Визначення оптимальної кількості автомобілів

Неперервна модель

У випадку, коли X – неперервна випадкова величина із щільністю розподілу ймовірностей , функція витрат має вигляд

.        (3.15)

Щоб знайти мінімум функції , обчислимо її похідну, скориставшись формулою похідної від інтеграла по параметру. Одержуємо

де  – функція зрізаного розподілу попиту.

Прирівнюючи похідну до нуля, отримаємо рівняння, якому задовольняє

                                        (3.16)

Для зручного обчислення функції G(s), вираз (3.15) можна представити у вигляді

                     (3.17)

де  – математичне сподівання розподілу попиту, а

, .

Легко перевірити, що величина  яка відповідає (3.16), дає мінімум економічної функції  Дійсно, знайдемо другу похідну від функції  і визначимо її знак

Оскільки  не дорівнює нулю і  то  Це означає, що функція  має мінімум при

Співвідношення (3.16), яке визначає мінімум функції  у неперервному випадку, відповідає нерівностям (3.11), які відносяться до випадку, коли  набуває цілочислові значення.

Зокрема, для нормального розподілу попиту  з параметрами   із (3.16) маємо

де функція нормального розподілу.

Таким чином, для визначення  одержуємо вираз

У Mathcad значення  визначається як квантиль нормального розподілу порядку

У випадку експоненціального розподілу попиту

.

Приклад 3.2.. Автотранспортна фірма здійснює обслуговування клієнтів, маючи  власних автомобілів. Попит на транспортні послуги, виражений у кількості автомобілів, є дискретна випадкова величина X, задана рядом розподілу . Якщо у деякий день попит на автомобілі k нижче кількості наявних автомобілів s, то автомобілі, які безпосередньо не зайняті обслуговуванням клієнтів за замовленнями, використовуються на інших роботах, при цьому фірма втрачає прибуток у  грош. од на один автомобіль. Якщо попит k вище кількості наявних автомобілів s, то для виконання своїх зобов’язань по обслуговуванню клієнтів у фірми виникає необхідність у оренді додаткових автомобілів, що веде до збитків у розмірі  грош. од на один автомобіль.

Треба визначити:

Ø оптимальну кількість автомобілів , яку повинна мати фірма щоденно, щоб можливі втрати прибутку були мінімальні;

Ø втрати від нестачі автомобілів (штрафи від незадовільненого попиту плюс втрата можливого прибутку);

Ø залежність загальних витрат від втрат у наслідок дефіциту;

Øзалежність математичного сподівання втрат від величини збитків  у наслідок дефіциту автомобілів.

Алгоритм реалізації моделі

v задаємо величини , розподіл імовірностей попиту  і визначаємо щільність збитків , середнє значення m і функцію розподілу попиту F(k);

v записуємо вираз для цільової функції ;

v визначаємо оптимальне значення обсягу запасу  використовуючи співвідношення (3.11);

v визначаємо мінімальне значення цільової функції ;

v аналізуємо залежність цільової функції G(s) від втрат  у наслідок дефіциту і будуємо графік залежності функції збитків  від ;

v використовуючи умову (3.16), визначаємо діапазон збитків  від незадовільненого попиту при умові, що оптимальний запас дорівнює ;

Алгоритм у Mathcad

Розподіл імовірностей попиту