Алгоритм аналітичного розв’язання

Алгоритм реалізації моделі

v задаємо початкові значення параметрів моделі і обчислюємо щільність збитків ;

v визначаємо інтенсивність витрачання запасів b, записуємо формули для кількості поставок k і інтервалу часу між поставками ;

v записуємо функції витрат  і функцію загальних витрат ;

v визначаємо оптимальний обсяг поставки , оптимальний рівень запасу , оптимально допустимий обсяг дефіциту  кількість партій постачання  і довжину інтервалу між послідовними замовленнями на поповнення запасу

v визначаємо мінімальне значення функції витрат ;

v визначаємо відносну зміну витрат, коли розмір замовлення  відрізняється від оптимального ;

v визначаємо точку замовлення , коли строк поставки не дорівнює оптимальному.

Алгоритм у Mathcad

 

грош. од.

Абсолютна і відносна зміна розміру партії постачання запасу

Абсолютна і відносна зміна витрат

Точка замовлення h, коли строк поставки u не дорівнює оптимальному

Розрахунок параметрів даної моделі дає нам інформацію про найбільш економічно вигідний обсяг запасу деталей на складі. Дефіцит деталей на складі призводить до збитків у вигляді штрафу за дефіцит.

Коментар. Дані розрахунки показують, що щільність збитків із-за незадоволеного попиту дорівнює ρ = 0,91, найбільш економічний розмір поставки партії деталей становить  деталей, максимальний рівень запасу  одиниць, кількість замовлень , інтервал між замовленнями  доба. Сумарні витрати на зберігання запасу дорівнюють  грош. од.

Відносна зміна сумарних витрат при збільшенні замовлення на  одиниць дорівнює . Точка замовлення партії, якщо її поставка затримується на  днів дорівнює одиниць.    ▲

Модель 2.  

Дана модель є подальшим узагальненням попередньої моделі на випадок, коли функція витрат на поповнення запасу і функція інтенсивності споживання запасу є лінійними функціями відповідно часу t і обсягу поставки q: , . Функція накопичення дефіциту z(t) є також лінійною функцією часу. Припускається, що дефіцит пропорційний попиту із заданим коефіцієнтом a, який визначається як частка врахованих вимог. Усі інші параметри моделі зберігають свій смисл. Функції  можуть бути визначені на основі експериментальних даних у вигляді рівнянь регресії.

Сумарні витрати на постачання, як і раніше, дорівнюють

,

де .

Обсяг витраченого товару за час t дорівнює . Обсяг товару, що зберігається на складі в момент t, дорівнює різниці між обсягом запасу на початку періоду і обсягом витраченого товару за час t:

Час  за який відбувається повне вичерпання запасу знаходиться із рівняння

Таким чином, витрати на зберігання запасу за період функціонування системи T, з урахуванням кількості поставок , дорівнюють

Визначимо інтенсивність накопичення дефіциту як величину, пропорційну інтенсивності витрати запасу:  де коефіцієнт a визначає частку попиту b(t), який враховується. Тоді, оскільки дефіцит товару на момент часу t дорівнює величині z(t), то миттєві штрафні витрати за дефіцит у цей момент дорівнюють . Час  за який відбувається накопичення дефіциту до величини  визначається із рівняння .

Таким чином витрати, пов’язані з дефіцитом, за період Т функціонування системи, дорівнюють

Враховуючи формули для  і рівність k(q) =Q/q, загальні витрати за період T дорівнюватимуть

               (2.21)

Знаходячи частинні похідні від функції Сq, s) по q і s і розв’язуючи систему рівнянь

визначаємо оптимальні значення розміру партії постачання і максимального рівня запасу відповідно  і  які доставляють мінімум функції

Розв’язання системи рівнянь здійснюємо за функцією Minerr(q, s) у блоці алгоритму, який задається директивою Given. Мінімальне значення функції  знаходимо, підставляючи в неї значення  і , одержуємо .

Приклад 2.5. Визначимо оптимальний розмір партії постачання, максимальний рівень запасу, а також оптимальну кількість поставок і оптимальний інтервал часу між поставками для моделі з дефіцитом з додатковою умовою, що попит  на продукцію при відсутності запасу, є лінійною функцією часу і пропорційний функції споживання запасу при його наявності, тобто  де a  – коефіцієнт пропорційності, який визначає кількість врахованих заявок на товар при його відсутності.

Розв’язання. Маємо такі значення вхідних величин:

Алгоритм реалізації моделі

v задаємо початкові значення параметрів моделі

v визначаємо функції  і щільність витрат ;

v визначаємо рівень запасу  в момент часу t;

v визначаємо час вичерпання запасу u(s), розв’язуючи рівняння  Розв’язання здійснюємо за оператором solve;

v визначаємо час  за який відбувається накопичення дефіциту до рівня q – s, розв’язуючи рівняння

v визначаємо функцію витрат  і її частинні похідні

, ;

v розв’язуємо систему рівнянь D1(q, s) = 0,  D2(q, s) = 0 і визначаємо значення  при яких функція витрат  приймає мінімальне значення;

v визначаємо оптимальну кількість поставок  і інтервал часу між поставками

v визначаємо мінімальне значення функції витрат .

Алгоритм у Mathcad

Рівень запасу в момент часу t;

Час накопичення дефіциту до рівня

Функція витрат

 

Розв’язання системи рівнянь D1(q, s) = 0 і  D2(q, s) = 0 і визначення оптимального обсягу поставки, оптимального рівня запасу, оптимальної кількості поставок і часу між поставками

Мінімальне значення функції витрат

 грош. од.

Коментар. Оптимальна політика управління запасами наступна: оптимальний розмір поставки  одиниць, максимальний рівень запасу  одиниць, кількість замовлень . Пропорційно зменшенню частоти поставок  у порівнянні з моделлю без дефіциту, зменшився інтервал часу між поставками, який дорівнює  доби. Мінімальне значення функції витрат дорівнює  грош. од.    ▲

Модель 3.    

У даній моделі приймемо, що витрати , пов’язані з дефіцитом запасу, включають постійну складову  і складову  пропорційну тривалості дефіциту.

Витрати на поповнення і зберігання запасу, як і в моделі 1, дорівнюють

Витрати у наслідок дефіциту за цикл дорівнюють

де враховано, що .

За період T ці витрати складають

.

Середні сумарні витрати за період Т, які включають витрати на постачання і утримання запасу, а також витрати, пов’язані з дефіцитом запасу дорівнюють

,

тобто

.           (2.22)

Задача полягає у тому, щоб визначити обсяг поставки q і максимальний рівень запасів s, при яких загальні витрати були б мінімальні.

 є функцією двох змінних q і s. Треба знайти абсолютний мінімум С(q, s) в області  Оскільки функція С(q, s) диференційовна у всій області її визначення, то  і  повинні задовольняти рівнянням

Розглянемо тепер алгоритм розв’язання цієї системи рівнянь. Із (2.22) одержуємо

Після перетворень цього виразу, одержимо

або

.

Далі маємо

.

Звідки

.

Одержали наступну систему рівнянь

     (2.23)

Розв’язуючи систему, одержуємо формули для найбільш економічного обсягу партії  і максимального рівня запасів  для моделі з дефіцитом, втрати від якого пропорційні часу відсутності запасів

                         (2.24)

    (2.25)

Величина  дорівнює розміру дефіциту. Коли коефіцієнт , формули (2.23) і  (2.24) мають вигляд:

і збігаються із формулами (2.17) і (2.18).

Визначивши  визначаємо інші параметри системи:

Чисельний розв’язок системи рівнянь (2.23) можна також одержати за допомогою функції Mathcad Minerr(q, s), застосовуючи блок розв’язання Given. Відповідний алгоритм наведемо при розв’язанні прикладу 2.6. Крім того, засоби Mathcad дозволяють одержати систему рівнянь, аналогічну (2.23), у неявному вигляді за допомогою операцій символьного диференціювання.

Приклад 2.6. Розглянемо систему управління запасами із наступними характеристиками: обсяг замовлень Q = 200 одиниць на рік; вартість створення одиниці запасу c₁ = 500 грош. од.; коефіцієнт витрат утримання запасів І = 0,1 (розмірність – вартість в одиницю часу на одиницю капіталу, вкладеного в запаси);  вартість утримання одиниці запасів  грош. од.; витрати у наслідок втрати замовлення без врахування втраченого прибутку  грош. од.; витрати, пропорційні тривалості дефіциту  грош. од.; період роботи системи  рік; час поставки поповнення запасу  t = 9 місяців.

Визначимо оптимальний обсяг поставки  оптимальний рівень запасів  кількість поставок  час між поставками  точку замовлення , виходячи із фіктивного рівня запасів, точку замовлення  виходячи із рівня чистого запасу і обсяг дефіциту .

Розв’язання. Розглянемо два алгоритми визначення величин  і  – за формулами (2.24), (2.25) і чисельним алгоритмом розв’язання системи рівнянь (2.23), застосовуючи функцію Mathcad  Minеrr().

Алгоритм реалізації моделі у Mathcad аналогічний попередньому алгоритму.

Алгоритм у Mathcad