Попит розподілений за нормальним законом

Алгоритм реалізації моделі

v задаємо вхідні дані моделі

v записуємо вираз для ймовірності розподілу Пуассона  і його функцію розподілу ;

v визначаємо ймовірність подачі замовлення на поповнення запасу

v визначаємо середню кількість врахованих за рік замовлень

v визначаємо середню інтегральну нестачу товарів за рік

v визначаємо середній запас за рік

v визначаємо функцію середніх річних витрат .

Для знаходження оптимальних значень  застосуємо алгоритми дискретної оптимізації (перебірні алгоритми).

1-й крок: Задаємо діапазон  можливих значень параметра  

Перетворюючи масив значень функції  для  у матрицю , визначаємо мінімальний елемент цієї матриці , його індекси і за ними оптимальні значення

2-й крок: За знайденим оптимальним значенням параметра  визначаємо оптимальні

Далі, при знайденому оптимальному значенні  задаємо діапазони зміни параметрів , відповідно  Представляємо масив значень функції  у вигляді матриці , елементи якої  де крок зміни параметра Т,  

Мінімальне значення функції  знаходимо як мінімальний елемент  матриці  за допомогою функції Mathcad .

Далі, визначаємо індекси  мінімального елемента матриці , знаходимо оптимальні значення  Визначаємо гарантійний запас

Приклад 5.2. Розглянемо систему управління запасами, у якій використовується -стратегія, а попит розподілений за законом Пуассона із середньою інтенсивністю  одиниць/рік. Час поставки постійний і дорівнює 0,25 року. Інші параметри мають такі значення : , , ,  і  грош. од. у рік. Відмітимо, що подача замовлення обходиться у два рази дорожче перевірки. Якщо вартість замовлення значно менше вартості перевірки, то ми можемо очікувати, що  і -модель еквівалентна -моделі. Але у тому випадку, коли вартість замовлення вище вартості перевірки, то можна розраховувати на те, що  більше одиниці. У даному прикладі розглядається перший випадок.

Визначимо оптимальну політику управління запасами у розглядуваній системі, використовуючи -стратегію.

Алгоритм у Mathcad

    

  

Функціональні характеристики системи:

Ø Середня кількість врахованих замовлень за рік ;

Ø Середня інтегральна нестача товарів за рік ;

Ø Середній обсяг запасу у системі за рік ;

Ø Середній гарантійний запас .

Коментар. Оптимальна стратегія управління запасами у даній системі має такі параметри:  Інші характеристики системи: середня кількість врахованих замовлень за рік  середня інтегральна нестача товарів за рік  середній обсяг гарантійного запасу у системі за рік  Мінімальне значення середніх річних витрат при даній стратегії управління

Цей приклад показує, що R-стратегія еквівалентна nq-стратегії, і у тому випадку, коли ймовірність подачі замовлення при довільно вибраній перевірці мала, -модель забезпечує суттєве зниження витрат у порівнянні з -моделлю. Сюди відносяться ті випадки, коли період перевірки настільки малий, що система з періодичною перевіркою за характером процесів, які в ній протікають, подібна системі з оперативною інформацією. У таких ситуаціях розмір партії поповнення запасу  може бути досить великим у порівнянні із середнім попитом за період між перевірками. І тут, звичайно, -стратегія буде переважати -стратегією. У цьому випадку для визначення оптимальних значень  майже завжди можна користуватись -моделлю.   ▲

Розглянемо алгоритм реалізації - моделі, коли попит за час  є неперервна випадкова величина розподілена за нормальним законом із середнім  і дисперсією  Будемо також припускати, що величини  також неперервні.

Нехай  є щільність розподілу величини попиту за період  Припускаючи, що попит у різних періодах незалежний, покажемо, що зразу ж після перевірки рівень запасів у системі розподілений рівномірно.

Нехай  означає стаціонарну ймовірність події, яка полягає у тому, що фіктивний рівень запасів після закінчення перевірки вміщений у межах  Можна показати, що щільність  повинна задовольняти наступному рівнянню:

                          (5.23)

де

Тут , якщо  якщо  Зауважимо, що

Звідси видно, що  при  є розв’язком рівняння (5.23). А оскільки

то

                 (5.24)

Обчислимо тепер окремі складові загальних середніх річних витрат для випадку, коли попит розподілений за нормальним законом.

На перевірки протягом року витрачається сума у  грош. одиниць, закази обходяться у середньому у  грош. одиниць у рік. Тут  є ймовірність того, що при довільній перевірці подається заказ. Ця ймовірність дорівнює

Звідси, приймаючи до уваги, що при наближенні розподілу ймовірностей за допомогою нормального розподілу значення щільності ймовірності і функції розподілу при  досить близькі до нуля, одержимо

(5.25)

Легко бачити, що середні річні витрати зберігання дорівнюють

         (5.26)

де  як і раніше, середня інтегральна нестача за рік, тобто середня кількість врахованих невиконаних замовлень.

Визначимо тепер вирази для середньої кількості замовлень, які враховуються за рік, і для середньої інтегральної нестачі за рік. Для цього використовуються ті ж прийоми, що і у дискретному випадку, розглянутому у попередньому пункті. Середня кількість врахованих за рік замовлень складає

      (5.27)

Далі маємо

.

Звідси одержуємо вираз для середньої кількості замовлень, врахованих за рік

,                       (5.28)

де

.

Аналогічно одержуємо вираз для інтегральної середньої нестачі запасу

  (5.29)

.

Визначення  проводиться у декілька етапів. Спочатку одержуємо

   (5.30)

Далі

Звідкіля

                       (5.31)

Загальні середні річні витрати тепер можуть бути записані у наступному вигляді:

    (5.32)

де

а  визначаються за формулами (5.28) і (5.29) відповідно.

На жаль, функція  у загальному випадку не є опуклою функцією  Це ускладнює задачу обчислення оптимальних значень  оскільки у функції  може виявитись декілька локальних мінімумів, тим більше, що знайти хоча б який розв’язок рівнянь  досить складно. Таким чином, як і у дискретному випадку для знаходження оптимальних  представляється необхідним використання алгоритму дискретної оптимізації.

Приклад 5.3. Розглянемо -модель системи управління запасами, у якій попит розподілений за нормальним законом із середньою інтенсивністю 100 одиниць у рік і середнім квадратичним відхиленням . Усі інші параметри моделі такі ж самі, як і у прикладі 5.2.

Визначимо оптимальну політику управління запасами у даній системі, використовуючи -стратегію.

Загальний алгоритм реалізації даної моделі аналогічний алгоритму попередньої моделі. Відповідні параметри нормального розподілу попиту дорівнюють  Наведемо алгоритм реалізації моделі у Mathcad.