запасами з оптимальним рівнем запасів

запасами з оптимальним рівнем запасів

3.2.1. Модель з миттєвим витрачанням запасів

Припустимо, що попит на продукцію, яка зберігається на складі на деякому

інтервалі часу T, є випадкова величина X і заданий її закон розподілу. Якщо Х дискретна випадкова величина, яка приймає значення = 0, 1, 2,…, то законом

розподілу її є ряд розподілу , де  – імовірність попиту k. Якщо Х неперервна величина, то її закон розподілу задається щільністю розподілу ймовірностей f(x). Імовірності  і щільність розподілу f(x) зазвичай оцінюються на основі експериментальних (статистичних) даних або теоретично.

Знаючи закон розподілу  або ,  можна визначити математичне сподівання витрат, яке є економічною функцією для даної задачі. Задача управління запасами у даній моделі полягає у знаходженні такого рівня запасу , при якому математичне сподівання сумарних витрат  приймає мінімальне значення.

Дискретна модель

Припустимо, що попит  на інтервалі часу Т є випадковим і задано його закон розподілу

Позначимо через s – кількість одиниць товару, призначеного на склад. Можливі два взаємовиключні випадки:

1)  – запас перевищує попит і надлишок товару  продається із збитками, рівними  на кожну одиницю товару;

2)  – є нестача товару і термінове придбання  одиниць товару викликає необхідність у позаплановому поповненні, що веде до збитків  на одиницю товару.

Така ситуація виникає, наприклад, якщо одночасно із виготовленням устаткування виготовляються також запасні частини до нього. Якщо вироблено надлишок запасних частин, то надлишки доводиться розпродавати із деякими збитками; якщо ж їх кількість менша необхідної, то доводиться закуповувати недостатню кількість по більш високій ціні (типовий приклад – запасні частини для імпортної автомобільної техніки). Розглянуті випадки зображені на рис. 3.2.

Введемо позначення:

витрати на поповнення одиниці продукції

витрати на зберігання одиниці запасів;

витрати на одиницю дефіциту товару.

Y(t)

 Y(t)

 

t

 

Знаючи розподіл імовірностей попиту можна визначити математичне

сподівання сумарних витрат, яке має вигляд

         (3.10)

Отже, задача управління запасами у даній моделі полягає у знаходженні такого рівня запасу s, при якому математичне сподівання сумарних витрат  набуде мінімального значення.

Мінімум функції  має місце при значенні , яке задовольняє нерівностям

,                                    (3.11)

де

                               (3.12)

– імовірність того, що рівень запасу не перевищує величини  а

– щільність збитків.

Покажемо, як можна знайти мінімум функції , заданої формулою (3.10). Послідовно запишемо

Оскільки

.

Таким чином,

де імовірність того, що попит менше або дорівнює

Тим же способом можна показати, що

Припустимо тепер, що  задовольняє нерівності

тобто  запас, при якому витрати  мінімальні. Тоді співвідношення для і  запишеться у вигляді

або ,

а співвідношення для  і  у вигляді

або

Звідкіля

Позначаючи  одержимо потрібне нам співвідношення (3.11).

Якщо виконуються нерівності (3.11), то звідси випливає, що

Зауважимо, що якщо для деякого  виконується співвідношення

то               (3.13)

тобто оптимум відповідає  і  

Аналогічно, якщо

то           (3.14)

тобто оптимум відповідає  і