Попит розподілений за законом пуассона

Наведемо співвідношення для системи з обліком замовлень, вважаючи, що сумарний попит за будь-який проміжок часу розподілений за законом Пуассона, а час поставки залишається постійним і дорівнює  

Припустимо, що рівень запасів і попит є дискретними величинами. Нагадаємо, що згідно -стратегії, замовлення на поповнення подається тільки у тому випадку, коли під час перевірки виявляється, що фіктивний рівень запасів менше або дорівнює  Якщо  то замовляється поповнення на  одиниць  де  вибирається так, щоб  Таким чином, зразу ж після перевірки фіктивний рівень запасів прийме одне із значень

Визначимо спочатку стаціонарні ймовірності  того, що зразу ж після перевірки фіктивний рівень запасів у системі складе  При умові, що попит у різні періоди незалежний, процес переходів із стану у стан можна вважати марковським ланцюгом із скінченим числом станів.

Обчислимо перехідні ймовірності  де імовірність того, що зразу ж після чергової перевірки фіктивний рівень запасів складе  при умові, що після попередньої перевірки він дорівнював  Позначимо  імовірність того, що за період між перевірками зі складу буде замовлено  одиниць запасу.

Розглянемо випадок  Тоді із стану  можна попасти у стан  якщо тільки попит за період між розглядуваними перевірками виявився рівним  оскільки, якщо обсяг попиту за період, то для  справедлива наступна рівність (див. рис. 5.1):

 або

Імовірність того, що попит за період дорівнює  за означенням, є  Оскільки події, які полягають у тому, що величина попиту прийме одне із певних значень, несумісні, то

При  система може перейти у стан  якщо попит за період буде рівним принаймні  Таким чином,

Імовірності  задовольняють наступним рівнянням:

Рис. 5.2. Графік рівня запасів у -системі

Оскільки , то попереднім співвідношенням задовольняють постійні величини , які не залежать від  Крім того, із рівності  випливає, що

Таким чином, у системах із періодичною перевіркою рівень запасів після закінчення перевірки розподілений рівномірно.

Тепер можна продовжити виведення виразу для середніх річних витрат. Ми обмежимось тут випадком пуассонівського потоку замовлень одиничної величини. Крім того, будемо припускати, що вартість одиниці запасів постійна і не залежить від розміру замовлення.

Припустимо, що

вартість подачі замовлення на поповнення запасу;

вартість однієї перевірки рівня запасів;

вартість одиниці запасів

коефіцієнт витрат зберігання запасів;

витрати зберігання запасу;

витрати, пов’язані із обліком одного замовлення, де час, який пройшов із моменту реєстрації замовлення;

Спочатку ми обчислимо середні витрати за період, а потім, помноживши одержаний результат на  одержимо вираз для сумарних середніх річних витрат.

Оскільки за рік здійснюється  перевірок, то середні річні витрати на перевірки складуть  За рік на замовлення витрачається сума, менша, ніж  оскільки замовлення подаються не при кожній перевірці. І якщо  означає ймовірність подачі замовлення у довільний момент часу, то середні річні витрати на замовлення складуть  Обчислимо  Якщо по закінченню перевірки фіктивний рівень запасів у системі дорівнює  то ймовірність події, яка полягає у тому, що до моменту наступної перевірки фіктивний рівень запасів стане меншим або рівним  дорівнює ймовірності того, що попит за період перевищить або принаймні буде рівним  тобто ймовірності  де  – середній попит за період Т. Імовірність того, що по закінченню перевірки рівень запасів дорівнює  складає  Звідси

.

Перетворюючи цей вираз, одержимо

                         (5.15)

Перейдемо до визначення середньої вартості врахованих за рік замовлень. Спочатку обчислимо середнє число замовлень, які враховані за період, а помноживши одержаний результат на  одержимо середнє число замовлень, врахованих за рік.

Припустимо, що перевірка здійснюється в момент  а наступна за нею перевірка – в момент  Обчислимо середнє число замовлень, врахованих на інтервалі від  до  Загальне число врахованих на цьому інтервалі замовлень можна представити у вигляді різниці двох випадкових величин, одна із яких визначає число замовлень, врахованих до моменту  а друга дорівнює числу замовлень, врахованих до моменту . Якщо після перевірки, проведеної в момент часу  фіктивний рівень запасів у системі дорівнює  то середнє число врахованих до моменту  замовлень складає

а до моменту

Таким чином, якщо після перевірки в момент часу  фіктивний рівень запасів у системі дорівнює  то математичне сподівання числа замовлень, врахованих на інтервалі від  до  визначається як

Усереднюючи цей вираз по  одержимо після множення на  середнє число врахованих за рік замовлень

    (5.16)

Спрощуючи цей вираз, одержимо

                     (5.17)

де

і

Точно так можна обчислити середню інтегральну нестачу за рік. Для будь-якого моменту часу  такого, що  середнє число врахованих замовлень при умові, що зразу ж після закінчення перевірки в момент  рівень запасів у системі дорівнював  складає

а середня інтегральна нестача за один період визначається виразом

Усереднюючи цей вираз по  і розділивши його на  знаходимо середню інтегральну нестачу за рік

.

Застосовуючи формулу

,

одержуємо:

(5.18)

Далі маємо

Продовжуючи перетворення, середню інтегральну нестачу товару за рік  можна представити у вигляді

                 (5.19)

де  

і

Таким чином, середні витрати за рік, пов’язані із обліком замовлень, дорівнюють  Залишається обчислити середній обсяг наявних запасів у рік. Як і раніше, спочатку буде підрахована середня інтегральна нестача за період. Якщо в момент часу  зразу ж після закінчення перевірки фіктивний рівень запасів дорівнює  то для будь-якого  такого, що  математичне сподівання обсягу чистого запасу складає

Для будь-якого моменту часу математичне сподівання обсягу наявного запасу дорівнює сумі математичного сподівання обсягу чистого запасу і математичного сподівання сумарного числа врахованих замовлень. Таким чином, середній обсяг наявного запасу в момент часу  дорівнює

Інтегруючи цей вираз у межах від  до  і усереднюючи його по  одержимо після множення на  середній обсяг наявного запасу у рік

    (5.20)

де  середній попит за час поставки. Цим же виразом визначається середній обсяг наявних запасів і для довільного моменту часу. Функції  і  у цьому розділі обчислювались інакше, ніж відповідні величини для -моделей із розділу 4. Справа у тому, що тут ми маємо розподіл рівня запасів тільки в моменти закінчення перевірок, тоді як у випадку -моделей цей розподіл був відомий у будь-який момент.

Середній наявний запас у рік можна обчислити і іншим способом. У будь-який момент часу середній обсяг наявних запасів дорівнює математичному сподіванню фіктивного рівня запасів мінус середній обсяг ще непоставлених замовлень плюс математичне сподівання величини врахованого попиту. Для того щоб обчислити інтеграл по періоду від середнього рівня запасів, зручніше всього скористатись інтервалом часу між двома послідовними перевірками. Якщо в момент  закінчення чергової перевірки фіктивний рівень запасів у системі дорівнює  то середній рівень запасів в момент  де  складає  Інтегруючи цей вираз від 0 до  і усереднюючи його по , одержимо

Окрім того, помножений на  інтеграл по періоду від середньої величини замовлення дорівнює середньому обсягу замовлення у довільний момент часу. Звідси приходимо до висновку, що у цьому випадку середній обсяг замовлення у будь-який момент часу співпадає із середнім попитом за час поставки.

Середній гарантійний запас (визначається за фіктивним рівнем запасу)

                                   (5.21)

Усі складові сумарних річних витрат вже визначені. Підсумовуючи їх, одержимо наступний вираз

(5.22)

де

а  визначаються за формулами (5.17) і (5.18) відповідно.