при додатковому їх поповненні

Розглянемо модель цієї задачі на прикладі визначення оптимальної кількості автомобілів транспортної фірми при випадковій кількості резервних автомобілів і випадковому їх попиті. За критерій оптимальності приймемо математичне сподівання прибутку підприємства. Припустимо, що експлуатація одного автомобіля в одиницю часу характеризується такими показниками:

прибуток від експлуатації одного автомобіля;

витрати на утримання одного автомобіля, який належить автопід-приємству;

збитки від простою одного автомобіля, який належить підприємству;

витрати на використання орендованого автомобіля;

Е – можливі втрати прибутку, пов’язані з недостачею автомобілів при наявності попиту.

Показники Р, B, C, D можуть бути розраховані за відповідними методиками. Величина Е має гіпотетичний характер і у залежності від конкретного змісту задачі може варіюватись у значних межах.

Введемо позначення:

n – кількість власних автомобілів на підприємстві;

X – дискретна випадкова величина, яка характеризує попит на транспортні послуги, виражений у необхідній кількості автомобілів;

Y – дискретна випадкова величина, яка характеризує пропозицію додаткових автомобілів, які може мати підприємство (власних неспеціалізованих автомобілів або орендованих).

Для розв’язання задачі необхідно знати закони розподілу ймовірностей випадкових величин X і Y. Позначимо через  імовірність попиту на i автомобілів, а через  імовірність пропозиції k автомобілів. Величини (i, p_i) характеризують закон розподілу ймовірностей попиту на автомобілі, (k, q_k) – розподіл імовірностей пропозиції додаткових автомобілів. Ці розподіли можуть визначатись у вигляді дискретних рядів розподілу за статистичними даними, або у вигляді розподілу Пуассона, який теж визначається за статистичними даними.

Припустимо, що підприємство має у своєму розпорядженні n основних автомобілів. Тоді множину значень Х і Y можна розбити на три області:

Ø попит на автомобілі Х менше ніж кількість основних автомобілів  і має місце втрата прибутку від невикористання автомобілів;

Ø попит на автомобілі Х перевищує кількість основних автомобілів  але є достатня кількість пропозицій додаткових автомобілів  і підприємство має можливість одержати певний прибуток від їх використання;

Ø кількість основних і додаткових автомобілів n i Y недостатня для задоволення попиту  і має місце втрачений прибуток від нестачі автомобілів.

Визначимо середній валовий прибуток підприємства в одиницю часу, який є різницею між прибутком за рахунок реалізації послуг та витратами з урахуванням можливої втрати прибутку від нестачі автомобілів. Він дорівнює математичному сподіванню функції f(n,X,Y), аргументами якої є детермінована величина n і випадкові величини X i Y

 (3.48)

Усереднюючи цей вираз по розподілам ймовірностей величин X і Y, одержимо математичне сподівання функції f(n,X,Y)

При фіксованих значеннях n функція F(n) є опуклою уверх по n і має єдиний максимум. Задача формулюється так: знайти значення  при якому функція прибутку F(n) приймає максимальне значення

                                    (3.50)

Оскільки F(n) є функція дискретного аргументу, то для знаходження її екстремуму не можна застосувати класичний метод, прирівнюючи до нуля її похідну. Тому знаходження екстремуму здійснюється за перебірним алгоритмом, послідовно обчислюючи значення F(n) для  доки не буде знайдена точка екстремуму

Приклад 3.16. Проектується транспортна фірма, яка в залежності від попиту на перевезення повинна мати певну кількість автомобілів, яка б забезпечила одержання максимального прибутку. Припустимо, що показники прибутку і витрат на один автомобіль мають такі значення: Р=1500, B=200, C=150, D=1000, E=800 доларів.

Попит на транспортні послуги за період t, виражений у необхідній кількості автомобілів, розподілений за законом Пуассона з параметром λ. Припускається, що у разі нестачі спеціалізованих автомобілів, фірма може тимчасово залучати деяку додаткову кількість автомобілів інших підприємств. Пропозиція додаткових автомобілів (власних або орендованих) також розподілена за законом Пуассона з параметром  

Виходячи з економічних інтересів фірми, треба визначити оптимальну кількість автомобілів, яка б забезпечила максимальний прибуток.

Оскільки розподіли ймовірностей попиту і пропозиції автомобілів задані у вигляді розподілів Пуассона, які залежать від параметрів λ і μ відповідно, то спочатку визначаємо ці параметри. Визначення параметрів здійснюється на основі статистичних даних за відомою методикою. Далі одержуємо ряди розподілів попиту і пропозиції. Ці розподіли у Mathcad визначаються функцією dpois() у вигляді:  де  верхні границі індексів  та  У результаті чого одержуємо ряди (вектори) розподілу попиту , і пропозиції додаткових автомобілів

Алгоритм реалізації моделі

v задаємо значення вартісних показників цільової функції Р, B, C, D, E;

v задаємо одиницю часу, наприклад, добу, неділю тощо і визначаємо розподіли ймовірностей попиту і пропозиції автомобілів. Розмірність масиву розподілу попиту позначаємо через  покладаючи

v записуємо вирази для середнього значення кількості власних автомобілів  які використовуються, кількості додаткових , кількості невикористовуваних  і кількості недостатніх автомобілів  і записуємо вираз для цільової функції  

vдля визначення максимального значення функції F(n) за функцією Mathcad max(F), представляємо значення функції F(n) у вигляді вектора

v знаходимо максимальний елемент масиву F, використовуючи функцію max()у вигляді  і визначаємо значення , для якого елемент  масиву F має максимальне значення. Для знаходження оптимального значення   у Mathcad застосовуємо вираз

де  – булевий вираз із значенням 1, якщо умова виконується, і 0, якщо умова не виконується;

v записуємо вирази для функції прибутку і функції витрат і будуємо графіки функцій

v визначаємо операційні характеристики системи для оптимального плану, а також імовірності станів системи.

Алгоритм у Mathcad

Значення вартісних показників

Параметри розподілів попиту і масиви значень цих розподілів

    

    

Коефіцієнти цільової функції

Цільова функція F(n)

Максимум цільової функції F(n) – максимальний доход фірми

Оптимальне значення кількості автомобілів

Функція прибутку

Функція витрат

Значення цільової функції F, прибутку  і витрат

Одержана оптимальна кількість автомобілів n₀ дає можливість визначити також операційні характеристики системи для оптимального плану.

Ø кількість зайнятих автомобілів

Ø кількість допоміжних автомобілів

Ø кількість невикористаних власних автомобілів

Ø кількість недостатніх автомобілів (дефіцит)

Імовірності станів системи:

Ø використовуються основні автомобілі

Ø використовуються допоміжні автомобілі

Ø основних і допоміжних автомобілів недостатньо (дефіцит)

Графік цільової функції і її складових для n := 4 . . 20

Рис. 3.7. Графік цільової функції F_n  і її складових  і

Коментар. Одержані результати розрахунків показують, що при пуассонівських розподілах попиту і пропозиції додаткових автомобілів із середніми значеннями  і , оптимальна кількість постійних автомобілів буде дорівнювати n₀=12. При цьому середня кількість зайнятих автомобілів дорівнюватиме  одиниць, середня кількість допоміжних –  середня кількість незайнятих власних , середня кількість дефіциту автомобілів –  Імовірності цих станів відповідно дорівнюють

Як видно із таблиці значень функції , величина прибутку для кількості автомобілів  стає незмінною. Це є наслідком того, що при цих значеннях n попит на автомобілі повністю задовольняється, в результаті чого зайві автомобілі не дають прибутку. Витрати ж на їх утримання  постійно зростають. ▲

Контрольні запитання

1. Якою характеристикою описується попит у стохастичних моделях управління запасами.

2.  Чим пояснюється необхідність створювати резервний запас у системах управління запасами з випадковим попитом.

3. Чи приводить до збитків надлишок запасу у системі управління запасами із випадковим попитом.

4. Якій умові задовольняє оптимальний рівень запасів у системі управління запасами із випадковим попитом з урахуванням збитків від надлишку або нестачі товару.

5. Якій умові задовольняє оптимальний рівень запасів у системі з витратами на зберігання запасу і зі збитками від незадоволеного попиту при неперервно розподіленому попиті.

6. Дати означення -моделі системи управління запасами з двома рівнями.

7. У якому випадку у одноетапній моделі системи управління запасами з двома рівнями (стратегія  може виявитись оптимальним не поповнювати запас до рівня .

8. Чи вірно, що у моделі системи управління запасами при миттєвому попиті і при обліку витрат на оформлення замовлення, оптимальний розмір замовлення співпадає з розміром замовлення у системі без врахування витрат.

9. За якими умовами у моделі системи управління запасами з врахуванням витрат на оформлення замовлення визначається оптимальна кількість продукції , яку слід замовляти, якщо перед замовленням є z одиниць запасу і нижній рівень запасу дорівнює  

10. Чи є випливає оптимальність -стратегії із того, що функція витрат вгнута.

11. Який вигляд має критерій оптимальності в загальній моделі управління запасами у одному періоді.

12. Якій умові задовольняє точка , яка є точкою максимуму функції прибутку у загальній моделі управління запасами в одному періоді.

13. Із якого рівняння визначається оптимальний обсяг поповнення запасу  у загальній моделі управління запасами в одному періоді.

17. Чи вірно, що в загальній неперервній моделі управління запасами в одному періоді математичне сподівання прибутку як функція від  має абсолютний максимум, якщо вона є строго опуклою функцією.

18. Якій умові задовольняє оптимальне значення запасу, який повинен бути на складі у моделі системи управління запасами в одному періоді з витратами, залежними від часу

Задачі

3.1. Загальний обсяг замовлень товару торгівельною фірмою у квартал (період T днів) дорівнює  одиниць. Товари замовляються раз у квартал і постачаються на склад фірми партіями однакового обсягу, вказаному в замовленні. Постачання відбувається на початку кожного кварталу. Витрати на постачання однієї партії складають  грн., а витрати зберігання одиниці запасу за добу  грн. Дефіцит товару недопустимий. Визначити оптимальну стратегію управління запасами у даній системі:

Ø оптимальній обсяг замовлень ;

Ø середню кількість замовлень у квартал ;

Ø середній інтервал між послідовними замовленнями

Ø мінімальні середні витрати системи у квартал.

Визначити ці ж параметри системи, а також величину резервного запасу  і точку замовлення замовлення  при умові, що імовірність вичерпання запасу не перевищує  денний попит є нормально розподіленою випадковою величиною з математичнім сподіванням  одиниць у день і середнім квадратичним відхиленням  одиниці, тобто має розподіл .

Розглянути також випадок, коли термін виконання замовлення від моменту його подачі до реальної поставки складає  днів.

Параметри моделі:

3.2. Музичний магазин продає популярні компакт-диски. Розподіл денного попиту на диски можна апроксимувати нормальним розподілом з математичним сподіванням  дисків і стандартним відхиленням  дисків. Вартість зберігання диску в магазині складає  грн. в день. Розміщення нового замовлення обходиться магазину у  грн. Постачальник зазвичай встановлює термін виконання замовлення в  днів. Припустимо, що магазин хоче обмежити ймовірність вичерпання запасу дисків протягом терміну виконання замовлення величиною, яка не перевищує .

Визначити оптимальну стратегію управління запасами для магазина:

Ø оптимальний обсяг замовлення;

Ø оптимальну кількість поставок і інтервал часу між поставками;

Ø мінімальні витрати;

Ø величину резервного запасу і точку замовлення.

Параметри моделі:

3.3. Туристична фірма обслуговує клієнтів, маючи у своєму розпорядженні s власних автобусів. Якщо у якийсь день попит на k автобусів нижче кількості наявних автобусів s, то незайняті автобуси використовуються на перевезеннях пасажирів на міських маршрутах, при цьому фірма втрачає прибуток у  грн. на один автобус. Якщо попит k вище кількості автобусів s, то для обслуговування клієнтів у фірми виникає необхідність у оренді додаткових автобусів, що веде до збитків у розмірі  грн. на один автобус.

Розв’язати задачу для трьох умов відносно попиту, вираженого у кількості автобусів:

1. Попит є дискретна випадкова величина X, задана рядом розподілу .

k

Σ

p_k

0,0

0,01

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,17

0,04

0,02

0,01

2. Попит є неперервною величиною, розподіленою за експоненціальним законом із щільністю розподілу

3. Попит є неперервною величиною, розподіленою за нормальним законом з параметрами

Визначити оптимальну стратегію управління запасами:

Ø оптимальну кількість автобусів s, яку повинна мати фірма щоденно, щоб можливі втрати прибутку були мінімальні;

Øвтрати від нестачі автобусів (збитки від незадоволеного попиту); залежність загальних витрат від втрат у наслідок дефіциту; залежність економічної функції (математичного сподівання втрат) від величини збитку  у наслідок дефіциту автобусів.

Показники витрат:

3.4. Автотранспортна фірма зберігає запасні деталі на складі і витрачає їх рівномірно протягом дня. Витрати на зберігання однієї деталі на складі дорівнюють  грн., штраф за дефіцит деталі обходиться у  грн.

Розв’язати задачу для трьох умов відносно попиту на запасні деталі:

1. Попит є дискретна випадкова величина X, задана рядом розподілу .

k

 0

Σ

p_k

0,00

0,01

 0,05

0,10

0,15

 0,22

0,25

0,15

0,04

 0,02

0,01

2. Попит є неперервною величиною, розподіленою за експоненціальним законом із щільністю розподілу  при ;

3. Попит є неперервною величиною, розподіленою за нормальним законом з параметрами  

Визначити оптимальну стратегію управління запасами: оптимальний щоденний запас деталей на складі такий, щоб можливі витрати на їх зберігання і збитки від дефіциту були  мінімальні.

Показники витрат

3.5. Станція технічного обслуговування автомобілів виконує заміну шин і витрачає їх у кількості Q одиниць у місяць. Замовлення на нову поставку шин обходиться станції у  грн. Вартість зберігання однієї шини протягом місяця дорівнює  грн., а питомі втрати від дефіциту –  грн. Статистичні дані свідчать про те, що попит у період поставки є випадковою величиною, рівномірно розподіленою у інтервалі , де а=200.

Визначити оптимальну стратегію управління запасами:

Ø оптимальний обсяг поставки і оптимальний щоденний запас шин на складі такі, щоб можливі витрати на їх зберігання і збитки від дефіциту були б мінімальні;

Ø кількість замовлень і інтервал часу між послідовними замовленнями.

Параметри моделі:

3.6. Фірма закуповує імпортні комп’ютери і комплекти запчастин до них. Протягом терміну експлуатації комп’ютерів деталі зберігаються на складі фірми і витрачаються у відповідності з попитом на них. Нестача запасних деталей у разі їх потреби призводить до певних збитків у наслідок виходу комп’ютерів із ладу. Витрати на закупівлю одного комплекту деталей дорівнюють , середні витрати на зберігання їх на складі протягом періоду – , втрати від дефіциту у наслідок простою комп’ютерів дорівнюють

Попит за період (наприклад, 10 років) описується одним із наступних імовірнісних розподілів:

1. Нормальним розподілом з математичним сподіванням a = 5 і стандартним відхилення  комплектів.

2. Рівномірним розподілом із щільністю ймовірності f(x) = 1/(b–a), де  – границі розподілу кількості комплектів.

3. Дискретним розподілом , заданим у таблиці

k

0.01

0.02

0.07

0.12

0.17

0.24

0.22

0.12

0.03

0.01

Визначити оптимальну стратегію управління запасами:

Ø оптимальний запас запасних частин, щоб можливі витрати на їх зберігання і збитки від дефіциту були мінімальні;

Ø мінімальні витрати на створення і утримання запасу.

Показники витрат

3.7. Розглянемо систему управління запасами, описану у попередній задачі, але припустимо, що попит задовольняється не миттєво, а рівномірно протягом періоду. Припустимо також, що попит розподілений за рівномірним законом із щільністю ймовірності

Визначити оптимальну стратегію управління запасами:

Ø оптимальний запас запасних частин, щоб можливі витрати на їх зберігання і збитки від дефіциту були б мінімальні;

Ø мінімальні витрати на створення і утримання запасу.

Параметри моделі:

3.8. Щоденний попит на продукцію протягом одного періоду задовольняється миттєво на початку періоду. Попит є випадковою величиною, рівномірно розподіленою на інтервалі від  до  одиниць. Вартість подачі замовлення дорівнює  грн., вартість одиниці продукції –  грн. Вартість зберігання одиниці продукції протягом періоду дорівнює  грн., а штраф за дефіцит одиниці продукції –  грн. Початковий запас дорівнює одиницям.

Визначити оптимальну стратегію управління запасами: оптимальний обсяг замовлення  і нижній рівень запасу .

Параметри моделі:

3.9. У великому продовольчому магазині необхідно визначити, скільки пакетів молочних продуктів потрібно замовляти на день. Вивчення продажу цих продуктів показало, що попит у день можна вважати випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом із середнім  і середнім квадратичним відхиленням . Один пакет продається за  грн. Собівартість товару для магазину складає  грн. за пакет. Усі непродані пакети збуваються після закінчення строку придатності по ціні  грн. за пакет.

Визначити оптимальну стратегію управління запасами:

Øоптимальний розмір закупівлі молочних продуктів, який максимізує середній прибуток;

Øсередню кількість непроданих пакетів;

Øмаксимальне значення прибутку;

Øпорівняти денну виручку для випадку, коли у день закуповується оптимальна кількість молочних продуктів із середньою виручкою, коли у день закуповується така кількість, яка дорівнює середньому попиту.

Параметри моделі:

3.10. Створення запасу товару у магазині протягом тижня здійснюється миттєво на його початку. Щоденний попит на товар є випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом із середнім  і середнім квадратичним відхиленням . Одиниця товару продається за  грн. Собівартість одиниці товару для магазину складає  грн. Усі непродані товари збувається після закінчення строку придатності по ціні  грн. за одиницю. При неспроможності задовольнити попит покупців магазин несе збитки, пов’язані із втратою очікуваного прибутку. Ці збитки оцінюються у розмірі  грн. за одиницю товару.

Визначити оптимальну стратегію управління запасами:

Ø оптимальну кількість закупівлі товару, яка максимізує середній прибуток;

Ø середню кількість непроданих пакетів;

Ø максимальний прибуток.

Параметри моделі:

3.11. До курортного сезону універсальний магазин повинен закупити партію дорогих шкіряних сумок. Кожна сумка коштує магазину  грн., а продається за  грн. Припускається, що усі нереалізовані у сезон сумки можуть бути продані за попередньою ціною. Тим не менш 30 %  коштів, вкладених у нереалізовані вчасно сумки, “заморожуються”, оскільки, використавши ці кошти інакше, можливо одержати більший прибуток. Припускається, що за сезон вдасться продати від  до  сумок, причому продаж будь-якої кількості у вказаних межах рівноімовірний. Додаткові дослідження показали, що більш точно попит виражається нормальним розподілом із середнім  і середнім квадратичним відхиленням  сумок.

Визначити оптимальну стратегію управління запасами:

Øоптимальну кількість сумок, яку слід закупити;

Øщо дасть магазину додаткова інформація про попит.

Параметри моделі:

3.12. Автозаправна станція замовляє бензин у фірми, яка обслуговує декілька АЗС. Власник АЗС повинен вирішити, скільки йому слід замовляти бензину на місяць. Замовлення потрібне не пізніше, ніж за  тижнів до дня поставки. Кожний літр бензину обходиться АЗС у  грн., а продається за  грн. за літр. Сума, витрачена на нереалізований за місяць бензин, складає платіжний дефіцит. Можна стверджувати, що за місяць АЗС напевно вдасться продати не менше  тис. літрів бензину, але не більше  тис. літрів. Продаж будь-якої кількості між  і  тис. літрів вважаються рівноімовірними подіями, тобто АЗС припускає, що обсяг попиту рівномірно розподілений на інтервалі від  до  тис. літрів.

Визначити оптимальну стратегію управління запасами: оптимальний обсяг замовлення бензину і прибуток, який може одержати АЗС.

Параметри моделі:

3.13. Торгівельна фірма постачає автомобілі представницького класу. Одночасно з випуском автомобілів виготовляються і деякі запасні частини до них. Після того, як збірка автомобіля закінчена, вже важко дістати до нього додаткові запасні частини. Треба визначити, скільки запасних частин певного типу слід мати у комплекті до автомобіля, який замовляє фірма. Припускається, що попит на запасні частини невеликий і розподілений за законом Пуассона, а інтенсивність попиту (на основі накопиченого досвіду) складає  одиниць у рік. Розподіл терміну експлуатації літака точно невідомий. Припускається, що він може бути описаний гама-розподілом із середнім  років і середнім квадратичним відхиленням  років. Кожна запасна частина розглядуваного типу коштує у середньому  грн., а якщо до моменту виходу із ладу всього автомобіля які-небудь запасні частини залишаються не використаними, то кожна із них коштує всього лише  грн. Якщо усі запасні частини комплекту витрачені, то для того, щоб дістати ще один запасний блок, необхідно витратити 26000 грн.

Параметри моделі:

3.14. Автотранспортна фірма закуповує двигуни до імпортних автомобілів. Попит на двигуни випадковий і описується розподілом Пуассона із середнім значенням  одиниць на рік. Закупівельна вартість двигуна дорівнює  тис. доларів. Щорічний прибуток від експлуатації двигуна складає  тис. доларів. Відомо, що через  років зберігання вартість кожного двигуна у наслідок старіння (фізичного чи морального) знижується до  тис. доларів. Витрати, пов’язані із зберіганням одного двигуна протягом часу  є функцією часу і дорівнюють  де – ціна запасного двигуна, І – коефіцієнт пропорційності, який є коефіцієнтом вартості витрат на збереження запасів в одиницю часу на одиницю капіталу, вкладеного у запаси, коефіцієнт пропорційності часу зберігання запасу. Втрати, пов’язані із дефіцитом двигуна є функцією часу і дорівнюють , де – постійна величина,  – втрати пропорційні часу наявності дефіциту. Автобус повинен пропрацювати 10 років. Двигуни можуть бути замовлені тільки одночасно із закупівлею автобусів.

Визначити, скільки запасних двигунів s повинна закупити фірма, щоб очікуваний прибуток від експлуатації автобусів був максимальний.

Параметри моделі: