Рівномірний попит при відсутності витрат

Дискретна модель

Припустимо, що попит Х є дискретна випадкова величина з розподілом ймовірностей  

Функція витрат у цьому випадку визначається формулою

  (3.25)

У дискретному випадку необхідні умови мінімуму визначаються співвідношеннями

.

Визначимо

Отже,

або

Аналогічним чином можна показати, що із умови  випливає

Тому значення  повинно задовольняти нерівності

                                   (3.26)

де  – функція розподілу попиту, щільність збитків.

Для чисельної реалізації даної моделі розподіл імовірностей попиту  і відповідну функцію витрат  зручно представити у вигляді  і MC(k). Тоді нерівність для визначення оптимального значення  буде мати вигляд

                              (3.27)

Із цих нерівностей одержуємо:

Як у неперервній так і в дискретній моделі функції  і  вгнуті, тому існують єдині , і відповідно , для яких виконується умови (3.19) і (3.20) і які є точками мінімуму відповідних функцій (у дискретній моделі ).

Приклад 3.8. Автотранспортна фірма закуповує імпортні автомобілі і комплекти запасних частин до них. Протягом терміну експлуатації автомобілів деталі зберігаються на складі фірми і витрачаються у відповідності з попитом на них. Нестача запасних деталей у разі їх потреби призводить до певних збитків у наслідок простоїв автомобілів і невиконання перевезень. Витрати на закупівлю одного комплекту деталей дорівнюють 4 грош. од., середні витрати на його зберігання на складі протягом періоду – 2 грош. од., втрати від дефіциту у наслідок простою автомобілів дорівнюють 50 грош. од.

Визначимо, скільки комплектів запчастин повинна закуповувати автотранспортна фірма, якщо попит за період (наприклад, 10 років) описується одним із наступних імовірнісних розподілів:

1. Нормальним розподілом з математичним сподіванням a = 300 комплектів і стандартним відхилення 25 комплектів.

2. Рівномірним розподілом із щільністю ймовірності f(x) = 1/(b–a), де  границі розподілу кількості комплектів, і з математичним сподіванням  комплектів.

3. Дискретним розподілом , заданим у вигляді таблиці

k

0.05

0.05

0.10

0.10

0.40

0.30

Оскільки комплекти запчастин закуповуються одночасно із придбанням автомобілів на початку розглядуваного періоду, то для визначення оптимальної стратегії управління запасами запчастин застосовна описана вище модель.

Вхідні дані моделі: витрати на придбання запчастин  грош. од. за комплект, витрати на зберігання одного комплекту – 2 грош. од., втрати від дефіциту одного комплекту запчастин – 50 грош. од.

Алгоритм реалізації моделей

v задаємо початкові значення показників витрат  і запасу

v визначаємо критичне відношення  і записуємо функцію щільності нормального розподілу

v для дискретних розподілів попиту задаємо ряд розподілу  для неперервних розподілів – щільність імовірностей  f(x);

v записуємо вирази для функцій очікуваних витрат – цільових функцій задачі MC(q)  і  Для дискретного розподілу ці функції визначаються за формулою (3.17), для нормального і рівномірного розподілів – за формулою (3.15).

Оскільки у дискретній моделі розподіл імовірностей заданий у вигляді ряду розподілу то відповідну функцію витрат MC(k) представляємо як функцію від k;

v визначаємо функцію розподілу попиту F(x). Для дискретного розподілу функцію розподілу визначаємо у вигляді  Для нормального розподілу F(x) визначається за оператором Mathcad  де параметри розподілу. Для рівномірного – за оператором , де a і b – границі інтервалу рівномірного розподілу;

v записуємо рівняння  і знаходимо оптимальне значення обсягу поповнення запасу  Розв’язання рівняння одержуємо за допомогою функції Mathcad .

Для нормального розподілу попиту можна застосувати також і наступний алгоритм визначення  Для заданого значення ймовірності  визначаємо квантиль t зворотного нормованого нормального розподілу з параметрами  за оператором Mathcad  Потім визначаємо значення .

Для дискретного розподілу оптимальне значення знаходиться безпосередньо за формулою (3.19), використовуючи функцію Mathcad . При виконання умови (3.19) результатом функції є значення  у всіх інших випадках – значення 0.

v визначаємо мінімальне значення функції витрат .

Алгоритм у Mathcad

1. Нормальний розподіл

Алгоритм 1:Визначення  із рівняння

Алгоритм 2: Визначення  за формулою

 

2. Рівномірний розподіл

  

3. Дискретний розподіл

 

 

Коментар. Оптимальний обсяг замовлення запчастин для нормального розподілу попиту дорівнює  комплекти, для рівномірного розподілу –  комплекти. Математичні сподівання витрат відповідно дорівнюють  грош. од. і  грош. од. Для дискретного розподілу попиту ці показники відповідно дорівнюють  комплектів,  грош. од.   ▲