Можно получить феноменологический аффинный лагранжиан как нелинейный стык

Реализация аффинных и конформных групп симметрии. Такой нелинейный

совместная реализация построена в [13 ]. Авторы статьи а-

Утверждают, что теория совпадает с общей теорией относительности Эйнштейна с

Действие Гильберта, если выбрать подгруппы Лоренца как емкость подгруппы

Устойчивости вакуума, а десять гравитонов отождествляются с десятью параметрами

пространство классов собственных аффинных преобразований

G = e ı P · x e ı R · h.

Ковариантное выражение для действия полей Голдстоуна может быть получено

с помощью коммутатора ковариантного дифференцирования поля Ψ (4.30)

[D (δ) D (γ) - D (γ) D (δ) ] Ψ = ı R (4)

(α) (β), (δ) (γ)

L Ψ

(α) (β)

Ψ

2

,

(4.32)

Где

р

(4)

(α) (β), (γ) (δ)

= ∂ (γ) v (α) (β), (δ) + v (α) (β), (ζ) v (δ) (ζ), (γ) + v (α) (ζ), (δ) v (β) (ζ), (γ) -

- ((γ) ↔ (δ))

(4.33)

- тензор кривизны. Тогда из форм Картана можно получить

Действие Гильберта для общей теории относительности 3

W H (g) = −∫ d 4 x [

√

− g

R (4) (г)

6]

(4.34)

Напомним, что здесь и далее мы используем натуральные единицы

M ∗

Pl ≡ M Pl √ 3 / (8 π) = c = = 1.

Стр. Решебника 142

Нелинейные реализации групп симметрии 142

С интервалом

ds

2

= g µ ν dx

µ

dx

ν

.

(4,35)

Однако действие общей теории относительности (4,34) не инвариантно

конформная группа симметрии. Конформно-инвариантная версия

Общая теория относительности получается из действия (4.34), если реализовать

Подстановка переменных

g µ ν = e − 2D

~g μν

И выберите другое определение измеренного интервала. В этом случае

Кривизна принимает форму

R (4) (g = e − 2D

˜g) = e

− D (R (4) (˜g) - 6˜D

) e − D,

Где

˜D ≡

1

√

− ˜ g

∂

∂ x µ (√

-~g~g μν

∂

∂ x ν)

- оператор Даламбера в метрике ˜g с интервалом

˜ds

2

= ~g μν дх μ дх ν.

(4.36)

После этой замены действие (4.34) принимает вид

W C (˜g, D) =

(4,37)

= −∫ d 4 x [ √ − ˜

Грамм

6

R (4) (˜g) e

− 2D - e − D

∂

∂ x µ (√

-~g~g μν

∂

∂ x ν

e − D)],

где D - скалярное дилатонное поле, масштабное преобразование которого компенсирует

насыщает преобразования других полей.

Докажем явно конформную инвариантность действия (4,37).

Для этого возьмем еще раз конформное преобразование

~g μν = е -2 λ

̂ G µ ν.

Стр. Решебника 143

4.5. Теория гравитации как нелинейная реализация A (4) ⊗ C

143

Поскольку скаляр Риччи преобразуется при конформных преобразованиях

как [ 14 ]

1

6 √ − ˜

g ˜R (4) =

1

6

е − 2 λ √

−̂ g

̂ R (4) - e − λ

∂

∂ x µ (√

-gg μν

∂

∂ x ν

e − λ),

действие (4.37) принимает вид:

W C (̂ g, D, λ) =

(4,38)

= −∫ d 4 x [ √ −

Грамм

6

R (4) (̂ g) e

− 2 (D + λ) − e - (2D + λ)

∂

∂ x µ (√

-gg μν

∂

∂ x ν

e − λ)] -

−∫ d 4 xe − D

∂

∂ x µ (e − 2 λ √

-gg μν

∂

∂ x ν

Д - D).

Мы преобразуем два последних члена в результирующем выражении после select-

используя общий множитель exp (- (D + λ)):

e − D

∂

∂ x µ (√

-gg μν

∂

∂ x ν

e − λ) + ∂∂ x µ (√

-Gg μν е - λ

∂

∂ x ν

e − D) +

+ √ -GG μν

∂

∂ x µ

e − λ

∂

∂ x ν

e − D =

∂

∂ x µ (√

-gg μν

∂

∂ x ν

е - (D + λ)).

Теперь окончательно получаем

W C (̂ g, D, λ) =

(4,39)

= −∫ d

4

х [ √ − ̂

Грамм

6

р

(4)

(̂ G) e

− 2 (D + λ) − e - (D + λ)

∂

∂ x µ (√

-Gg μν ∂

∂ x ν

e - (D + λ))].

Требование инвариантности действия (4.37) определяет дилатон

преобразование поля:

D + λ = ̂ D.

Таким образом, мы доказали конформную инвариантность действия (4.37)

W C (̂ g, D, λ) = W C (̂ g,

̂ D).

(4.40)

Стр. Решебника 144

Нелинейные реализации групп симметрии 144

В действии конформной теории инвариантов (4.37) ряд переменных

Такое же, как в теории Эйнштейна (4.34). Более того, в бесконечном

Объему все решения классических уравнений теории (4.37) соответствуют

Решениям классических уравнений теории (4.34). Тем не менее

Наблюдаемые данные неопровержимо свидетельствуют о конечном объеме пространства и конечном времени

Интервал жизни Вселенной, конечная энергия и конечная плотность энергии.

Все эти конечные значения могут быть определены в конкретной системе отсчета.

В конформной теории существует система отсчета с определителем единицы

Метрики пространства с конформным интервалом (4.36). Это просто система, которую мы

Использовать для классификации наблюдаемых данных.

Различия между стандартными General Rel-

Активность и нелинейная реализация A (4) ⊗ C

Лагранжиан совместной нелинейной реализации произведения групп равен

Аналог феноменологических лагранжианов. Соответствующая теория

Сохраняет все наблюдаемые предсказания общей теории относительности в солнечной

Системные весы. Тем не менее полученная теория отличается от метрической

Формулировка стандартной общей теории относительности. Перечислим эти

Различия.

1. Все измеряемые поля и наблюдаемые конформной теории ˜F (n) ≡

F

(п)

C, включая метрики, связаны с соответствующими

поля и наблюдаемые стандартной общей теории относительности F (n) ≡

F

(п)

s

масштабным преобразованием

F

(п)

c

= e

nD

F

(п)

С,

(4.41)

Стр. Решебника 145

4.5. Теория гравитации как нелинейная реализация A (4) ⊗ C

145