розподілу ;

v записуємо вирази для функцій  і  рівняння  із якого визначаємо значення , яке є точкою мінімуму функції

Алгоритм у Mathcad

Розв’язання рівняння , визначення точки екстремуму  і мінімуму функції

Коментар. Політика управління запасами у даній моделі полягає у створенні оптимального запасу у  одиниць товару при середньому попиті  одиниць. Мінімальні витрати дорівнюватимуть  грн. ▲

Моделі систем управління запасами в одному періоді (одноетапні моделі) відображають ситуацію, коли для задоволення попиту протягом певного періоду часу продукція замовляється тільки один раз. На практиці такі задачі виникають при постачанні запасних частин або продуктів, що швидко псуються, товарів, які швидко виходять із моди, а також сезонних товарів. Наприклад, марка автомобіля застаріває і, отже, замовлення на деталі не поновлюються. Одноетапні моделі досліджуються при різних припущеннях, у тому числі при миттєвому і рівномірному попиті з урахуванням і без урахування витрат на оформлення замовлень. Припускається, що поповнення запасу здійснюється миттєво на початку періоду.

Модель визначає оптимальний рівень запасу при умові мінімізації очікуваних витрат на управління запасами, які включають витрати на розміщення замовлення (витрати на закупівлю або виробництво), витрати на зберігання і втрати від дефіциту. У зв’язку із імовірнісним характером попиту витрати на закупівлю продукції, хоча і є постійними, є суттєвим фактором у загальній функції витрат. При відомому оптимальному значенні q = q₀ оптимальне управління запасами полягає у подачі замовленняобсягом  якщо  у протилежному випадку замовлення не подається.